合同数
概要
合同数（congruent number）とは、3 辺がすべて有理数の直角三角形の面積になる正の有理数のことで、$6$（3 辺 $3,4,5$）や $5$（3 辺 $\frac32,\frac{20}3,\frac{41}6$）が例であり、$1,2,3$ は合同数でない。$n$ が合同数であることは、楕円曲線 $y^2=x^3-n^2x$ が $y\ne0$ の有理点をもつことと同値で、直角三角形と曲線の点は具体的な式で 1 対 1 に対応する。この対応と有理点の群構造から、合同数なら面積 $n$ の三角形は無数にあることが分かる。一般の $n$ を判定する Tunnell の判定法は、一方の向きが証明され、逆向きは Birch–Swinnerton-Dyer 予想に依存する。
$3,4,5$ の直角三角形の面積は $6$ であり、3 辺が $\frac32,\frac{20}3,\frac{41}6$ の直角三角形の面積は $5$ である。このように 3 辺がすべて有理数の直角三角形の面積になる数を合同数という。どの数が合同数かという問いは古代から考えられてきたが（Mil06 p.3）、その答えは、3 次曲線 $y^2=x^3-n^2x$ が $y\ne0$ の有理点をもつかどうかと同値である。この対応によって合同数の問題は楕円曲線の有理点の問題になり、有理点の群構造から「合同数なら面積 $n$ の三角形は無数にある」ことが、さらに Birch–Swinnerton-Dyer 予想を通じて Tunnell の判定法が導かれる。平方数の等差数列を使った初等的な扱いと「$1$ は合同数でない」ことの証明は 合同数（高校数学） にあり、ここでは楕円曲線との対応を中心に述べる。
定義
3 辺の長さがすべて有理数の直角三角形を、ここでは 有理直角三角形 という。直角をはさむ 2 辺を $a,b$、斜辺を $c$ とすると、条件は $a,b,c$ が正の有理数で $a^2+b^2=c^2$ となることであり、面積は $\frac12ab$ である。
正の有理数 $n$ が 合同数（congruent number）であるとは、面積が $n$ の有理直角三角形が存在すること、すなわち
$$
a^2+b^2=c^2,\qquad \frac12ab=n
$$
を満たす正の有理数 $a,b,c$ が存在することをいう。
有理直角三角形の 3 辺を正の有理数 $r$ 倍すると、有理直角三角形のまま面積が $r^2$ 倍になる。したがって、$n$ が合同数であることと $r^2n$ が合同数であることは同値である（合同数（高校数学） の命題「平方数倍しても合同数かどうかは変わらない」は整数の場合で、証明は同じである）。正の有理数 $n=p/q$ は $q^2n=pq$ と整数にでき、さらに平方因子を括り出せるので、合同数かどうかは 平方因子をもたない正の整数 $n=1,2,3,5,6,7,10,\dots$ について調べれば十分である。文献によっては $0$ でない有理数 $n$ で $\pm n$ が面積になるものを合同数という（Ste17 Definition 6.5.6）が、符号を除いて同じ概念である。
各 $n$ に対し、有理数体上の曲線
$$
E_n\colon\ y^2=x^3-n^2x=x(x-n)(x+n)
$$
を考える。右辺の 3 次式は相異なる 3 根 $0,\pm n$ をもつので $E_n$ は滑らかであり、無限遠点 $O$ を基点とする $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線である（楕円曲線 の命題「滑らかさと判別式」）。$E_n(\mathbb{Q})$ は $O$ と、$y^2=x^3-n^2x$ を満たす有理数の組 $(x,y)$ の全体からなる（有理点）。
例
| $n$ | 有理直角三角形 $(a,b,c)$ | $E_n$ の点 $P=f(a,b,c)$ |
|---|---|---|
| $6$ | $(3,4,5)$ | $(-3,9)$ |
| $5$ | $\left(\frac32,\frac{20}3,\frac{41}6\right)$ | $(-4,6)$ |
| $7$ | $\left(\frac{24}5,\frac{35}{12},\frac{337}{60}\right)$ | $\left(-\frac{49}{25},\frac{1176}{125}\right)$ |
右の列の写像 $f$ は thm-congnum-bijection で定める。たとえば $(-3,9)$ は $(-3)^3-36\cdot(-3)=-27+108=81=9^2$ を満たす。$7$ が合同数であることは Euler が示した（Mil06 p.3）。
平方因子をもたない $50$ 以下の合同数は
$$
5,6,7,13,14,15,21,22,23,29,30,31,34,37,38,39,41,46,47
$$
である（Ste17 §6.5.3 の $50$ 以下の合同数の表から、平方因子をもたないものを抜き出した）。一方、$1,2,3$ は合同数でない（$1$ については 合同数（高校数学） の定理「$1$ は合同数でない」。$2,3$ は Fermat による。Mil06 p.3）。
合同数であっても、最も簡単な三角形の辺が非常に複雑になることがある。Zagier が指摘したとおり $157$ は合同数で、最も簡単な有理直角三角形の直角をはさむ 2 辺は
$$
a=\frac{6803298487826435051217540}{411340519227716149383203},\qquad b=\frac{411340519227716149383203}{21666555693714761309610}
$$
である（Ste17 §6.5.3）。$\frac12ab=157$ となることと、$a^2+b^2$ が有理数の 2 乗になることは、有理数の計算で確かめられる。このような三角形を総当たりで見つけるのは難しい。
主定理：直角三角形と $E_n$ の点
符号を許した解の集合
$$
T_n:=\Bigl\{(a,b,c)\in\mathbb{Q}^3\Bigm|a^2+b^2=c^2,\ \tfrac12ab=n\Bigr\},\qquad B_n:=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{Q}^2\bigm|y^2=x^3-n^2x,\ y\ne0\bigr\}
$$
を考える。$(a,b,c)\in T_n$ なら $ab=2n>0$ なので $a,b$ は同符号で $0$ でなく、$(\lvert a\rvert,\lvert b\rvert,\lvert c\rvert)$ は面積 $n$ の有理直角三角形である。逆に有理直角三角形は $T_n$ の元である。よって $n$ が合同数であることと $T_n\ne\emptyset$ は同値である。
$n$ を正の有理数とする。写像
$$
f(a,b,c):=\left(-\frac{nb}{a+c},\ \frac{2n^2}{a+c}\right),\qquad g(x,y):=\left(\frac{n^2-x^2}y,\ -\frac{2nx}y,\ \frac{n^2+x^2}y\right)
$$
は互いに逆な全単射 $f\colon T_n\to B_n$、$g\colon B_n\to T_n$ を与える。
$f$ が定義されること：$(a,b,c)\in T_n$ で $a+c=0$ なら、$c^2=a^2$ から $b=0$ となり $ab=2n$ に反する。よって $s:=a+c\ne0$ である。また $b^2=c^2-a^2=(c-a)s$ である。
$f$ の値が $B_n$ に入ること：$x=-nb/s$、$y=2n^2/s$ とおくと $y\ne0$ であり、
$$
x^3-n^2x=x(x^2-n^2)=-\frac{nb}s\cdot\frac{n^2(b^2-s^2)}{s^2}=-\frac{n^3b}{s^3}\bigl((c-a)s-s^2\bigr)=-\frac{n^3b}{s^3}\cdot(-2as)=\frac{2n^3ab}{s^2}=\frac{4n^4}{s^2}=y^2
$$
である（$c-a-s=-2a$、$ab=2n$ を使った）。
$g$ の値が $T_n$ に入ること：$(x,y)\in B_n$ とし、$(a',b',c')=g(x,y)$ とおく。$y\ne0$ なので定義される。$(n^2-x^2)^2+4n^2x^2=(n^2+x^2)^2$ から $a'^2+b'^2=c'^2$ であり、$\frac12a'b'=\frac{-nx(n^2-x^2)}{y^2}=\frac{n(x^3-n^2x)}{y^2}=n$ である。
$g\circ f=\mathrm{id}$：上の $x,y$ について $x^2=n^2b^2/s^2$、$1/y=s/(2n^2)$ だから
$$
c'=\frac{n^2+x^2}y=\frac{s^2+b^2}{2s}=\frac{s^2+(c-a)s}{2s}=c,\qquad a'=\frac{n^2-x^2}y=\frac{s^2-(c-a)s}{2s}=a,\qquad b'=-\frac{2nx}y=b
$$
である（$s+c-a=2c$、$s-c+a=2a$）。
$f\circ g=\mathrm{id}$：$(x,y)\in B_n$、$(a',b',c')=g(x,y)$ について $a'+c'=2n^2/y$ なので、$f(a',b',c')=\bigl(-nb'y/(2n^2),\ y\bigr)=\bigl(x,y\bigr)$ である。$\square$
正の有理数 $n$ が合同数であるための必要十分条件は、$E_n(\mathbb{Q})$ が $y\ne0$ の点をもつことである。
$n$ が合同数 $\iff T_n\ne\emptyset\iff B_n\ne\emptyset$ であり、後者の同値は thm-congnum-bijection による。$\square$
thm-congnum-bijection と cor-congnum-criterion は Ste17 Proposition 6.5.9・6.5.10 である（同書は写像を与え、証明を省いている）。$y=0$ の点 $(0,0)$、$(\pm n,0)$ と無限遠点 $O$ は三角形に対応しない。$g$ は $y$ で割るので、これらの点では定義されない。
点の 2 倍と平方数の等差数列
$E_n(\mathbb{Q})$ には弦と接線による加法があり、$O$ を単位元とするアーベル群になる（楕円曲線 の定義「弦と接線による加法」、定理「群構造と因子類群」）。点 $P=(x,y)$（$y\ne0$）の 2 倍 $2P$ は、$P$ での接線の傾き $\lambda=\frac{3x^2-n^2}{2y}$ を使って $x(2P)=\lambda^2-2x$ で与えられる。
$(a,b,c)\in T_n$、$P=f(a,b,c)$ とすると、$2P$ の $x$ 座標は $(c/2)^2$ であり、
$$
2P=\left(\Bigl(\frac c2\Bigr)^2,\ \pm\frac c2\cdot\frac{a-b}2\cdot\frac{a+b}2\right)
$$
である（複号のどちらか）。特に $(c/2)^2-n=\bigl(\frac{a-b}2\bigr)^2$、$(c/2)^2+n=\bigl(\frac{a+b}2\bigr)^2$ はともに有理数の 2 乗である。
$P=(x,y)$ とする。$y^2=x^3-n^2x$ を使うと
$$
x(2P)=\frac{(3x^2-n^2)^2}{4y^2}-2x=\frac{(3x^2-n^2)^2-8x(x^3-n^2x)}{4y^2}=\frac{x^4+2n^2x^2+n^4}{4y^2}=\left(\frac{x^2+n^2}{2y}\right)^2
$$
である。thm-congnum-bijection の $g\circ f=\mathrm{id}$ により $\frac{x^2+n^2}y=c$ なので、$x(2P)=(c/2)^2$ である。次に $(c/2)^2\mp n=\frac{a^2+b^2}4\mp\frac{ab}2=\bigl(\frac{a\mp b}2\bigr)^2$ であり、$2P$ は $E_n$ 上の点だから
$$
y(2P)^2=x(2P)\bigl(x(2P)-n\bigr)\bigl(x(2P)+n\bigr)=\Bigl(\frac c2\Bigr)^2\Bigl(\frac{a-b}2\Bigr)^2\Bigl(\frac{a+b}2\Bigr)^2
$$
となり、主張を得る。$\square$
prop-congnum-doubling の後半は、合同数（高校数学） の定理「合同数と平方数の等差数列」（$n$ が合同数 $\iff$ $x^2-n$、$x^2$、$x^2+n$ がすべて有理数の 2 乗となる有理数 $x$ がある）で $x=c/2$ ととったものであり、同記事の命題「合同数から曲線の点を作る」の点 $(x^2,xst)$ は、ちょうど $2P$（またはその $-1$ 倍）である。すなわち平方数の等差数列による初等的な扱いは、楕円曲線の上では点の 2 倍をとる操作にあたる（Ste17 Proposition 6.5.7）。
$n=6$、$(a,b,c)=(3,4,5)$ では $P=(-3,9)$、$2P=\bigl(\frac{25}4,-\frac{35}8\bigr)$ で、確かに $x(2P)=(5/2)^2$ である。$g(2P)=\bigl(\frac7{10},\frac{120}7,-\frac{1201}{70}\bigr)$ から、3 辺が $\frac7{10},\frac{120}7,\frac{1201}{70}$ の有理直角三角形が得られる。面積は $\frac12\cdot\frac7{10}\cdot\frac{120}7=6$ であり、$\bigl(\frac7{10}\bigr)^2+\bigl(\frac{120}7\bigr)^2=\frac{2401+1440000}{4900}=\frac{1442401}{4900}=\bigl(\frac{1201}{70}\bigr)^2$ である。
$n=5$ では $P=(-4,6)$、$2P=\bigl(\frac{1681}{144},-\frac{62279}{1728}\bigr)$ で、$g(2P)$ から 3 辺 $\frac{1519}{492},\frac{4920}{1519},\frac{3344161}{747348}$ の面積 $5$ の有理直角三角形が得られる（Ste17 Example 6.5.11）。
位数 2 の点と無数の三角形
$E_n(\mathbb{Q})$ の点のうち $y=0$ のものは $(0,0)$、$(n,0)$、$(-n,0)$ の 3 つで、これらは $O$ とあわせて位数 $2$ 以下の点の全体 $E_n[2]\cong\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ をなす（楕円曲線 の命題「位数 2 の点」。$x^3-n^2x$ の 3 根 $0,\pm n$ がすべて有理数なので、4 点すべてが $\mathbb{Q}$ 上の点である）。有限位数の点はこれ以外にないことが知られている。
正の整数 $n$ について、$E_n(\mathbb{Q})$ の有限位数の点は $O$、$(0,0)$、$(n,0)$、$(-n,0)$ の 4 つだけである。
Ste17 Theorem 6.5.14 の直後に、この事実を示すことで同定理を証明すると述べられている（証明は同書にない）。証明には有限体上への還元などの道具が要り、この記事の範囲を超えるので割愛する。
$n$ が合同数ならば、面積 $n$ の有理直角三角形は無数にある。
$n$ を平方因子をもたない正の整数としてよい（辺を定数倍すれば三角形の個数は変わらない）。cor-congnum-criterion により $y\ne0$ の点 $P\in E_n(\mathbb{Q})$ があり、thm-congnum-torsion により $P$ の位数は無限なので、$P,2P,3P,\dots$ はすべて異なる。これらはどれも有限位数の 4 点ではないので $y\ne0$ であり、$B_n$ の相異なる元である。thm-congnum-bijection により $T_n$ は無限集合である。1 つの有理直角三角形 $(a,b,c)$ に対応する $T_n$ の元は $(\pm a,\pm b,\pm c)$ と $a,b$ の入れ替えで高々 $8$ 個なので、有理直角三角形は無数にある。$\square$
この系は Ste17 Theorem 6.5.14 である。$E_n(\mathbb{Q})$ は有限生成アーベル群（楕円曲線 の定理「Mordell–Weil の定理」）なので、thm-congnum-torsion とあわせて $E_n(\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}^r$ と書け、$n$ が合同数であることは階数 $r$ が $1$ 以上であることと同値である。
合同数でない数と Tunnell の判定法
合同数であることは三角形を 1 つ示せばよいが、合同数でないことを示すには、どの三角形もないことを示さなければならない。$n=1$ については、無限降下法による初等的な証明がある（合同数（高校数学） の定理「$1$ は合同数でない」）。cor-congnum-criterion により、これは $E_1(\mathbb{Q})$ が $O$、$(0,0)$、$(\pm1,0)$ の 4 点だけであることと同値である（楕円曲線 の例「曲線 $y^2=x^3-x$ と虚数乗法」）。$2$ と $3$ が合同数でないことは Fermat が示した（Mil06 p.3）。
一般の $n$ に対する判定法として、次の Tunnell の判定法がある。
$n$ を平方因子をもたない正の整数とし、$n$ が奇数なら
$$
N_{\mathrm{even}}:=\#\{(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3\mid 2a^2+b^2+8c^2=n,\ c\text{ は偶数}\},\quad N_{\mathrm{odd}}:=\#\{(a,b,c)\in\mathbb{Z}^3\mid 2a^2+b^2+8c^2=n,\ c\text{ は奇数}\}
$$
とおき、$n$ が偶数なら $2a^2+b^2+8c^2=n$ の代わりに $4a^2+b^2+8c^2=n/2$ で同じように $N_{\mathrm{even}},N_{\mathrm{odd}}$ を定める。
- $n$ が合同数ならば $N_{\mathrm{even}}=N_{\mathrm{odd}}$ である。対偶として、$N_{\mathrm{even}}\ne N_{\mathrm{odd}}$ なら $n$ は合同数でない。この向きは証明されている（Ste17 Conjecture 6.5.15 の直後の段落）。
- 逆に $N_{\mathrm{even}}=N_{\mathrm{odd}}$ なら $n$ は合同数であることは、楕円曲線 $E_n$ に対する Birch–Swinnerton-Dyer 予想を仮定すると成り立つ（Tunnell。Ste17 Conjecture 6.5.15、Mil06 p.3）。この向きは一般には未解決である。
どちらも証明はここでは述べない。Mil06 p.3 は奇数の場合を「$2x^2+y^2+8z^2=n$ の解の個数が $2x^2+y^2+32z^2=n$ の解の個数の 2 倍に等しい」という同値な形で述べている。
小さい $n$ で $N_{\mathrm{even}},N_{\mathrm{odd}}$ を数えると次のとおりである。
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $5$ | $6$ | $7$ | $11$ | $34$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $N_{\mathrm{even}}$ | $2$ | $2$ | $4$ | $0$ | $0$ | $0$ | $4$ | $4$ |
| $N_{\mathrm{odd}}$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $8$ | $4$ |
たとえば $n=3$ では $c=0$ しかありえず（$8c^2\le3$）、$2a^2+b^2=3$ の解は $(a,b)=(\pm1,\pm1)$ の 4 個なので $N_{\mathrm{even}}=4$、$N_{\mathrm{odd}}=0$ である。$n=1,2,3,11$ では個数が異なるので、証明済みの向きにより合同数でない。$n=5,6,7,34$ では個数が等しく、実際に合同数である（$34$ については Ste17 §6.5.3 の表）。どの $n$ でも $\lvert a\rvert,\lvert b\rvert,\lvert c\rvert\le\sqrt n$ なので、個数は有限個の組を調べれば求まる。
反例
| 条件や推測 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 辺を有理数から整数に強める | $n=5$ | 面積 $5$ の三角形がある |
| $E_n$ の有理点なら三角形を与える（$y\ne0$ を外す） | $(0,0)$、$(\pm n,0)$ | 対応する三角形がある |
| $n\equiv3\pmod8$ なら合同数でない（小さい $n$ からの推測） | $n=219$ | 合同数でない |
1 行目：3 辺が整数の直角三角形の面積は $6$ の倍数なので、$5$ は整数辺の直角三角形の面積にならない（合同数（高校数学） の例「反例：辺を整数に限ると $5$ は面積にならない」）。一方 $5$ は 3 辺 $\frac32,\frac{20}3,\frac{41}6$ で合同数である。合同数の定義で辺を有理数まで許すことは本質的である。
2 行目：$E_n$ の点 $(0,0)$、$(\pm n,0)$ は有理点であるが $y=0$ なので thm-congnum-bijection の $g$ が定義されず、三角形に対応しない。実際 $n=1$ では $E_1(\mathbb{Q})$ はこの 3 点と $O$ だけで、$1$ は合同数でない。「有理点をもつ」ではなく「$y\ne0$ の有理点をもつ」（階数が正）が合同数の条件である。
3 行目：$50$ 以下の合同数の表には $8$ を法として $3$ 以外のすべての剰余類が現れ、$218$ 以下で $n\equiv3\pmod8$ の合同数はないが、$219\equiv3\pmod8$ は合同数である（Ste17 §6.5.3）。小さい数での規則性から判定法を推測することはできない。$219$ について rem-congnum-tunnell の個数を数えると $N_{\mathrm{even}}=N_{\mathrm{odd}}=24$ で、判定法と矛盾しない。
注意
- 名前について：「合同数」の「合同」は、合同式や図形の合同とは関係がない。$n$ が合同数であることは、公差 $n$ の 3 項等差数列 $x^2-n$、$x^2$、$x^2+n$ をなす有理数の平方があることと同値であり（prop-congnum-doubling と 合同数（高校数学） の定理「合同数と平方数の等差数列」）、Ste17 §6.5.3 は、合同数が 3 つの平方数の共通の差（congruence）であることを名前の理由として挙げている。
- 曲線の取り替え：正の有理数 $r$ について $(x,y)\mapsto(r^2x,r^3y)$ は $E_n$ から $E_{r^2n}$ への同型で、$y\ne0$ の点を $y\ne0$ の点に移す。これは「$n$ と $r^2n$ は同時に合同数」の曲線の側での表れである。
- 用語の範囲：合同数を正の整数に限って定義する流儀（合同数（高校数学）、Mil06 p.2）、正の有理数とする流儀（この記事）、$0$ でない有理数で $\pm n$ が面積になるものとする流儀（Ste17）があるが、平方因子をもたない正の整数に帰着させれば同じ問題である。
関連項目
参考文献
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