ルート系

1. $s_{\alpha}(\alpha)=\alpha-2\alpha=-\alpha$ である。$x\in H_{\alpha}$ なら $(x,\alpha)=0$ なので $s_{\alpha}(x)=x$ である。$V=\mathbb{R}\alpha\oplus H_{\alpha}$（$x=\frac{(x,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha+\bigl(x-\frac{(x,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha\bigr)$ と分解する）であり、$s_{\alpha}$ は $\alpha$ を $-\alpha$ に、$H_{\alpha}$ の元をそれ自身に写すので、$s_{\alpha}\circ s_{\alpha}$ は $V$ の各元を固定する。$\alpha\neq0$ より $s_{\alpha}\neq\mathrm{id}_{V}$ なので位数は $2$ である。
2. $\dfrac{2(x,c\alpha)}{(c\alpha,c\alpha)}\,c\alpha=\dfrac{2c^{2}(x,\alpha)}{c^{2}(\alpha,\alpha)}\,\alpha=\dfrac{2(x,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\,\alpha$ である。
3. $a:=\dfrac{2(x,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}$、$b:=\dfrac{2(y,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}$ とおくと
   $$(s_{\alpha}(x),s_{\alpha}(y))=(x,y)-b(x,\alpha)-a(y,\alpha)+ab(\alpha,\alpha)=(x,y)-\frac{2(x,\alpha)(y,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}-\frac{2(x,\alpha)(y,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}+\frac{4(x,\alpha)(y,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}=(x,y)$$
   である。
4. $t\in O(V)$ に対し $(t^{-1}(x),\alpha)=(x,t(\alpha))$ かつ $(\alpha,\alpha)=(t(\alpha),t(\alpha))$ なので
   $$t s_{\alpha}t^{-1}(x)=t\Bigl(t^{-1}(x)-\frac{2(t^{-1}(x),\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha\Bigr)=x-\frac{2(x,t(\alpha))}{(t(\alpha),t(\alpha))}\,t(\alpha)=s_{t(\alpha)}(x)$$
   である。$\square$

最後の主張は (RS4) から従う。$\alpha,\beta$ が線形独立なら Cauchy–Schwarz の不等式（Cauchy–Schwarzの不等式）で等号が成り立たないので $(\alpha,\beta)^{2}<(\alpha,\alpha)(\beta,\beta)$ であり、$n(\alpha,\beta)n(\beta,\alpha)=4(\alpha,\beta)^{2}/((\alpha,\alpha)(\beta,\beta))$ は $0$ 以上 $4$ 未満の整数、すなわち $\{0,1,2,3\}$ の元である。
$(\alpha,\beta)>0$ とすると $n(\alpha,\beta)$、$n(\beta,\alpha)$ はともに正の整数で積が $3$ 以下なので、少なくとも一方は $1$ である。$n(\beta,\alpha)=1$ ならば $s_{\beta}(\alpha)=\alpha-\beta\in R$ である。$n(\alpha,\beta)=1$ ならば $s_{\alpha}(\beta)=\beta-\alpha\in R$ である。いずれの場合も、$\gamma\in R$ ならば $-\gamma=s_{\gamma}(\gamma)\in R$ なので、$\alpha-\beta$ と $\beta-\alpha$ はともに $R$ に属する。$(\alpha,\beta)<0$ のときは $\beta$ を $-\beta\in R$ で置き換えればよい。$\square$

1 は (RS2) と、$W$ が $s_{\alpha}$ たちで生成されることから従う。2 について、1 により各 $w\in W$ は有限集合 $R$ の置換を定め、$w\mapsto w|_{R}$ は $W$ から $R$ 上の対称群への 群準同型 である。$w|_{R}$ が恒等置換ならば、$w$ は線形写像で $R$ が $V$ を生成するので $w=\mathrm{id}_{V}$ である。よってこの準同型は単射であり、$W$ は有限群 $\mathrm{Sym}(R)$ の部分群と同型だから有限である。3 は lem-root-system-reflection-basic の 4 である。$\square$

1. $R$ は有限集合なので、有限個の超平面 $H_{\alpha}$（$\alpha\in R$）の合併が $V$ 全体にならないことを示せばよい。一般に $V$ の真部分空間 $H_{1},\dots,H_{n}$ の合併は $V$ に一致しないことを $n$ についての帰納法で示す。$n=1$ は明らかである。$n\ge2$ とし、帰納法の仮定により $x\notin H_{1}\cup\cdots\cup H_{n-1}$ を取る。$x\notin H_{n}$ なら終わりである。$x\in H_{n}$ とし、$y\notin H_{n}$ を取る。$t\neq0$ に対し $x+ty\notin H_{n}$ である（$x+ty\in H_{n}$ なら $ty\in H_{n}$、よって $y\in H_{n}$）。$i< n$ に対し、$x+ty\in H_{i}$ を満たす $t$ は高々一つである（$t\neq t'$ がともに満たせば $(t-t')y\in H_{i}$、よって $y\in H_{i}$、よって $x\in H_{i}$ となり矛盾する）。$\mathbb{R}$ は無限集合なので、$0$ でなくこれら高々 $n-1$ 個の値と異なる $t$ を取れば $x+ty$ はどの $H_{i}$ にも属さない。
2. $R^{+}=R^{+}(v)$ とする。$\alpha\in R$ に対し $(\alpha,v)\neq0$ なので $(\alpha,v)>0$ か $(-\alpha,v)>0$ のちょうど一方が成り立ち、$\alpha\in R^{+}$ または $\alpha\in-R^{+}$ のちょうど一方が成り立つ。$\alpha,\beta\in R^{+}$、$\alpha+\beta\in R$ なら $(\alpha+\beta,v)=(\alpha,v)+(\beta,v)>0$ なので $\alpha+\beta\in R^{+}$ である。$R^{-}=R^{+}(-v)$ であり $-v$ も正則なので $R^{-}$ は正系である。
3. $w\in W\subset O(V)$ なので $(\alpha,w(v))=(w^{-1}(\alpha),v)$ であり、$w^{-1}(\alpha)\in R$（lem-root-system-weyl-finite）だから $w(v)$ は正則である。また $\alpha\in R^{+}(w(v))$ は $(w^{-1}(\alpha),v)>0$、すなわち $w^{-1}(\alpha)\in R^{+}(v)$、すなわち $\alpha\in w(R^{+}(v))$ と同値である。$\square$

$\alpha=\beta+\gamma$、$\beta,\gamma\in R^{+}(\Delta)$ と仮定し、$\beta=\sum_{\delta}b_{\delta}\delta$、$\gamma=\sum_{\delta}c_{\delta}\delta$（$b_{\delta},c_{\delta}\ge0$）と書く。$\Delta$ は基底なので $\alpha$ の展開は一意的であり、$b_{\alpha}+c_{\alpha}=1$、$\delta\neq\alpha$ に対し $b_{\delta}+c_{\delta}=0$、よって $b_{\delta}=c_{\delta}=0$ である。したがって $\beta=b_{\alpha}\alpha$、$\gamma=c_{\alpha}\alpha$ は $\alpha$ の実数倍で $R$ に属するので、(RS4) により $\beta,\gamma\in\{\pm\alpha\}$ であり、$R^{+}(\Delta)$ に属するから $\beta=\gamma=\alpha$ である。すると $\alpha=2\alpha$、$\alpha=0$ となり (RS1) に反する。$\square$

$\alpha\neq\beta$ は基底の相異なる元なので線形独立である。$(\alpha,\beta)>0$ と仮定すると、lem-root-system-angle により $\alpha-\beta\in R$ である。$R=R^{+}(\Delta)\cup(-R^{+}(\Delta))$ なので、$\alpha-\beta\in R^{+}(\Delta)$ または $\beta-\alpha\in R^{+}(\Delta)$ である。前者なら $\alpha=\beta+(\alpha-\beta)$、後者なら $\beta=\alpha+(\beta-\alpha)$ となり、いずれも lem-root-system-indecomposable に反する。$\square$

1. $\Delta$ は $V$ の基底なので、すべての $\delta\in\Delta$ に対し $f(\delta)=1$ を満たす線形写像 $f\colon V\to\mathbb{R}$ が存在し、内積が正定値なので $f=(\ ,v)$ を満たす $v\in V$ が存在する（Rieszの表現定理 の有限次元の場合。基底 $\Delta$ に対する 双対基底 を内積で表せばよい）。$\alpha=\sum_{\delta}c_{\delta}\delta\in R$ に対し $(\alpha,v)=\sum_{\delta}c_{\delta}$ であり、(b) により係数はすべて $0$ 以上かすべて $0$ 以下で、$\alpha\neq0$ なので少なくとも一つは $0$ でない。よって $(\alpha,v)\neq0$ であり $v$ は正則で、$(\alpha,v)>0$ は係数がすべて $0$ 以上であることと同値、すなわち $R^{+}(v)=R^{+}(\Delta)$ である。
2. まず、$R^{+}$ に含まれる基が存在することを示す。$R^{+}=R^{+}(v)$ とする。$R^{+}$ の部分集合 $\Delta'$ であって「$R^{+}$ の任意の元が $\Delta'$ の元の $0$ 以上の係数の線形結合として書ける」ものを考える。$\Delta'=R^{+}$ はこの条件を満たすので、条件を満たす部分集合のうち包含関係について極小なもの $\Delta'$ が存在する（$R^{+}$ は有限集合である）。
   (i) $\alpha,\beta\in\Delta'$、$\alpha\neq\beta$ ならば $(\alpha,\beta)\le0$ であることを示す。$(\alpha,\beta)>0$ と仮定する。$\alpha,\beta\in R^{+}$ かつ $\alpha\neq\beta$ なので $\alpha\neq\pm\beta$ であり、線形独立である。lem-root-system-angle により $\alpha-\beta\in R$ であり、$\alpha-\beta\in R^{+}$ または $\beta-\alpha\in R^{+}$ である。$\alpha$ と $\beta$ の役割は対称なので $\alpha-\beta\in R^{+}$ としてよい。$\Delta'$ の性質により $\alpha-\beta=\sum_{\delta\in\Delta'}c_{\delta}\delta$（$c_{\delta}\ge0$）と書け、$\alpha=\beta+\sum_{\delta}c_{\delta}\delta$ である。$c_{\alpha}<1$ ならば $(1-c_{\alpha})\alpha=\beta+\sum_{\delta\neq\alpha}c_{\delta}\delta$ となり、$\alpha$ は $\Delta'\setminus\{\alpha\}$ の元の $0$ 以上の係数の線形結合である。すると $R^{+}$ の任意の元が $\Delta'\setminus\{\alpha\}$ の元の $0$ 以上の係数の線形結合で書け、$\Delta'$ の極小性に反する。$c_{\alpha}\ge1$ ならば $0=\beta+\sum_{\delta\neq\alpha}c_{\delta}\delta+(c_{\alpha}-1)\alpha$ であり、右辺の各項と $v$ との内積は $0$ 以上で $(\beta,v)>0$ なので、$v$ との内積を取ると $0>0$ となり矛盾する。
   (ii) $\Delta'$ は線形独立である。$\sum_{\delta\in\Delta'}c_{\delta}\delta=0$ とし、$u:=\sum_{c_{\delta}>0}c_{\delta}\delta=\sum_{c_{\delta}<0}(-c_{\delta})\delta$ とおく。(i) により
   $$(u,u)=\sum_{c_{\delta}>0}\sum_{c_{\varepsilon}<0}c_{\delta}(-c_{\varepsilon})(\delta,\varepsilon)\le0$$
   なので $u=0$ である。すると $0=(u,v)=\sum_{c_{\delta}>0}c_{\delta}(\delta,v)$ であり、各項は正なので正の係数は存在しない。同様に負の係数も存在しない。
   (iii) $R^{+}$ の元は $\Delta'$ の線形結合であり、$R=R^{+}\cup(-R^{+})$ が $V$ を生成するので、$\Delta'$ は $V$ を生成する。よって $\Delta'$ は $V$ の基底である。$R$ の任意の元は $R^{+}$ の元かその $-1$ 倍なので、$\Delta'$ の元の $0$ 以上の係数の線形結合かその $-1$ 倍であり、条件 (b) が成り立つ。したがって $\Delta'$ は $R$ の基であり、$\Delta'\subset R^{+}$ である。
   次に、$R^{+}$ に含まれる任意の基 $\Delta$ に対し $R^{+}(\Delta)=R^{+}$ であることを示す。$\alpha\in R^{+}(\Delta)$ は $\Delta\subset R^{+}$ の元の $0$ 以上の係数の線形結合で $0$ でないので $(\alpha,v)>0$、すなわち $R^{+}(\Delta)\subset R^{+}$ である。また $R=R^{+}(\Delta)\sqcup(-R^{+}(\Delta))=R^{+}\sqcup(-R^{+})$ より $|R^{+}(\Delta)|=|R|/2=|R^{+}|$ なので $R^{+}(\Delta)=R^{+}$ である。
   最後に一意性を示す。$\Delta\subset R^{+}$ を基とし、$\Delta$ が「$R^{+}$ の二つの元の和として書けない $R^{+}$ の元全体」に一致することを示す。$R^{+}(\Delta)=R^{+}$ なので、lem-root-system-indecomposable により $\Delta$ の元は $R^{+}$ の二つの元の和として書けない。逆に $\alpha\in R^{+}\setminus\Delta$ を取り、$\alpha=\sum_{\delta}c_{\delta}\delta$（$c_{\delta}\ge0$）と書く。$0<(\alpha,\alpha)=\sum_{\delta}c_{\delta}(\alpha,\delta)$ なので $c_{\delta}>0$ かつ $(\alpha,\delta)>0$ を満たす $\delta\in\Delta$ がある。$\alpha\notin\Delta$ より $\alpha\neq\delta$、$\alpha,\delta\in R^{+}$ より $\alpha\neq-\delta$ なので、lem-root-system-angle により $\alpha-\delta\in R$ である。$\alpha-\delta=(c_{\delta}-1)\delta+\sum_{\varepsilon\neq\delta}c_{\varepsilon}\varepsilon$ の係数はすべて同符号である。すべて $0$ 以下ならば $\varepsilon\neq\delta$ に対し $c_{\varepsilon}=0$ となり $\alpha=c_{\delta}\delta$、(RS4) により $\alpha=\delta$ となって矛盾する。よって係数はすべて $0$ 以上で $\alpha-\delta\in R^{+}(\Delta)=R^{+}$ であり、$\alpha=\delta+(\alpha-\delta)$ は $R^{+}$ の二つの元の和である。以上により $\Delta$ は $R^{+}$ から定まり、$R^{+}$ に含まれる基は一意である。
   全単射であること：1 により $\Delta\mapsto R^{+}(\Delta)$ は基全体から正系全体への写像である。$\Delta\subset R^{+}(\Delta)$ なので、2 により $\Delta$ は $R^{+}(\Delta)$ から復元され、この写像は単射である。2 により任意の正系はある基の $R^{+}(\Delta)$ に等しいので全射である。$\square$

$\beta\in R^{+}\setminus\{\alpha\}$ を取り、$\beta=\sum_{\delta\in\Delta}c_{\delta}\delta$（$c_{\delta}\ge0$）と書く。$\beta\neq\alpha$ かつ (RS4) により $\beta$ は $\alpha$ の実数倍でないので、$\alpha$ と異なる $\gamma\in\Delta$ で $c_{\gamma}>0$ となるものがある。$s_{\alpha}(\beta)=\beta-n(\alpha,\beta)\alpha$ は $\beta$ と $\alpha$ の係数だけが異なるので、$s_{\alpha}(\beta)$ の $\gamma$ の係数は $c_{\gamma}>0$ である。$s_{\alpha}(\beta)\in R$ の係数はすべて同符号なので、すべて $0$ 以上であり $s_{\alpha}(\beta)\in R^{+}$ である。$s_{\alpha}(\beta)=\alpha$ とすると $\beta=s_{\alpha}(\alpha)=-\alpha\notin R^{+}$ となるので $s_{\alpha}(\beta)\neq\alpha$ である。よって $s_{\alpha}$ は $R^{+}\setminus\{\alpha\}$ をそれ自身に写し、$s_{\alpha}\circ s_{\alpha}=\mathrm{id}$ なのでこれは全単射である。$s_{\alpha}(\alpha)=-\alpha$ と合わせて後半が従う。$\square$

$r:=|R^{+}\cap(-R'^{+})|$ についての帰納法で示す。$r=0$ ならば $R^{+}\subset R'^{+}$ であり、$|R^{+}|=|R|/2=|R'^{+}|$ なので $R^{+}=R'^{+}$ で、$w=\mathrm{id}$ でよい。$r>0$ とし、$R^{+}=R^{+}(\Delta)$ となる基 $\Delta$ を取る（thm-root-system-positive-basis）。$\Delta\subset R'^{+}$ ならば thm-root-system-positive-basis の証明中で示したように $R^{+}(\Delta)=R'^{+}$ となり $r=0$ に反するので、$\alpha\in\Delta$ で $\alpha\notin R'^{+}$、すなわち $\alpha\in-R'^{+}$ となるものがある。lem-root-system-simple-reflection により $s_{\alpha}(R^{+})=(R^{+}\setminus\{\alpha\})\cup\{-\alpha\}$ であり、$-\alpha\in R'^{+}$ なので $-\alpha\notin-R'^{+}$ である。よって $|s_{\alpha}(R^{+})\cap(-R'^{+})|=r-1$ である。$s_{\alpha}(R^{+})$ は正系なので（lem-root-system-regular）、帰納法の仮定により $w'(s_{\alpha}(R^{+}))=R'^{+}$ を満たす $w'\in W$ が存在し、$w:=w's_{\alpha}$ が求めるものである。
基について：$\Delta$ が基なら $w(\Delta)$ も基であり（$w$ は線形同型で $R$ を保つので (a)、(b) が保たれる）、$R^{+}(w(\Delta))=w(R^{+}(\Delta))$ である。よって thm-root-system-positive-basis の全単射は $W$ の作用と両立し、正系への推移性から基への推移性が従う。$\square$

$W':=\langle s_{\alpha}\mid\alpha\in\Delta\rangle$、$R^{+}:=R^{+}(\Delta)$ とおく。三段階で示す。
(i) $\beta\in R^{+}$ に対し、$W'\beta\cap R^{+}$ は $\beta$ を含む空でない有限集合である。その中で高さ $\mathrm{ht}$ が最小の元 $\gamma$ を取り、$\gamma\in\Delta$ を示す。$\gamma=\sum_{\alpha\in\Delta}c_{\alpha}\alpha$（$c_{\alpha}\ge0$）と書くと $0<(\gamma,\gamma)=\sum_{\alpha}c_{\alpha}(\gamma,\alpha)$ なので $(\gamma,\alpha)>0$ となる $\alpha\in\Delta$ がある。$\gamma\neq\alpha$ とすると、lem-root-system-simple-reflection により $s_{\alpha}(\gamma)\in R^{+}$ であり、$s_{\alpha}\in W'$ なので $s_{\alpha}(\gamma)\in W'\beta\cap R^{+}$ である。一方 $s_{\alpha}(\gamma)=\gamma-n(\alpha,\gamma)\alpha$ で $n(\alpha,\gamma)=2(\gamma,\alpha)/(\alpha,\alpha)>0$ なので $\mathrm{ht}(s_{\alpha}(\gamma))=\mathrm{ht}(\gamma)-n(\alpha,\gamma)<\mathrm{ht}(\gamma)$ となり、$\gamma$ の取り方に反する。よって $\gamma=\alpha\in\Delta$ である。
(ii) $R=W'\Delta$ を示す。(i) により任意の $\beta\in R^{+}$ は $W'\Delta$ に属する。$\beta\in R^{-}$ なら $-\beta\in R^{+}$ は $-\beta=w(\alpha)$（$w\in W'$、$\alpha\in\Delta$）と書け、$\beta=w(-\alpha)=ws_{\alpha}(\alpha)$ で $ws_{\alpha}\in W'$ なので $\beta\in W'\Delta$ である。
(iii) 任意の $\beta\in R$ に対し $s_{\beta}\in W'$ を示せば $W=W'$ である。(ii) により $\beta=w(\alpha)$（$w\in W'$、$\alpha\in\Delta$）と書け、lem-root-system-weyl-finite の 3 により $s_{\beta}=ws_{\alpha}w^{-1}\in W'$ である。$\square$

1. $w=s_{1}\cdots s_{h}$ が簡約表示なら、$s_{i}^{2}=\mathrm{id}$ より $w^{-1}=s_{h}\cdots s_{1}$ であり $\ell(w^{-1})\le\ell(w)$ である。$w$ と $w^{-1}$ を入れ替えて等号を得る。
2. 長さ $0$ の積は $\mathrm{id}$ である。
3. $w$、$w'$ の簡約表示を並べれば $ww'$ の長さ $\ell(w)+\ell(w')$ の表示が得られる。
4. 行列式 $\det\colon O(V)\to\{\pm1\}$ を考えると、鏡映 $s_{\alpha}$ は $V=\mathbb{R}\alpha\oplus H_{\alpha}$ に関して $\alpha$ を $-\alpha$ に写し $H_{\alpha}$ を固定するので $\det s_{\alpha}=-1$ である。よって $w=s_{1}\cdots s_{h}$ と書けば $\det w=(-1)^{h}$ であり、$w$ のどの表示についても長さの偶奇は $\det w$ で決まる。3 により $\ell(ws_{\alpha})\le\ell(w)+1$ かつ $\ell(w)=\ell(ws_{\alpha}s_{\alpha})\le\ell(ws_{\alpha})+1$ であり、$\det(ws_{\alpha})=-\det w$ なので $\ell(ws_{\alpha})\neq\ell(w)$ である。よって $\ell(ws_{\alpha})=\ell(w)\pm1$ である。$s_{\alpha}w$ についても同様である。$\square$

$\beta\in R^{+}$、$\beta\neq\alpha$ とする。lem-root-system-simple-reflection により $s_{\alpha}(\beta)\in R^{+}\setminus\{\alpha\}$ なので
$$\beta\in R(ws_{\alpha})\iff ws_{\alpha}(\beta)<0\iff s_{\alpha}(\beta)\in R(w)\iff\beta\in s_{\alpha}(R(w))$$
である（最後の同値は $s_{\alpha}^{2}=\mathrm{id}$ による）。また $\alpha\in R(ws_{\alpha})$ は $ws_{\alpha}(\alpha)=-w(\alpha)<0$、すなわち $w(\alpha)>0$ と同値である。$w(\alpha)>0$ のとき $\alpha\notin R(w)$ であり、$s_{\alpha}(R(w))\subset R^{+}\setminus\{\alpha\}$ なので $R(ws_{\alpha})=s_{\alpha}(R(w))\sqcup\{\alpha\}$ である。$w(\alpha)<0$ のとき $\alpha\in R(w)$、$\alpha\notin R(ws_{\alpha})$ であり、$R(ws_{\alpha})=s_{\alpha}(R(w)\setminus\{\alpha\})$ である。$s_{\alpha}$ は全単射なので個数の主張が従う。$\square$

$h=\ell(w)$ についての帰納法で示す。$h=0$ なら $w=\mathrm{id}$、$R(w)=\emptyset$ である。$h\ge1$ とし、$w':=s_{1}\cdots s_{h-1}$ とおく。$w=w's_{h}$ であり、$w'$ の表示は長さ $h-1$ で、$\ell(w')\ge\ell(w)-1=h-1$（prop-root-system-length-basic の 4）なので簡約表示である。帰納法の仮定により
$$R(w')=\{\alpha_{h-1},\ s_{h-1}(\alpha_{h-2}),\ \dots,\ s_{h-1}\cdots s_{2}(\alpha_{1})\}$$
であり、これらは相異なる。
$w'(\alpha_{h})>0$ を示す。$w'(\alpha_{h})<0$ と仮定すると $\alpha_{h}\in R(w')$ なので、ある $i\le h-1$ について $\alpha_{h}=s_{h-1}\cdots s_{i+1}(\alpha_{i})$ である（$i=h-1$ のときは $\alpha_{h}=\alpha_{h-1}$）。$u:=s_{h-1}\cdots s_{i+1}$ とおくと lem-root-system-weyl-finite の 3 により $s_{h}=s_{u(\alpha_{i})}=us_{i}u^{-1}$ であり、
$$w=w's_{h}=(s_{1}\cdots s_{h-1})(s_{h-1}\cdots s_{i+1})s_{i}(s_{i+1}\cdots s_{h-1})=s_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{h-1}$$
となって $w$ が長さ $h-2$ の表示を持ち、$\ell(w)=h$ に反する。よって $w'(\alpha_{h})>0$ であり、lem-root-system-right-mult により
$$R(w)=s_{h}(R(w'))\sqcup\{\alpha_{h}\}=\{\alpha_{h},\ s_{h}(\alpha_{h-1}),\ \dots,\ s_{h}\cdots s_{2}(\alpha_{1})\}$$
である。$s_{h}$ は単射なので $s_{h}(R(w'))$ の $h-1$ 個の元は相異なり、$\alpha_{h}\notin s_{h}(R(w'))$（合併が互いに交わらないこと）と合わせて $h$ 個の元は相異なる。よって $|R(w)|=h=\ell(w)$ である。$\square$

thm-root-system-reduced-expression により $\ell=|R(\cdot)|$ なので、前半は lem-root-system-right-mult の個数の主張そのものである。後半は $\ell(s_{\alpha}w)=\ell(w^{-1}s_{\alpha})$（prop-root-system-length-basic の 1）に前半を適用すればよい。$\square$

$w(\alpha)<0$ より $\alpha\in R(w)$ であり、thm-root-system-reduced-expression により $\alpha=s_{h}\cdots s_{i+1}(\alpha_{i})$ となる $i$ がある。$u:=s_{h}\cdots s_{i+1}$ とおくと $s_{\alpha}=us_{i}u^{-1}$ であり、
$$ws_{\alpha}=(s_{1}\cdots s_{h})(s_{h}\cdots s_{i+1})s_{i}(s_{i+1}\cdots s_{h})=s_{1}\cdots s_{i-1}s_{i+1}\cdots s_{h}$$
である。cor-root-system-length-change により $\ell(ws_{\alpha})=h-1$ なので、これは $ws_{\alpha}$ の簡約表示であり、$w=s_{1}\cdots\hat{s_{i}}\cdots s_{h}s_{\alpha}$ は $s_{\alpha}$ で終わる $w$ の簡約表示である。$\square$

$\beta\in R^{+}$ に対し $\beta\in R(w_{1}w_{2})$ は $w_{1}(w_{2}(\beta))<0$ と同値である。$w_{2}(\beta)>0$ のときこれは $w_{2}(\beta)\in R(w_{1})$、すなわち $\beta\in w_{2}^{-1}(R(w_{1}))$ と同値である。$w_{2}(\beta)<0$、すなわち $\beta\in R(w_{2})$ のときは、$-w_{2}(\beta)\in R^{+}$ であり、$w_{1}(w_{2}(\beta))<0$ は $w_{1}(-w_{2}(\beta))>0$、すなわち $-w_{2}(\beta)\notin R(w_{1})$ と同値である。よって $N:=\{\beta\in R(w_{2})\mid-w_{2}(\beta)\in R(w_{1})\}$ とおくと
$$R(w_{1}w_{2})=\bigl(R^{+}\cap w_{2}^{-1}(R(w_{1}))\bigr)\sqcup\bigl(R(w_{2})\setminus N\bigr)$$
である。ここで $w_{2}^{-1}(R(w_{1}))$ の元 $\gamma$ で $\gamma<0$ となるものは $-\gamma\in N$ を満たし、逆に $\beta\in N$ に対し $-\beta\in w_{2}^{-1}(R(w_{1}))$ は負ルートなので、$|R^{+}\cap w_{2}^{-1}(R(w_{1}))|=|R(w_{1})|-|N|$ である。したがって thm-root-system-reduced-expression により
$$\ell(w_{1}w_{2})=|R(w_{1}w_{2})|=\ell(w_{1})+\ell(w_{2})-2|N|$$
であり、1 は $N=\emptyset$ と同値である。$N=\emptyset$ は「$w_{2}^{-1}(R(w_{1}))$ に負ルートがない」こと、すなわち 2 と同値であり、このとき上の分解は 3 になる。逆に 3 が成り立てば $w_{2}^{-1}(R(w_{1}))\subset R(w_{1}w_{2})\subset R^{+}$ なので 2 が成り立つ。$\square$

$w(R^{+})=R^{+}$ ならば $R(w)=\emptyset$ なので thm-root-system-reduced-expression により $\ell(w)=0$、よって $w=\mathrm{id}$ である。推移性は prop-root-system-transitive で示した。二つの元 $w,w'$ が同じ正系 $R'^{+}$ を $R^{+}$ に写すなら $w^{-1}w'$ は $R^{+}$ を保つので $w=w'$ であり、作用は単純推移的である。よって $w\mapsto w(R^{+})$ は $W$ から正系全体への全単射であり、$|W|$ は正系の個数に等しい。基についても同様である。$\square$

1. $\Theta\subset R_{\Theta}$ が $V_{\Theta}$ を生成するので $R_{\Theta}$ は $V_{\Theta}$ におけるルート系である。$\Theta$ は $V_{\Theta}$ の基底であり、$R_{\Theta}$ の元は $R$ の元なので $\Delta$ の元の同符号の係数の線形結合であるが、$V_{\Theta}$ に属することと $\Delta$ が基底であることから $\Theta$ の元だけの線形結合である。よって (b) が成り立ち $\Theta$ は $R_{\Theta}$ の基であり、$R^{+}(\Theta)=R^{+}(\Delta)\cap R_{\Theta}=R_{\Theta}^{+}$ である。
2. $\alpha\in\Theta$ に対し $s_{\alpha}$ は $H_{\alpha}\supset V_{\Theta}^{\perp}$ を固定し $V_{\Theta}$ を保つので、その積 $W_{\Theta}$ の元も同様である。制限写像は群準同型であり、$s_{\alpha}|_{V_{\Theta}}$ は $V_{\Theta}$ における $\alpha$ の鏡映なので像は $W(R_{\Theta})$ の生成元をすべて含む（prop-root-system-generated により $W(R_{\Theta})$ は $\Theta$ の鏡映で生成される）。$V=V_{\Theta}\oplus V_{\Theta}^{\perp}$ で $W_{\Theta}$ の元は $V_{\Theta}^{\perp}$ 上恒等なので、$V_{\Theta}$ 上恒等なら $V$ 上恒等であり、制限写像は単射である。
3. lem-root-system-weyl-finite の 3 により $ws_{\alpha}w^{-1}=s_{w(\alpha)}$ なので従う。$\square$

$\Theta$ の鏡映の積は $\Delta$ の鏡映の積でもあるので $\ell(w)\le\ell_{\Theta}(w)$ である。一方、thm-root-system-reduced-expression をルート系 $R_{\Theta}$ とその基 $\Theta$ に適用すると $\ell_{\Theta}(w)=|R_{\Theta}(w)|$、ただし $R_{\Theta}(w)=\{\beta\in R_{\Theta}^{+}\mid w(\beta)<0\}$ である。$R_{\Theta}(w)\subset R(w)$ なので $\ell_{\Theta}(w)\le|R(w)|=\ell(w)$ である。$\square$

1. まず (i) を満たす $w$ に対し $\ell(wx)=\ell(w)+\ell(x)$（$x\in W_{\Theta}$）を $k=\ell(x)$ についての帰納法で示す。$k=0$ は明らかである。$k\ge1$ とし、prop-root-system-restrict-length により $x=s_{1}\cdots s_{k}$（$s_{i}=s_{\alpha_{i}}$、$\alpha_{i}\in\Theta$）を $\Theta$ の鏡映からなる簡約表示とする。$x':=s_{1}\cdots s_{k-1}$ は長さ $k-1$ で、帰納法の仮定により $\ell(wx')=\ell(w)+k-1$ である。$x=x's_{k}$ が簡約表示なので cor-root-system-length-change（ルート系 $R_{\Theta}$ に適用）により $x'(\alpha_{k})\in R_{\Theta}^{+}$ であり、$x'(\alpha_{k})$ は $\Theta$ の元の $0$ 以上の係数の線形結合である。(i) により $w$ は $\Theta$ の各元を正ルートに写すので、$wx'(\alpha_{k})$ は正ルートの $0$ 以上の係数の線形結合で $0$ でなく、よって $\Delta$ に関する係数がすべて $0$ 以上であり $wx'(\alpha_{k})>0$ である。したがって cor-root-system-length-change により $\ell(wx)=\ell(wx's_{k})=\ell(wx')+1=\ell(w)+k$ である。
   (i) ならば (ii)：上で示した加法性により、$wW_{\Theta}$ の任意の元 $wx$ は $\ell(wx)\ge\ell(w)$ を満たす。
   (ii) ならば (i)：$w(\alpha)<0$ となる $\alpha\in\Theta$ があれば、cor-root-system-length-change により $\ell(ws_{\alpha})=\ell(w)-1$ であり、$ws_{\alpha}\in wW_{\Theta}$ なので (ii) に反する。
   存在：$wW_{\Theta}$ は有限集合なので長さ最小の元が存在し、それは (ii) を満たす。一意性：$w$、$w'=wx$（$x\in W_{\Theta}$）がともに (ii) を満たすとすると、(i) と加法性により $\ell(w')=\ell(w)+\ell(x)$ であり、$\ell(w')=\ell(w)$ なので $\ell(x)=0$、$x=\mathrm{id}$ である。
2. $w\mapsto w^{-1}$ は右剰余類 $W_{\Theta}w$ を左剰余類 $w^{-1}W_{\Theta}$ に写し、長さを保つ（prop-root-system-length-basic の 1）。よって 1 を $w^{-1}$ に適用すればよい。加法性は $\ell(xw)=\ell(w^{-1}x^{-1})=\ell(w^{-1})+\ell(x^{-1})=\ell(x)+\ell(w)$ から従う。$\square$

1. $C(v)$ は開半空間 $\{x\mid(\alpha,x)(\alpha,v)>0\}$（$\alpha\in R$）の有限個の共通部分なので、凸な 開集合 であり、とくに連結である。$C(v)$ の元は正則で $v\in C(v)$ である。$v$ を含む連結成分を $C$ とすると、$C(v)$ は連結で $v$ を含むので $C(v)\subset C$ である。逆に $x\in C$ とすると、$\alpha\in R$ に対し連続関数 $y\mapsto(\alpha,y)$ は連結集合 $C$ 上で $0$ を取らないので、連結性により符号が一定であり（連結集合上で $0$ を取らない連続関数の像は $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ の連結部分集合なので符号一定）、$(\alpha,x)$ と $(\alpha,v)$ は同符号である。よって $x\in C(v)$ であり $C=C(v)$ である。$x\in C(v)$ に対し $R^{+}(x)=R^{+}(v)$ は定義から明らかである。
2. 正系 $R^{+}=R^{+}(v)$ に対し、$v$ を含む部屋 $C(v)$ は $R^{+}(C(v))=R^{+}$ を満たすので、写像は全射である。$R^{+}(C)=R^{+}(C')$ とし、$v\in C$、$v'\in C'$ を取ると $R^{+}(v)=R^{+}(v')$ であり、任意の $\alpha\in R$ に対し $(\alpha,v)$ と $(\alpha,v')$ は同符号（$\alpha\in R^{+}(v)$ ならともに正、そうでなければともに負）なので $v'\in C(v)$、よって $C'=C(v')=C(v)=C$ である。
3. $w\in W$ は $V$ の線形同型で $R$ を保ち内積を保つので、$w(H_{\alpha})=H_{w(\alpha)}$ であり、$w$ は $V\setminus\bigcup_{\alpha}H_{\alpha}$ の 同相写像 を定めるから、連結成分を連結成分に写す。$R^{+}(w(C))=R^{+}(w(v))=w(R^{+}(v))=w(R^{+}(C))$（lem-root-system-regular）であり、2 の全単射は $W$ の作用と両立するので、cor-root-system-faithful により作用は単純推移的である。$\square$