Hausdorff次元
概要
Hausdorff次元（Hausdorff dimension）とは、距離空間の部分集合 $E$ について、$s$ 次元Hausdorff測度 $\mathcal H^s(E)$ が $\infty$ から $0$ へ飛ぶ境目の指数 $\dim_{\mathrm H}E$ である。単調で、可算個の和では各集合の次元の上限に等しく、指数 $\beta$ のHölder写像の像の次元はもとの次元の $1/\beta$ 倍以下で、とくに双Lipschitz写像で保たれる。Cantor集合の次元は $\log2/\log3$ で、その次元のHausdorff測度は正かつ有限である。次元を下から評価するには、集合の上に測度を均一に配る質量分布の原理などを使い、同じ大きさの集合だけで覆うMinkowski次元とは可算集合でも値が食い違うことがある。
前提知識: Hausdorff測度と面積・余面積公式, 距離空間, 外測度, Cantor集合
線分は長さをもつが面積は $0$ であり、正方形は面積をもつが長さで測ると無限大になる。Hausdorff 測度 $\mathcal H^s$ は指数 $s$ ごとに「$s$ 次元的な大きさ」を測る量であり、1 つの集合について $s$ を動かすと、ある値を境に $\mathcal H^s$ は $\infty$ から $0$ へ飛ぶ。その境目の値が Hausdorff 次元 である。整数の次元しかもたない曲線・曲面とは違い、Cantor 集合のような集合は $\log2/\log3$ のような整数でない次元をもつ。
この記事では、Hausdorff 次元を定義し、可算個の和・Hölder 写像の像についての基本性質を証明する。主定理として Cantor 集合の Hausdorff 次元が $\log2/\log3$ であり、その次元の Hausdorff 測度が正かつ有限であることを示す。下からの評価には被覆の数え上げを使い、上からの評価には構成に現れる区間による被覆を使う。最後に、同じ大きさの集合だけで覆う Minkowski 次元との違いと、自己相似集合の次元の公式を述べる。
定義
以下、$(X,d)$ を距離空間とし、$s>0$ に対して $\alpha_s:=\pi^{s/2}/\Gamma(1+s/2)$ とおく。$E\subset X$ と $0< \delta\le\infty$ について、$E$ を覆う高々可算個の集合 $U_i$ で $\operatorname{diam}U_i\le\delta$（$\delta=\infty$ なら制限なし）を満たすものをすべて考え、
$$
\mathcal H^s_\delta(E):=\inf\Bigl\{\sum_i\alpha_s\Bigl(\frac{\operatorname{diam}U_i}{2}\Bigr)^s\ \Bigm|\ E\subset\bigcup_iU_i,\ \operatorname{diam}U_i\le\delta\Bigr\}
$$
とおく。$\mathcal H^s(E):=\lim_{\delta\downarrow0}\mathcal H^s_\delta(E)$ が $s$ 次元 Hausdorff 測度である（Hausdorff測度と面積・余面積公式 の定義「Hausdorff測度」）。$\mathcal H^s$ は外測度であり、すべての Borel 集合は $\mathcal H^s$-可測である（同記事の定理「測度としての基本性質とEuclid空間での正規化」）。$\mathcal H^s_\infty$ を $s$ 次元 Hausdorff 容量（Hausdorff content）という。定義から $\mathcal H^s_\infty(E)\le\mathcal H^s_\delta(E)\le\mathcal H^s(E)$ である。
$E\subset X$ の Hausdorff 次元（Hausdorff dimension）を
$$
\dim_{\mathrm H}E:=\inf\{s>0\mid\mathcal H^s(E)=0\}\in[0,\infty]
$$
で定める。ただし右辺の集合が空のときは $\dim_{\mathrm H}E:=\infty$ とする。
係数 $\alpha_s2^{-s}$ は $\mathbb R^n$ 上の $\mathcal H^n$ を Lebesgue 測度に一致させるための正規化であり、次元には影響しない。係数を付けずに $\sum_i(\operatorname{diam}U_i)^s$ で定める文献（BP17 Definition 1.2.1、p. 4）でも、$\mathcal H^s(E)=0$ となる $s$ の範囲は同じだからである。
$E\subset X$、$D:=\dim_{\mathrm H}E$ とする。$0< s< D$ なら $\mathcal H^s(E)=\infty$ であり、$s>D$ なら $\mathcal H^s(E)=0$ である。
Hausdorff測度と面積・余面積公式 の命題「次元指数を上げたときの消滅」により、$0< s< t$ かつ $\mathcal H^s(E)< \infty$ なら $\mathcal H^t(E)=0$ である。
$s>D$ とする。下限の定義から $D\le s'< s$ かつ $\mathcal H^{s'}(E)=0$ となる $s'>0$ がある。$\mathcal H^{s'}(E)=0< \infty$ なので $\mathcal H^s(E)=0$ である。
$0< s< D$ とし、$\mathcal H^s(E)< \infty$ と仮定すると、すべての $t>s$ で $\mathcal H^t(E)=0$ となり、$D\le s$ となって矛盾する。よって $\mathcal H^s(E)=\infty$ である。$\square$
境目の $s=D$ での $\mathcal H^D(E)$ は $0$、正の有限値、$\infty$ のどれにもなりうる。$\dim_{\mathrm H}E=D$ と $0< \mathcal H^D(E)< \infty$ は別の主張であり、後者が分かると前者が従う（prop-hdim-jump の対偶）。
$E\subset X$、$s>0$ について、$\mathcal H^s(E)=0$ と $\mathcal H^s_\infty(E)=0$ は同値である。とくに $\dim_{\mathrm H}E=\inf\{s>0\mid\mathcal H^s_\infty(E)=0\}$ である。
$\mathcal H^s_\infty\le\mathcal H^s$ なので、$\mathcal H^s_\infty(E)=0$ から $\mathcal H^s(E)=0$ を導けばよい。$\varepsilon>0$ に対し、$E$ の被覆 $(U_i)$ で $\sum_i\alpha_s(\operatorname{diam}U_i/2)^s< \varepsilon$ となるものがある。各項は $\varepsilon$ 未満なので $\operatorname{diam}U_i< \delta(\varepsilon):=2(\varepsilon/\alpha_s)^{1/s}$ であり、$\mathcal H^s_{\delta(\varepsilon)}(E)< \varepsilon$ である。$\varepsilon\downarrow0$ のとき $\delta(\varepsilon)\downarrow0$ であり、$\mathcal H^s_\delta(E)$ は $\delta\downarrow0$ で $\mathcal H^s(E)$ に単調に近づくので、$\mathcal H^s(E)=\lim_{\varepsilon\downarrow0}\mathcal H^s_{\delta(\varepsilon)}(E)=0$ である。$\square$
$\mathcal H^s_\infty$ は直径の制限がない分だけ扱いやすく、つねに $\mathcal H^s_\infty(E)\le\alpha_s(\operatorname{diam}E/2)^s$ を満たす。一方で $\mathcal H^s_\infty$ は一般に外測度として加法的にふるまわない。次元を決めるにはどちらを使ってもよい（BP17 Proposition 1.2.6、p. 6）。
基本性質
次元を下から評価するための基本的な道具として、次の補題を先に示す。
$\mu$ を $X$ 上の Borel 測度、$E\subset X$ を $\mu(E)>0$ となる Borel 集合、$s>0$ とする。定数 $C>0$、$\delta_0>0$ があって、$\operatorname{diam}F\le\delta_0$ を満たすすべての閉集合 $F$ について $\mu(F)\le C(\operatorname{diam}F)^s$ が成り立つとする。このとき
$$
\mathcal H^s(E)\ge\frac{\alpha_s\,\mu(E)}{2^sC}>0
$$
であり、とくに $\dim_{\mathrm H}E\ge s$ である。
$0< \delta\le\delta_0$ とし、$E$ の被覆 $(U_i)$ で $\operatorname{diam}U_i\le\delta$ のものをとる。閉包 $\overline{U_i}$ は直径が等しい閉集合なので、
$$
\mu(E)\le\sum_i\mu(\overline{U_i})\le C\sum_i(\operatorname{diam}U_i)^s=\frac{2^sC}{\alpha_s}\sum_i\alpha_s\Bigl(\frac{\operatorname{diam}U_i}{2}\Bigr)^s
$$
である。被覆について下限をとると $\mathcal H^s_\delta(E)\ge\alpha_s\mu(E)/(2^sC)$ となり、$\delta\downarrow0$ として評価を得る。$\mathcal H^s(E)>0$ なので、prop-hdim-jump により $\dim_{\mathrm H}E\ge s$ である。$\square$
測度 $\mu$ を集合の上に「均一に」配ることができれば、どんな被覆も $\mu(E)$ 以上の重さを運ばなければならない。上からの評価は被覆を 1 つ見つければよいが、下からの評価にはすべての被覆を抑える必要があり、測度がその役を果たす（BP17 Lemma 1.2.8、p. 7）。
$(X,d)$、$(Y,d')$ を距離空間とする。
- （単調性）$E\subset F\subset X$ なら $\dim_{\mathrm H}E\le\dim_{\mathrm H}F$ である。
- （可算安定性）$E_1,E_2,\dots\subset X$ について $\dim_{\mathrm H}\bigcup_{k}E_k=\sup_k\dim_{\mathrm H}E_k$ である。
- （Hölder 写像）$E\subset X$ と写像 $f\colon E\to Y$ が、定数 $L\ge0$ と $0< \beta\le1$ について $d'(f(x),f(y))\le L\,d(x,y)^\beta$（$x,y\in E$）を満たすなら、$\dim_{\mathrm H}f(E)\le\dim_{\mathrm H}E/\beta$ である。とくに Lipschitz 写像は次元を上げず、双 Lipschitz 写像は次元を保つ。
- 高々可算な集合の Hausdorff 次元は $0$ である。
- $E\subset\mathbb R^n$ なら $\dim_{\mathrm H}E\le n$ である。$E$ が Lebesgue 可測で Lebesgue 測度が正なら、$\dim_{\mathrm H}E=n$ である。
要点：1・2 は外測度の単調性と可算劣加法性、3 は被覆の像の直径を評価する、4 は 1 点を直径 $0$ の集合で覆う、5 は単位立方体への分割と lem-hdim-mass による。
詳細
1 は $\mathcal H^s$ の単調性から従う。
2. 1 により左辺は右辺以上である。$s>\sup_k\dim_{\mathrm H}E_k$ とすると、prop-hdim-jump により各 $k$ で $\mathcal H^s(E_k)=0$ であり、外測度の可算劣加法性から $\mathcal H^s(\bigcup_kE_k)=0$、したがって $\dim_{\mathrm H}\bigcup_kE_k\le s$ である。
3. $L=0$ なら $f(E)$ は高々 1 点なので 4 から従う。$L>0$ とし、$s>\dim_{\mathrm H}E$ をとる。$E$ の被覆 $(U_i)$ で $\operatorname{diam}U_i\le\delta$ のものに対し、$f(E)\subset\bigcup_if(U_i\cap E)$ であり $\operatorname{diam}f(U_i\cap E)\le L(\operatorname{diam}U_i)^\beta\le L\delta^\beta$ である。$t:=s/\beta$ とおくと $$ \sum_i\alpha_t\Bigl(\frac{\operatorname{diam}f(U_i\cap E)}{2}\Bigr)^t\le\frac{\alpha_tL^t}{2^t}\sum_i(\operatorname{diam}U_i)^{s}=K\sum_i\alpha_s\Bigl(\frac{\operatorname{diam}U_i}{2}\Bigr)^s,\qquad K:=\frac{2^s\alpha_tL^t}{2^t\alpha_s} $$ なので $\mathcal H^t_{L\delta^\beta}(f(E))\le K\,\mathcal H^s_\delta(E)$ であり、$\delta\downarrow0$ として $\mathcal H^t(f(E))\le K\,\mathcal H^s(E)=0$ を得る。よって $\dim_{\mathrm H}f(E)\le s/\beta$ であり、$s\downarrow\dim_{\mathrm H}E$ とすればよい。双 Lipschitz 写像 $f$ では $f$ と $f^{-1}$ の両方に $\beta=1$ の場合を使う。
4. 1 点 $\{x\}$ は直径 $0$ の 1 つの集合で覆えるので、すべての $s>0$ で $\mathcal H^s(\{x\})=0$ であり、$\dim_{\mathrm H}\{x\}=0$ である。2 から高々可算な和でも $0$ である。
5. $\mathbb R^n$ は辺の長さ $1$ の閉立方体 $Q_k$ の可算個の和である。$\mathcal H^n$ は $\mathbb R^n$ 上で Lebesgue 測度と一致するので $\mathcal H^n(Q_k)=1< \infty$ であり、prop-hdim-jump により $\dim_{\mathrm H}Q_k\le n$、2 と 1 により $\dim_{\mathrm H}E\le n$ である。後半では lem-hdim-mass を $\mu$ を Lebesgue 測度として使う。直径 $r$ の閉集合 $F$ は、$F$ の 1 点を中心とする半径 $r$ の閉球に含まれるので $\mu(F)\le\alpha_nr^n$ である。Lebesgue 可測集合 $E$ は同じ測度をもつ Borel 部分集合（たとえば閉集合の可算和）を含むので、1 により $E$ を Borel 集合としてよい。$\mu(E)>0$ なので $\dim_{\mathrm H}E\ge n$ である。$\square$
2 の可算安定性は、可算個の点からなる集合の次元が $0$ であることを含む。後で見るように、Minkowski 次元はこの性質をもたない。3 の Hölder 指数 $\beta$ による評価は等号に達しうる（ex-hdim-cantor-function）。
Cantor 集合の次元
Cantor集合 の定義「Cantor集合の構成」の記号を使う。$n\ge0$ と $a\in\{0,2\}^n$ について $I_a=[t_a,t_a+3^{-n}]$ を 第 $n$ 段の区間 と呼ぶ。$C_n$ は $2^n$ 個の第 $n$ 段の区間の和であり、$C=\bigcap_nC_n$ である。以下
$$
s_0:=\frac{\log2}{\log3}\approx0.6309,\qquad 3^{s_0}=2
$$
とおく。
$\dfrac{\alpha_{s_0}}{2^{s_0+1}}\le\mathcal H^{s_0}_\infty(C)\le\mathcal H^{s_0}(C)\le\dfrac{\alpha_{s_0}}{2^{s_0}}$ である。とくに $0< \mathcal H^{s_0}(C)< \infty$ であり、$\dim_{\mathrm H}C=\log2/\log3$ である。
上からの評価は $C_n$ による被覆で直ちに得られる。下からの評価が本質で、どんな被覆も第 $j$ 段の $2^j$ 個の区間をすべて捉えなければならないことと、直径 $r$ の集合が捉えられる第 $j$ 段の区間は $2^{j+1}r^{s_0}$ 個以下であることを組み合わせる。後者は次の 2 つの事実から従う。
- (a) 異なる第 $n$ 段の区間の点どうしの距離は $3^{-n}$ 以上である。
- (b) 各第 $n$ 段の区間 $I_a$ は $C$ の点を含む。
(a)：$a\ne a'$ とし、$a_k\ne a'_k$ となる最小の $k$（$k< n$）をとり、$b:=a|_k$ とする。Cantor集合 の補題「構成に現れる区間の入れ子」により $I_a,I_{a'}$ は $I_{b0},I_{b2}$ に一つずつ含まれ、この 2 つの区間の間には長さ $3^{-(k+1)}\ge3^{-n}$ の開区間がある。(b)：$a=(2r_0,\dots,2r_{n-1})$ なら、左端 $t_a$ は $\varphi(r_0,\dots,r_{n-1},0,0,\dots)$ に等しく、同記事の定理「3進表示による特徴づけ」により $C$ に属する。
上からの評価． $C\subset C_n$ であり、$C_n$ は直径 $3^{-n}$ の $2^n$ 個の区間で覆われる。$3^{s_0}=2$ より
$$
\mathcal H^{s_0}_{3^{-n}}(C)\le2^n\alpha_{s_0}\Bigl(\frac{3^{-n}}{2}\Bigr)^{s_0}=\frac{\alpha_{s_0}}{2^{s_0}}
$$
であり、$n\to\infty$ として $\mathcal H^{s_0}(C)\le\alpha_{s_0}2^{-s_0}$ を得る。
数え上げの補題． $V\subset\mathbb R$ が $0< \operatorname{diam}V<1$ を満たすとし、$3^{-(k+1)}\le\operatorname{diam}V<3^{-k}$ となる整数 $k\ge0$ をとる。このとき $j\ge k$ について、$V$ と交わる第 $j$ 段の区間は $2^{j+1}(\operatorname{diam}V)^{s_0}$ 個以下であることを示す。(a) により $V$ と交わる第 $k$ 段の区間は高々 1 つで、それを $I_b$ とする。第 $j$ 段の区間 $I_a$ は第 $k$ 段の区間 $I_{a|_k}$ に含まれるので、$I_a$ が $V$ と交われば $a|_k=b$ である。そのような $a\in\{0,2\}^j$ は $2^{j-k}$ 個であり、
$$
2^{j-k}=2^j\,3^{-s_0k}=2^j\,3^{s_0}\,3^{-s_0(k+1)}\le2^{j+1}(\operatorname{diam}V)^{s_0}
$$
である。
下からの評価． $C$ の高々可算な被覆 $(U_i)$ について $\sum_i(\operatorname{diam}U_i)^{s_0}\ge\frac12$ を示せば、両辺に $\alpha_{s_0}2^{-s_0}$ を掛けて下限をとり $\mathcal H^{s_0}_\infty(C)\ge\alpha_{s_0}2^{-s_0-1}$ を得る。$\operatorname{diam}U_i\ge1$ となる $i$ があれば明らかなので、すべて $\operatorname{diam}U_i<1$ とし、空でない $U_i$ だけを考える。$\varepsilon>0$ を固定する。各 $U_i$ は区間 $[\inf U_i,\sup U_i]$ に含まれるので、これを少し広げた開区間 $V_i\supset U_i$ で
$$
0< \operatorname{diam}V_i<1,\qquad(\operatorname{diam}V_i)^{s_0}\le(\operatorname{diam}U_i)^{s_0}+\varepsilon2^{-i}
$$
となるものがとれる。$C$ はコンパクトなので、有限個の $V_1,\dots,V_N$（番号を付け直す）で覆われる。$V_i$ に対して数え上げの補題の $k$ を $k_i$ とし、$j:=\max_ik_i$ とおく。(b) により第 $j$ 段の $2^j$ 個の区間はどれも $C$ の点を含み、したがってどれかの $V_i$ と交わる。補題により
$$
2^j\le\sum_{i=1}^N\#\{a\in\{0,2\}^j\mid I_a\cap V_i\ne\emptyset\}\le2^{j+1}\sum_{i=1}^N(\operatorname{diam}V_i)^{s_0}
$$
なので $\sum_{i\le N}(\operatorname{diam}V_i)^{s_0}\ge\frac12$ であり、$\sum_i(\operatorname{diam}U_i)^{s_0}\ge\frac12-\varepsilon$ である。$\varepsilon\downarrow0$ として主張を得る。
次元． $0< \mathcal H^{s_0}(C)< \infty$ なので、prop-hdim-jump により $\dim_{\mathrm H}C=s_0$ である。$\square$
上からの評価の被覆を作る区間は $C$ の構成そのものであり、次元 $s_0$ は「縮小率 $1/3$ の複製が $2$ 個」という自己相似性の方程式 $2\cdot3^{-s}=1$ の解である（rem-hdim-self-similar）。
Cantor集合 の命題「Cantor関数の構成」の全射 $F\colon C\to[0,1]$、$F(\varphi(r))=\sum_kr_k2^{-(k+1)}$ を考える。$x=\varphi(r)\ne y=\varphi(r')$ とし、$r_k\ne r'_k$ となる最小の $k$ をとると、同記事の評価から $|x-y|\ge3^{-(k+1)}$ であり、
$$
|F(x)-F(y)|\le\sum_{m\ge k}2^{-(m+1)}=2\cdot2^{-(k+1)}=2\bigl(3^{-(k+1)}\bigr)^{s_0}\le2|x-y|^{s_0}
$$
である。つまり $F$ は指数 $s_0$ の Hölder 写像である。thm-hdim-basic の 3 と 5 から
$$
1=\dim_{\mathrm H}[0,1]=\dim_{\mathrm H}F(C)\le\frac{\dim_{\mathrm H}C}{s_0}
$$
となり、$\dim_{\mathrm H}C\ge s_0$ がもう一度得られる。thm-hdim-cantor と合わせると、この Hölder 評価は等号で成り立つ。また $F$ は Lipschitz ではない（Lipschitz なら $1\le\dim_{\mathrm H}C=s_0$ となる）。Lipschitz でない連続写像は次元を上げうる。
Minkowski 次元との比較
同じ直径の集合だけで覆う次元も広く使われる。全有界な集合 $K\subset X$ と $\varepsilon>0$ について、直径 $\varepsilon$ 以下の集合で $K$ を覆うのに必要な最小の個数を $N(K,\varepsilon)$ とし、
$$
\underline{\dim}_{\mathrm M}K:=\liminf_{\varepsilon\downarrow0}\frac{\log N(K,\varepsilon)}{\log(1/\varepsilon)},\qquad
\overline{\dim}_{\mathrm M}K:=\limsup_{\varepsilon\downarrow0}\frac{\log N(K,\varepsilon)}{\log(1/\varepsilon)}
$$
をそれぞれ 下 Minkowski 次元・上 Minkowski 次元 という。両者が一致するとき、その値を Minkowski 次元（ボックス次元）という（BP17 §1.1、p. 1）。
全有界な $K\subset X$ について $\dim_{\mathrm H}K\le\underline{\dim}_{\mathrm M}K\le\overline{\dim}_{\mathrm M}K$ である。
後の不等号は定義から明らかである。$s>\underline{\dim}_{\mathrm M}K$ とし、$\underline{\dim}_{\mathrm M}K< t< s$ をとる。下極限の定義から、$\varepsilon_m\downarrow0$ で $N(K,\varepsilon_m)< \varepsilon_m^{-t}$ となる列がある。$N(K,\varepsilon_m)$ 個の直径 $\varepsilon_m$ 以下の集合による被覆を使うと
$$
\mathcal H^s_{\varepsilon_m}(K)\le\varepsilon_m^{-t}\,\alpha_s\Bigl(\frac{\varepsilon_m}{2}\Bigr)^s=\frac{\alpha_s}{2^s}\,\varepsilon_m^{s-t}\longrightarrow0
$$
である。$\mathcal H^s_\delta(K)$ は $\delta\downarrow0$ で $\mathcal H^s(K)$ に近づくので $\mathcal H^s(K)=0$ であり、$\dim_{\mathrm H}K\le s$ である。$\square$
Cantor 集合では両者は一致し、Minkowski 次元も $\log2/\log3$ である（BP17 Example 1.1.3、pp. 2–3）。一致しない例を次に示す。
$K:=\{0\}\cup\{1/n\mid n\ge1\}\subset\mathbb R$ は高々可算なので $\dim_{\mathrm H}K=0$ である（thm-hdim-basic の 4）。一方 Minkowski 次元は $1/2$ である（BP17 Example 1.1.4、p. 3）。
詳細
$0< \varepsilon<1$ に対し $(n+1)^{-2}< \varepsilon\le n^{-2}$ となる $n\ge1$ をとる。$2\le k\le n$ なら $\frac1{k-1}-\frac1k=\frac1{k(k-1)}>\frac1{k^2}\ge\frac1{n^2}\ge\varepsilon$ なので、$1,\frac12,\dots,\frac1n$ のどの 2 点の距離も $\varepsilon$ より大きく、直径 $\varepsilon$ 以下の集合はこのうち高々 1 点しか含まない。よって $N(K,\varepsilon)\ge n>\varepsilon^{-1/2}-1$ である。逆に、この $n$ 点をそれぞれ 1 点集合で覆い、残りの $K\cap[0,\frac1{n+1}]$ を長さ $\varepsilon$ の閉区間 $\lceil1/((n+1)\varepsilon)\rceil\le n+1$ 個で覆えば、$N(K,\varepsilon)\le2n+1\le2\varepsilon^{-1/2}+1$ である。両側の評価から $\log N(K,\varepsilon)/\log(1/\varepsilon)\to\frac12$ である。
Minkowski 次元は 1 点ずつの集合 $\{1/n\}$（どれも次元 $0$）の可算和で $1/2$ になり、thm-hdim-basic の 2 の可算安定性をもたない。被覆の集合の大きさを揃えるため、遠くまで散らばった点にも小さな集合を一つずつ割り当てなければならないからである。
自己相似集合
$\mathbb R^n$ の写像 $f$ が、ある $0< r< 1$ について $|f(x)-f(y)|=r|x-y|$ をすべての $x,y$ で満たすとき、縮小相似写像（縮小率 $r$）という。縮小相似写像 $f_1,\dots,f_m$（縮小率 $r_1,\dots,r_m$）について、$K=\bigcup_if_i(K)$ を満たす空でないコンパクト集合 $K$ がただ 1 つ存在し、自己相似集合 という（BP17 Theorem 2.1.1、p. 46、Definition 2.1.2、p. 49。この記事では証明しない）。$\sum_ir_i^s=1$ のただ 1 つの解 $s>0$ を 相似次元 という。
相似次元を $s$ とすると、つねに $\dim_{\mathrm H}K\le s$ である。さらに、空でない有界な開集合 $V$ で $f_i(V)\subset V$（各 $i$）かつ $f_i(V)\cap f_j(V)=\emptyset$（$i\ne j$）となるもの（開集合条件）があれば、$0< \mathcal H^s(K)< \infty$ であり、$\dim_{\mathrm H}K$ と Minkowski 次元はともに $s$ に等しい（Moran–Hutchinson の定理。BP17 Definition 2.2.1・Theorem 2.2.2、pp. 51–53）。後半はこの記事では証明しない。
前半の詳細
長さ $k$ の列 $w=(i_1,\dots,i_k)$ について $f_w:=f_{i_1}\circ\cdots\circ f_{i_k}$、$r_w:=r_{i_1}\cdots r_{i_k}$ とおくと、$K=\bigcup_{|w|=k}f_w(K)$ であり $\operatorname{diam}f_w(K)=r_w\operatorname{diam}K\le(\max_ir_i)^k\operatorname{diam}K$ である。$\sum_{|w|=k}r_w^s=(\sum_ir_i^s)^k=1$ なので $\mathcal H^s_\delta(K)\le\alpha_s2^{-s}(\operatorname{diam}K)^s$（$\delta=(\max_ir_i)^k\operatorname{diam}K$）となり、$k\to\infty$ として $\mathcal H^s(K)< \infty$、したがって $\dim_{\mathrm H}K\le s$ である。
- Cantor 集合：$f_1(x)=x/3$、$f_2(x)=x/3+2/3$、$V=(0,1)$。相似次元は $2\cdot3^{-s}=1$ の解 $\log2/\log3$ で、thm-hdim-cantor と一致する。
- Sierpiński のギャスケット：縮小率 $1/2$ の 3 つの写像で、$V$ は三角形の内部にとれる（BP17 p. 51）。次元は $\log3/\log2\approx1.585$。
- von Koch 曲線：縮小率 $1/3$ の 4 つの写像で、次元は $\log4/\log3\approx1.262$（BP17 Example 1.2.10、p. 8）。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 可算安定性（thm-hdim-basic の 2）の「可算個」 | $\mathbb R=\bigcup_{x\in\mathbb R}\{x\}$ | 各 1 点集合の次元は $0$ なのに和の次元は $1$ で、上限の等式が崩れる |
| thm-hdim-basic の 3 で $\beta=1$（Lipschitz） | Cantor 関数 $F\colon C\to[0,1]$（ex-hdim-cantor-function） | 指数 $s_0$ の Hölder 写像で、次元が $s_0$ から $1$ に上がる |
| thm-hdim-basic の 5 の「Lebesgue 測度が正」 | Cantor 集合（測度 $0$） | 非可算で $\mathbb R$ の部分集合だが次元は $\log2/\log3<1$ |
| 被覆の集合の大きさを自由にすること（Minkowski 次元にする） | $\{0\}\cup\{1/n\}$（ex-hdim-minkowski-countable） | 可算集合なのに次元が $1/2$ で、可算安定性が崩れる |
| 開集合条件（rem-hdim-self-similar） | $\mathbb R$ の $f_1(x)=\frac23x$、$f_2(x)=1-\frac23x$ | 相似次元は $2(2/3)^s=1$ の解で $1$ より大きいが、$\mathbb R$ の部分集合の次元は $1$ 以下 |
最後の行の 2 つの写像の自己相似集合は $[0,1]$ である（$f_1([0,1])\cup f_2([0,1])=[0,\frac23]\cup[\frac13,1]=[0,1]$）。像が重なるので、相似次元は次元を上回る（BP17 p. 54）。
補足
- 冪関数 $t^s$ の代わりに、$h(0)=0$ の単調増加関数 $h$（ゲージ関数）を使って $\sum_ih(\operatorname{diam}U_i)$ から同じ手順で測度を作ることもできる（BP17 §1.2、p. 6）。$h(t)=t^s$ の場合がこの記事の $\mathcal H^s$（の定数倍）である。
- Hausdorff 次元は距離から定まる量であり、thm-hdim-basic の 3 により双 Lipschitz 写像で保たれる。Lipschitz でない写像では次元が変わりうることは ex-hdim-cantor-function で見た。
関連項目
- 前提: Hausdorff測度と面積・余面積公式, 距離空間, 外測度, Lebesgue測度
- 比較: 被覆次元, Lebesgue測度
- 例: Cantor集合
- 発展: Lipschitz多様体とSullivanの定理
参考文献
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