分離公理

命名規則と階層構造

分離公理 (separation axioms) とは、位相空間論において、空間内の点や集合が位相的に「どれくらい区別（分離）できるか」を分類するための公理系である。ドイツ語の Trennungsaxiom に由来し、T公理とも呼ばれる。

命名規則の注意（重要）

文献や歴史的経緯により、「正則空間」「正規空間」などの用語が $T_1$ 公理（一点が閉集合であること）を含むかどうかに揺れがある。本記事では現代的な標準（ブルバキスタイル等）に従い、以下のように厳密に区別する。

• 形容詞のみ（正則、正規など）: 純粋な分離条件のみを指し、$T_1$ を仮定しない。
• $T_n$ 表記: 分離条件に加え、$T_1$ 公理を満たす（すなわちハウスドルフ空間のクラスに含まれる）ことを要請する。

分離公理の包含関係

分離公理には以下の厳密な包含関係がある（矢印 $\implies$ は「ならば」を意味する）。
$$ \text{距離空間} \implies T_6 \implies T_5 \implies T_4 \implies T_{3.5} \implies T_3 \implies T_2 \implies T_1 \implies T_0 $$

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各公理の詳細定義と性質

弱い分離公理 ($T_0, T_1$)

点の存在や識別に関する基本的な条件である。

• 一点集合の閉性: $T_1$ であるための必要十分条件は、「一点集合 $\{x\}$ は常に閉集合である」ことである。
• 代表例としては、無限個の点を持つ集合上の補有限位相がある（$T_1$ だが $T_2$ ではない）。

ハウスドルフ空間 ($T_2$)

最も基本的で重要な分離公理である。

• この条件により、点列やネットの極限の一意性が保証される。
• 多様体や距離空間は定義として $T_2$ を含むことが多い。

正則空間 ($T_3$) とチコノフ空間 ($T_{3.5}$)

局所的な構造や、関数の存在に関する条件が登場する。

• $T_3$ 空間の各点は、閉近傍からなる基本近傍系を持つ。これにより、位相的な近似が可能になる。

• 重要性: $X$ が $T_{3.5}$ であることは、$X$ があるコンパクト・ハウスドルフ空間の部分空間と同相になるための必要十分条件である（ストーン・チェックのコンパクト化）。
• 解析学や関数解析学で扱われる位相空間は、ほとんどが $T_{3.5}$ 以上の性質を持つ。

正規空間 ($T_4$)

解析学的な議論（関数の構成）を行うための重要なクラス。

• ウリゾーンの補題: 2つの閉集合を $0$ と $1$ に分離する連続関数が存在する。これにより、$T_4 \implies T_{3.5}$ が従う。
• ティーチェの拡張定理: 閉部分集合上の連続関数を全体に拡張できる。
• 距離化定理: 第二可算公理を満たす $T_3$ 空間は $T_4$ となり、さらに距離化可能である（ウリゾーンの距離化定理）。

強い分離公理 ($T_5, T_6$)

距離空間に近い性質を持つ強い条件。

• 遺伝的正規性: $T_5$ であることは、「任意の部分空間が $T_4$ になる」ことと同値である。

• ゼロ点集合: $T_6$ 空間の任意の閉集合は、連続関数のゼロ点集合 $f^{-1}(0)$ として完全に記述できる（ヴェデニソフの定理）。

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コンパクト性との関係

分離公理はコンパクト空間（コンパクト性）と組み合わせることで、空間の位相的構造を決定づける強力な定理を生み出す。

ハウスドルフ空間とコンパクト性

ハウスドルフ性 ($T_2$) は、コンパクト空間が良い振る舞いをするために不可欠な条件である。

• コンパクト集合の閉性:
  ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は、必ず閉集合である。
  （注：$T_1$ 空間であっても、ハウスドルフでなければコンパクト集合が閉とは限らない。例：補有限位相）
• 写像の同相判定:
  コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続写像が全単射であれば、それは同相写像である。
  （逆写像の連続性が、定義域のコンパクト性と値域のハウスドルフ性から自動的に従うため）

正規性とパラコンパクト性

コンパクト性を強めたり弱めたりすることで、より高い分離公理が導かれる。

• コンパクト・ハウスドルフ空間は正規である:
  任意のコンパクト・ハウスドルフ空間は $T_4$ 空間である。したがって、ウリゾーンの補題が使え、豊富な連続関数を持つ。
• パラコンパクト・ハウスドルフ空間は正規である:
  パラコンパクト空間（任意の開被覆が局所有限な細分を持つ空間）かつハウスドルフな空間は $T_4$ である。
  これにより、多様体やCW複体、距離空間はすべて正規空間であることが保証される。
  （証明には1の分割の存在が深く関わる）

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代数幾何学における位相：ハウスドルフでない世界

通常、解析学や微分幾何学で扱う空間（多様体など）は、異なる点が明確に分離される「ハウスドルフ空間 ($T_2$)」であることを前提とする。しかし、代数幾何学、特にグロタンディーク以降のスキーム論においては、ハウスドルフ性を満たさない空間が標準的な研究対象となる。
これは単なる病的な例ではなく、代数的な構造（環のスペクトル）を幾何学的に捉えるための必然的な帰結である。

ザリスキ位相と分離性の欠如

代数多様体やスキームには、多項式のゼロ点集合を閉集合とするザリスキ位相が入れられる。この位相は、ユークリッド位相に比べて開集合が非常に大きく（粗く）なる傾向がある。

• ハウスドルフ性の欠如:
  既約空間（2つの真の閉集合の和で書けない空間）において、空でない任意の2つの開集合は必ず交わる。したがって、既約な代数多様体やスキームは決してハウスドルフ空間にはならない。
  （例：数直線上のザリスキ位相では、開集合は「有限個の点を除いた残り」であるため、2つの開集合は必ず共通部分を持つ）

生成点と $T_0$ 空間

スキーム論では、空間に「点」を最大限に追加するアプローチを取る（環の素イデアルを点とみなす）。
例えば、整数環のスペクトル $\text{Spec}(\mathbb{Z})$ や多項式環のスペクトル $\text{Spec}(k[x])$ には、閉点が表す具体的な解だけでなく、生成点 (generic point) と呼ばれる点が含まれる。

• 生成点の性質:
  生成点 $\eta$ は、空間全体（あるいは既約成分）の中で稠密である。すなわち $\overline{\{\eta\}} = X$ となる。
  この点 $\eta$ は、閉集合ではない（$T_1$ を満たさない）が、他の点とは区別可能であるため $T_0$ 空間にはなる。
  このように、スキームは「近傍系によって点を分離する」ことよりも、「包含関係によって点の特殊化 (specialization) を捉える」ことに重きを置いた空間である。

Sober空間 (Sober Space)

スキームのような空間を特徴づけるために、ハウスドルフ性の代わりに用いられる重要な位相的性質がSober空間（穏健空間）である。

• 任意のスキームは Sober 空間である。
• Sober 空間は常に $T_0$ であるが、通常は $T_1$ ではない。
• これは「代数的なイデアルの構造」と「幾何学的な点の配置」が1対1に対応するための条件と言える。

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操作に対する保存性（圏論的性質）

各分離公理が、位相空間の基本的な操作（部分空間、直積空間、商空間など）に対して保存されるかをまとめた表である。
（○：保存される、×：一般には保存されない）

※ 直積空間における注意: 「正規空間の直積は正規とは限らない」というのは位相空間論における有名な反例の宝庫である。ただし、コンパクト・ハウスドルフ空間の直積は（コンパクト・ハウスドルフなので）正規である。

反例と包含関係の不成立

上位の公理は下位の公理を含意するが、逆は一般に成り立たない。

• $T_1 \nRightarrow T_2$: 無限集合上の補有限位相（$T_1$ だが、任意の開集合が交わるため $T_2$ でない）。
• $T_2 \nRightarrow T_3$: K位相（$\mathbb{R}_K$）。ハウスドルフだが、原点と閉集合 $\{1/n\}$ が分離できない。
• $T_3 \nRightarrow T_{3.5}$: チコノフのコルク抜き (Tychonoff corkscrew) と呼ばれる複雑な反例が存在する。
• $T_{3.5} \nRightarrow T_4$: ムーア平面 (Moore Plane) や ゾルゲンフライ平面。これらは完全正則だが正規ではない。

関連項目

• 位相空間
• 距離空間
• コンパクト空間
• パラコンパクト空間
• スキーム