Hartogs–Bochnerの拡張定理

2 から 1・3 は明らかで、$\langle\lambda b,b\rangle=\lambda|b|^2$ から $\lambda$ の式が出る。1 ⇒ 2：$b_k\ne0$ となる $k$ を選び $\lambda:=a_k/b_k$ とおくと、$a_j=a_kb_j/b_k=\lambda b_j$ である。3 ⇒ 1：$t:=b_ke_j-b_je_k$（$e_j$ は標準基底）は $\sum_lt_lb_l=0$ を満たすので、$b_ka_j-b_ja_k=0$ である。$\square$

要点：境界の近くで $\rho$ を座標の 1 つにとり、$g$ をその座標について積分で表す。

要点：Hartogsの拡張定理 の補題「台がコンパクトな解」の証明は、1 階の偏導関数しか使わないので、右辺が $C^1$ 級でもそのまま通る。

$b:=\bar\partial\rho$ とおく。$b$ は $\partial\Omega$ の開近傍 $N\subset W$ の上で $0$ にならない。隆起関数 の記事の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、台が $N$ に含まれる $C^\infty$ 級関数 $\chi$ で、コンパクト集合 $\partial\Omega$ の近傍で $\chi=1$ となるものをとる。$\mathbb{C}^n$ 値の関数 $a$ に対して $P(a):=\chi\langle a,b\rangle/|b|^2$（$N$ の外では $0$）とおく。$a\in C^m(\overline\Omega)$ なら $P(a)\in C^{\min(m,3)}(\overline\Omega)$ である。
1. 1 回目の補正。 $a:=\bar\partial u\in C^3(\overline\Omega)$ とし、$l_0:=P(a)\in C^3(\overline\Omega)$ とおく。$\partial\Omega$ の上では $a\wedge b=0$ なので、lem-hb-wedge により $a=l_0b$ である。よって $a-l_0b\in C^3(\overline\Omega)$ は $\partial\Omega$ で $0$ になり、lem-hb-division を成分ごとに使うと $a-l_0b=\rho h_1$、$h_1\in C^2(\overline\Omega)$ と書ける。すると
$$ \bar\partial(u-l_0\rho)=a-l_0b-\rho\,\bar\partial l_0=\rho h_2,\qquad h_2:=h_1-\bar\partial l_0\in C^2(\overline\Omega) $$
である。
2. 2 回目の補正。 $u-l_0\rho$ は $\Omega$ の上で $C^3$ 級なので $\rho h_2$ は $\bar\partial$ 閉である。成分で書くと、$\Omega$ の上で
$$ b_kh_{2,j}-b_jh_{2,k}+\rho\Bigl(\frac{\partial h_{2,j}}{\partial\bar z_k}-\frac{\partial h_{2,k}}{\partial\bar z_j}\Bigr)=0 $$
であり、括弧の中は $\overline\Omega$ の上で有界な連続関数に延びるので、$\partial\Omega$ に近づけると $\partial\Omega$ の上で $h_2\wedge b=0$ となる。$l_3:=P(h_2)\in C^2(\overline\Omega)$ とおくと、1 と同じく $h_2-l_3b=\rho h_4$、$h_4\in C^1(\overline\Omega)$ と書ける。
$$ U_0:=u-l_0\rho-\tfrac12l_3\rho^2\in C^2(\overline\Omega) $$
とおくと、$\partial\Omega$ の上で $U_0=u$ であり、
$$ \bar\partial U_0=\rho h_2-\rho l_3b-\tfrac12\rho^2\bar\partial l_3=\rho^2F,\qquad F:=h_4-\tfrac12\bar\partial l_3\in C^1(\overline\Omega) $$
である。
3. 右辺を外へ $0$ で延ばす。 $f:=\bar\partial U_0=\rho^2F$（$\Omega$ の上）、$f:=0$（$\mathbb{C}^n\setminus\Omega$ の上）とおく。$f$ が $\mathbb{C}^n$ 上の $C^1$ 級で $\bar\partial$ 閉なことを示す。$\Omega$ の上と $\mathbb{C}^n\setminus\overline\Omega$ の上では明らかで（$U_0$ は $\Omega$ で $C^2$ 級）、残るのは $q\in\partial\Omega$ の近くである。$F$ と $F$ の 1 階の偏導関数は $\overline\Omega$ の上で有界であり、$\rho$ は $q$ の近くで Lipschitz 連続で $\rho(q)=0$ だから、$|f(z)|\le C|z-q|^2$ が $q$ の近くで成り立つ。よって $f$ は $q$ で微分可能で微分は $0$ である。また $\Omega$ の上で $\partial f/\partial x=2\rho F\,\partial\rho/\partial x+\rho^2\,\partial F/\partial x$ は $\partial\Omega$ に近づくと $0$ に近づくので、1 階の偏導関数は $\mathbb{C}^n$ 上で連続である。$\partial\Omega$ の上では 1 階の偏導関数がすべて $0$ なので、$\bar\partial$ 閉の条件はそこでも成り立つ。$\Omega$ は有界なので $f$ の台はコンパクトである。
4. 補正の関数。 $\overline\Omega\subset P_R$ となる $R$ をとり、lem-hb-dbar により $v\in C^1(\mathbb{C}^n)$ で $\bar\partial v=f$、$P_R$ の外で $v=0$ となるものをとる。開集合 $\mathbb{C}^n\setminus\overline\Omega$ の上では $\bar\partial v=0$ なので $v$ は正則であり、この集合は連結で、空でない開集合 $\mathbb{C}^n\setminus P_R$ の上で $v=0$ だから、一致の定理 により $\mathbb{C}^n\setminus\overline\Omega$ の上で $v=0$ である。$\partial\Omega$ の点は外側の点の極限なので、連続性により $\partial\Omega$ の上でも $v=0$ である。
5. 延長。 $U:=U_0-v$ とおくと $U\in C^1(\overline\Omega)$ である。$\Omega$ の上では $\bar\partial U=f-f=0$ なので $U$ は正則であり、$\partial\Omega$ の上では $U=u-0=u$ である。
一意性。 $U_1,U_2$ が 2 つの延長なら、$G:=U_1-U_2$ は $\overline\Omega$ の上で連続、$\Omega$ の上で正則で、$\partial\Omega$ の上で $0$ である。コンパクト集合 $\overline\Omega$ の上で $|G|$ が最大値 $M$ を点 $z_0$ でとるとし、$M>0$ と仮定する。$z_0\in\Omega$ である。$e\in\mathbb{C}^n$、$e\ne0$ を 1 つとり、$\{\lambda\in\mathbb{C}\mid z_0+\lambda e\in\Omega\}$ の $0$ を含む連結成分を $D$ とする。$D$ は有界な領域で、$g(\lambda):=G(z_0+\lambda e)$ は $D$ の上で正則、$\overline D$ の上で連続、$|g|\le M=|g(0)|$ だから、最大値原理(複素解析) の定理「最大値原理」により $D$ の上で定数である。$D$ の境界の点 $\lambda_1$ では $z_0+\lambda_1e$ は $\Omega$ に属さない（属すればその近くの円板も $\Omega$ に写り、$D$ とつながって $\lambda_1\in D$ となる）ので $\partial\Omega$ に属し、$|g(\lambda_1)|=0$ である。これは $M>0$ に反する。よって $G=0$ である。$\square$

1. prf-hb-division の座標 $(y,t)$ をとり、$\tilde w:=w\circ\Phi^{-1}$ とする。$y$ について結ぶ線分を $t< 0$ の高さで考えると、$\tilde w(y_2,t)-\tilde w(y_1,t)$ は $\partial\tilde w/\partial y$ の線分の上の積分であり、$t\to0$ とすると左辺は $0$ に、右辺は $t=0$ での連続な延長の積分に近づく。どの線分でも積分が $0$ なので、$t=0$ の上で $\partial\tilde w/\partial y$ の延長は $0$ である。よって $q$ では、実の微分 $dw(q)$（偏導関数の延長でつくる実線形写像）は $c\,d\rho(q)$（$c\in\mathbb{C}$）の形である。$dw=\sum_j\bigl(\frac{\partial w}{\partial z_j}dz_j+\frac{\partial w}{\partial\bar z_j}d\bar z_j\bigr)$ と $d\rho$ の同じ表示の $d\bar z_j$ の係数を比べると $\bar\partial w(q)=c\,\bar\partial\rho(q)$ である。
2. $w:=u_1-u_2$ に 1 を使い、外積が双線形であることによる。
3. $\bar\partial U=0$ が $\Omega$ で成り立ち、連続性により $\partial\Omega$ の上でも $0$ である。$w:=U-u$ に 1 を使うと $\bar\partial u=-c\,\bar\partial\rho$ なので $\bar\partial u\wedge\bar\partial\rho=0$ である。$\square$