分離公理

$X$ を $T_1$ とし、$x\in X$ を固定する。$x$ を含まない開集合をすべて合併すると、$T_1$ の条件によって $X\setminus\{x\}$ になる。したがって $\{x\}$ は閉である。逆に一点集合がすべて閉なら、$x\ne y$ に対して $U=X\setminus\{y\}$ と $V=X\setminus\{x\}$ が要求を満たす。

正則性を $x$ と $X\setminus O$ に適用し、互いに素な開集合 $U,V$ で分離する。このとき $\overline U\subset X\setminus V\subset O$ である。逆に縮小条件を仮定し、閉集合 $F$ と $x\notin F$ に対して $O=X\setminus F$ と置く。得られる $U$ と $X\setminus\overline U$ は、$x$ と $F$ を分離する開集合である。任意の近傍は点を含む開集合を含むので、その中に得られる $\overline U$ が閉近傍系の主張を与える。

$T_4$ 空間で $x\notin F$、$F$ が閉であれば、$T_1$ により $\{x\}$ も閉である。正規性を $\{x\},F$ に適用すると正則性条件を得る。$T_3$ 空間では、異なる二点 $x,y$ に対し、正則性を $x,\{y\}$ に適用すると互いに素な開近傍を得る。$T_2$ の分離開近傍は、それぞれ他方の点を含まないため $T_1$ の条件を満たす。$T_1$ の条件の一方を使えば $T_0$ の条件になる。

異なる二点を $x,y$ とする。$T_0$ により、必要なら点の名前を交換して、$x\in O$、$y\notin O$ となる開集合 $O$ がある。正則性を $x,X\setminus O$ に適用すると、$x$ と $y$ の互いに素な開近傍が得られる。したがって $T_2$ であり、基本的な含意によって $T_1$ でもある。

$T_3$ 空間の異なる二点 $x,y$ を、互いに素な開集合 $U,V$ で分離する。閉近傍の特徴づけを $x\in U$ に適用して、$x\in W\subset\overline W\subset U$ となる開集合 $W$ を取る。同じ特徴づけを $y\in V$ に適用して、$y\in W'\subset\overline{W'}\subset V$ となる開集合 $W'$ を取る。$U\cap V=\emptyset$ なので $\overline W\cap\overline{W'}=\emptyset$ である。

$T_4$ 空間では、点 $x$ とそれを含まない閉集合 $F$ に対して、閉集合 $\{x\},F$ を 第2可算公理 の lem-second-countable-urysohn によって連続関数で分離できる。この Urysohn の補題自体に第2可算性の仮定はない。完全正則性条件を満たす空間では、分離関数 $f$ に対して $U=f^{-1}([0,1/3))$ と $V=f^{-1}((2/3,1])$ が点と閉集合を分離する開集合になる。$T_1$ を合わせれば、それぞれの結論を得る。

$X$ を $T_5$ とし、$Y\subset X$ の互いに素な閉集合 $A,B$ を取る。$\overline A^{\,X}\cap Y=A$、$\overline B^{\,X}\cap Y=B$ なので、$A,B$ は $X$ で分離されている。$X$ の分離開集合を $Y$ と交わらせると、$Y$ の正規性条件が従う。一点集合の閉性も部分空間へ制限できるので $Y$ は $T_4$ である。逆にすべての部分空間が $T_4$ とし、$X$ で分離された $A,B$ を取る。$Y=X\setminus(\overline A\cap\overline B)$ は $A\cup B$ を含む開部分空間である。$Y$ の閉集合 $\overline A\cap Y$ と $\overline B\cap Y$ は互いに素なので、$Y$ の正規性によって分離できる。$Y$ が開であるため、得られる開集合は $X$ でも開である。また $Y=X$ の場合の仮定から $X$ は $T_1$ であり、結論を得る。

$T_6$ 空間 $X$ で分離された集合 $A,B$ を取る。開集合 $X\setminus\overline B$ は可算閉集合の和 $\bigcup_{n\ge1}F_n$ と書け、$X\setminus\overline A$ も $\bigcup_{n\ge1}G_n$ と書ける。正規性から、閉集合をそれを含む開集合の中で縮小できる。すなわち閉集合 $F\subset O$ に対し、$F$ と $X\setminus O$ を分離すれば、$F\subset U\subset\overline U\subset O$ を得る。これを用い、$F_n\subset U_n\subset\overline U_n\subset X\setminus\overline B$ および $G_n\subset V_n\subset\overline V_n\subset X\setminus\overline A$ を満たす開集合を取る。この可算個の選択には可算選択を用いる。次の二つの開集合を考える。
$$ U=\bigcup_{n\ge1}\left(U_n\setminus\bigcup_{k\le n}\overline V_k\right),\qquad V=\bigcup_{n\ge1}\left(V_n\setminus\bigcup_{k\le n}\overline U_k\right). $$
すべての $\overline V_k$ は $A$ を避けるので $A\subset U$ である。すべての $\overline U_k$ は $B$ を避けるので $B\subset V$ である。$U$ の第 $n$ 項と $V$ の第 $m$ 項について、$m\le n$ なら前者が $\overline V_m$ を避け、$n\le m$ なら後者が $\overline U_n$ を避ける。したがって $U\cap V=\emptyset$ である。

$F=\bigcap_{n\ge1}O_n$ と書き、Urysohn の補題により $f_n|_F=0$、$f_n|_{X\setminus O_n}=1$ となる連続関数 $f_n:X\to[0,1]$ を取る。この可算個の関数の選択には可算選択を用いる。$f=\sum_{n\ge1}2^{-n}f_n$ は一様収束する連続関数の級数だから連続である。各項が非負なので、$f(x)=0$ はすべての $f_n(x)=0$ と同値である。$F$ 上ではすべての項が零であり、$x\notin F$ ならある $n$ について $x\notin O_n$ なので $f_n(x)=1$ である。したがって $f^{-1}(0)=F$ となる。$F=\emptyset$ には定数関数 $1$、$F=X$ には定数関数 $0$ も使える。

異なる二点 $x,y$ の距離の三分の一を半径とする開球は、三角不等式によって交わらない。したがって距離空間は $T_2$ であり、$T_1$ でもある。空でない部分集合 $S$ に対し、$d(x,S)=\inf_{s\in S}d(x,s)$ と置く。三角不等式から $|d(x,S)-d(y,S)|\le d(x,y)$ であり、この距離関数は連続である。さらに $S$ が閉なら、$d(x,S)=0$ と $x\in S$ は同値である。逆向きの確認には、距離が零なら任意の開球が $S$ と交わることを使う。互いに素な空でない閉集合 $A,B$ に対し、
$$ U=\{x:d(x,A)< d(x,B)\},\qquad V=\{x:d(x,B)< d(x,A)\} $$
は互いに素な開集合である。$A$ 上では $d(x,A)=0< d(x,B)$ なので $A\subset U$ である。同様に $B\subset V$ である。$A=\emptyset$ なら $U=\emptyset,V=X$、$B=\emptyset$ なら $U=X,V=\emptyset$ を使えばよい。

$Y\subset X$ とする。$T_0$ の分離開集合を $Y$ と交わらせれば、$Y$ の異なる二点を区別できる。$T_1$ の二つの分離開集合を $Y$ と交わらせれば、それぞれ他方の点を含まない条件が保たれる。$T_2$ の互いに素な開集合を $Y$ と交わらせれば、互いに素な開集合のままである。正則性について、$Y$ の閉集合 $F'$ と $y\in Y\setminus F'$ を取る。$F'=F\cap Y$ となる $X$ の閉集合 $F$ があり、$y\in Y$ と $y\notin F'$ から $y\notin F$ である。$X$ で $y,F$ を分離する開集合を $Y$ と交わらせると、$y,F'$ を分離できる。$T_1$ 性も遺伝するため $T_3$ の主張を得る。

二つの指定された開基候補の交わりは、開区間か、開区間から $K$ を除いた集合であり、候補は $\mathbb R$ を覆うので開基を定める。通常の開区間がすべて開なので、通常の実数直線の Hausdorff 分離が使える。$\mathbb R\setminus K$ は $(a,b)\setminus K$ の合併なので開であり、$K$ は閉である。$U$ を $0$ の開近傍、$V$ を $K$ を含む開集合とする。ある $\varepsilon>0$ に対して $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K\subset U$ となる。$0<1/n<\varepsilon$ となる $n$ を取る。$1/n\in K$ を含む開基の元は通常の開区間なので、$1/n$ の小さな開区間 $I$ を $V\cap(-\varepsilon,\varepsilon)$ に入れられる。$I$ 内の無理数は $K$ に属さず、$U\cap V$ に属する。よって $0$ と $K$ を分離できず、正則性条件が破れる。したがって $\mathbb R_K$ は $T_2$ だが $T_3$ ではない。

任意の点 $x$ の閉包 $\overline{\{x\}}$ は空でない既約閉集合である。実際、その閉包を二つの相対閉集合で覆うと、一方は $x$ を含み、閉性によって $\overline{\{x\}}$ 全体を含む。異なる二点 $x,y$ の閉包が等しければ、その既約閉集合が二つの生成点を持つことになるので、Sober 性に反する。閉包が異なるなら、一方の点を含み他方を含まない閉集合が存在する。その補集合を使えば二点を開集合で区別でき、$T_0$ を得る。