Hilbert次元

$\mathcal{P}$ を、$S$ を含む $H$ の正規直交系の全体とし、包含関係で順序を入れる。$S\in\mathcal{P}$ なので $\mathcal{P}$ は空でない。$\mathcal{C}\subset\mathcal{P}$ を空でない鎖とし、$B_0:=\bigcup\mathcal{C}$ とおく。$b,b'\in B_0$ が相異なるとき、$b\in C$、$b'\in C'$（$C,C'\in\mathcal{C}$）とすると、$\mathcal{C}$ は鎖なので $C\subset C'$ または $C'\subset C$ であり、$b,b'$ は一つの正規直交系に属するから $\langle b,b'\rangle=0$ である。各元のノルムは $1$ なので $B_0\in\mathcal{P}$ であり、これは $\mathcal{C}$ の上界である。空の鎖は $S$ を上界にもつ。Zornの補題 により $\mathcal{P}$ は極大元 $B$ をもつ。
$B$ が完全でないとすると、$0$ でない $x\in B^\perp$ がある。$B\cup\{x/\|x\|\}$ は $S$ を含む正規直交系で、$B$ より真に大きく、極大性に反する。よって $B$ は正規直交基底である。$S=\emptyset$ とすれば後半を得る。$\square$

正規直交系は線形独立である。実際、$\sum_{k=1}^n c_kb_k=0$（$b_k$ は相異なる元）と $b_j$ の内積をとると $c_j=0$ である。
$B$ が有限の場合：$B$ の線形結合の全体 $L$ は有限次元の部分空間なので閉であり（Hilbert直和 の命題「直交する閉部分空間の有限和」を直線 $Fb$（$b\in B$）たちに使えばよい）、$B$ の完全性から $H$ で稠密である。よって $H=L$ であり、$B$ は線形独立だから $L$ の基底で、$\dim H=|B|$ である。$B'$ も線形独立なので $|B'|\le\dim H$ であり、$B'$ は有限である。同じ議論を $B'$ に使えば $\dim H=|B'|$ となり、$|B|=|B'|$ を得る。$B'$ が有限の場合も同様である。
$B$ と $B'$ がともに無限の場合：$b\in B$ について
$$ N(b):=\{b'\in B'\mid\langle b,b'\rangle\ne0\} $$
とおく。Besselの不等式 の定理「Besselの不等式」の 2 を $x=b$ と正規直交系 $B'$ に使うと、$N(b)$ は高々可算である。一方、どの $b'\in B'$ も $0$ でないので、$B$ の完全性から $b'$ はある $b\in B$ と直交しない。すなわち $B'=\bigcup_{b\in B}N(b)$ である。各 $N(b)$ から $\mathbb{N}$ への単射を一つずつ選べば、$b'\in B'$ に「$b'\in N(b)$ となる $b$ を一つ選び、その $b$ と $N(b)$ の中での番号」の組を対応させる写像 $B'\to B\times\mathbb{N}$ は単射である。よって
$$ |B'|\le|B|\cdot\aleph_0=|B| $$
であり、最後の等号は $|B|$ が無限であることによる（濃度 の命題「無限基数の和と積」）。$B$ と $B'$ の役割を入れ替えれば $|B|\le|B'|$ であり、濃度 の定理「Cantor–Bernstein の定理：単射の往復から全単射」により $|B|=|B'|$ である。$\square$

1：$H=\widehat{\bigoplus}_iFe_i$ であり、Hilbert直和 の命題「族の Hilbert 直和は Hilbert 空間である」の 3 から、$x\mapsto(P_ix)_{i\in I}=(\langle x,e_i\rangle e_i)_{i\in I}$ は $H$ から族 $(Fe_i)_{i\in I}$ の Hilbert 直和へのユニタリ同型である。$Fe_i$ を $c\mapsto ce_i$ で $F$ と同一視すれば、これは $U$ にほかならない。
2：$\delta_j\in\ell^2(I)$ を、第 $j$ 成分だけが $1$ の族とする。$\{\delta_j\}_{j\in I}$ は正規直交系であり、$x\in\ell^2(I)$ がすべての $\delta_j$ と直交すれば $x_j=\langle x,\delta_j\rangle=0$ なので $x=0$ である。よってこれは $|I|$ 個の元からなる正規直交基底である。
3：$U\colon H_1\to H_2$ をユニタリ同型、$B$ を $H_1$ の正規直交基底とする。$U(B)$ は正規直交系であり、$y\in H_2$ が $U(B)$ と直交すれば $U^{-1}y$ は $B$ と直交するので、$U^{-1}y=0$、$y=0$ である。$U$ は単射なので、$U(B)$ は $|B|$ 個の元からなる $H_2$ の正規直交基底であり、thm-hdim-invariance から次元は等しい。逆に、$H_k$ の正規直交基底 $(e^{(k)}_i)_{i\in I_k}$（$k=1,2$）で $|I_1|=|I_2|$ なら、全単射 $\sigma\colon I_1\to I_2$ がとれ、$(a_i)_{i\in I_2}\mapsto(a_{\sigma(i)})_{i\in I_1}$ は $\ell^2(I_2)$ から $\ell^2(I_1)$ へのユニタリ同型である。1 のユニタリ同型と合成すれば、$H_1$ と $H_2$ はユニタリ同型である。$\square$

$B$ を正規直交基底とする。thm-hdim-invariance により $B$ は無限集合で、$|B|=\kappa$ である。
1：相異なる $b,b'\in B$ について $\|b-b'\|^2=\|b\|^2+\|b'\|^2=2$ である。$D$ を稠密な部分集合とし、各 $b\in B$ について $\|b-d_b\|<\frac{\sqrt2}2$ となる $d_b\in D$ を一つ選ぶ。$d_b=d_{b'}$ なら $\|b-b'\|\le\|b-d_b\|+\|d_{b'}-b'\|<\sqrt2$ なので $b=b'$ である。よって $b\mapsto d_b$ は単射で、$|D|\ge\kappa$ である。
2：$F_0$ を $F=\mathbb{R}$ なら $\mathbb{Q}$、$F=\mathbb{C}$ なら $\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$ とし、$D_0$ を $F_0$ の係数による $B$ の有限線形結合の全体とする。$B$ の有限線形結合 $\sum_{k=1}^nc_kb_k$ と $\varepsilon>0$ について、$|c_k-c'_k|<\varepsilon/n$ となる $c'_k\in F_0$ をとれば $\|\sum_k(c_k-c'_k)b_k\|<\varepsilon$ なので、$D_0$ は $B$ の有限線形結合の全体の中で稠密であり、したがって $H$ で稠密である。$D_0$ の元は、ある $n\ge1$ について $(F_0\times B)^n$ の元から作られるので、
$$ |D_0|\le\sum_{n\ge1}(\aleph_0\cdot\kappa)^n=\sum_{n\ge1}\kappa=\aleph_0\cdot\kappa=\kappa $$
である（濃度 の定理「無限基数の平方」と命題「無限基数の和と積」を使った）。1 から $|D_0|\ge\kappa$ なので $|D_0|=\kappa$ である。
最後の主張：可分なら 1 から $\kappa\le\aleph_0$ であり、$\kappa$ は無限なので $\kappa=\aleph_0$ である。逆に $\kappa=\aleph_0$ なら 2 から可分である。このとき thm-hdim-classification から $H$ は $\ell^2(\{1,2,\dots\})=\ell^2$ とユニタリ同型である。$\square$