Arakelov理論

別の切断は $a\lambda$（$a\in K^\times$）と書ける。第 1 項は $\sum_{\mathfrak p}\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(a)\log N\mathfrak p=\log\lvert N_{K/\mathbb Q}(a)\rvert$ だけ増える（$a\mathcal O_K$ のイデアルノルムは $\lvert N_{K/\mathbb Q}(a)\rvert$ である）。第 2 項は $-\sum_\sigma\log\lvert\sigma(a)\rvert$ だけ増え、$\prod_\sigma\lvert\sigma(a)\rvert=\lvert N_{K/\mathbb Q}(a)\rvert$ なので和は $0$ である。テンソル積については $\lambda\otimes\lambda'$ を切断にとる。局所的な位数も $\log\|\cdot\|_\sigma$ も足し算になる。等長同型で切断を写せば等長性の主張も分かる。$\square$

$I:=\sum_jx_j\mathcal O_K$ を座標が生成する分数イデアルとする。全射 $\mathcal O_K^{n+1}\to I$（$e_j\mapsto x_j$）が定める $\operatorname{Spec}\mathcal O_K\to\mathbb P^n_{\mathcal O_K}$ が $P$ である（局所的に座標を $I$ の生成元で割ると、ある座標が単数になり、$P$ の延長が得られる）。したがって $P^*\mathcal O(1)\cong I$ で、$P^*X_j$ は $x_j$ に対応する。$x_0\ne0$ として $\lambda=x_0$ を切断にとる。第 1 項は $\log\#(I/x_0\mathcal O_K)=\log\lvert N_{K/\mathbb Q}(x_0)\rvert-\log NI$ である。第 2 項は $-\sum_\sigma\log\lvert\sigma x_0\rvert+\sum_\sigma\log\max_j\lvert\sigma x_j\rvert$ である。$\log\lvert N_{K/\mathbb Q}(x_0)\rvert=\sum_\sigma\log\lvert\sigma x_0\rvert$ なので、$\widehat{\deg}=-\log NI+\sum_\sigma\log\max_j\lvert\sigma x_j\rvert$ を得る。

一方、$[K:\mathbb Q]h(P)=\sum_v\log\max_j\|x_j\|_v$ の有限素点 $\mathfrak p$ の項は $-\min_j\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(x_j)\log N\mathfrak p=-\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(I)\log N\mathfrak p$ で、和は $-\log NI$ である。無限素点の項は、複素素点が局所次数 $2$ で共役の 2 つの埋め込みに分かれることに注意すると $\sum_\sigma\log\max_j\lvert\sigma x_j\rvert$ に等しい。よって第 1 の等式が成り立つ。不等式は $\max_j\lvert y_j\rvert\le(\sum_j\lvert y_j\rvert^2)^{1/2}\le\sqrt{n+1}\max_j\lvert y_j\rvert$ を各 $\sigma$ で使い、$[K:\mathbb Q]$ で割れば得られる。$\square$

$d^c:=\frac{1}{4\pi i}(\partial-\overline\partial)$ とおくと $dd^c=\frac{i}{2\pi}\partial\overline\partial$ であり、特異点の外で $dd^ca=c_1(\overline L)$、$dd^cb=c_1(\overline M)$ である。$Y_\varepsilon$ を $\operatorname{div}s$、$\operatorname{div}t$ の台の点のまわりの半径 $\varepsilon$ の座標円板を除いたものとする。$Y$ は 1 次元なので $da\wedge d^cb=db\wedge d^ca$ であり、Stokes の定理から $\int_{Y_\varepsilon}(a\,dd^cb-b\,dd^ca)=\int_{\partial Y_\varepsilon}(a\,d^cb-b\,d^ca)$ を得る。

$\operatorname{ord}_Ps=n$ の点 $P$ の近くでは、局所座標 $z$ について $a=-n\log\lvert z\rvert^2+(\text{滑らか})$、$d^c\log\lvert z\rvert^2=d\theta/2\pi$ で、$b$ は滑らかである。$\partial Y_\varepsilon$ は $P$ のまわりを時計回りに回るので、$\varepsilon\to0$ で $\int b\,d^ca\to n\,b(P)$、$\int a\,d^cb\to0$ である（$\varepsilon\log\varepsilon\to0$）。$\operatorname{ord}_Qt=m$ の点 $Q$ の項も同様で $\int a\,d^cb\to m\,a(Q)$、$\int b\,d^ca\to0$ となる。$a,b$ は可積分なので極限をとって $\int_Ya\,c_1(\overline M)-\int_Yb\,c_1(\overline L)=a(\operatorname{div}t)-b(\operatorname{div}s)$ を得る。$a=-2\log\|s\|$、$b=-2\log\|t\|$ を代入して $-2$ で割り、整理すれば主張になる。$\square$

段 1（交換）。右辺を $\Phi(s,t)$ と書く。$i_x$ は対称で、lem-ar-green-formula を各 $X_\sigma$ に当てると括弧の中が $s,t$ の交換で変わらないので、$L,M$ の役割を入れ替えた式との間に $\Phi(s,t)=\Phi(t,s)$ が成り立つ。

段 2（$t$ の取り替え）。$t'=ft$（$f\in K(X)^\times$）で、$\operatorname{div}t'$ も $\operatorname{div}s$ と共通成分をもたないとする。$\operatorname{div}f=\operatorname{div}t'-\operatorname{div}t$ なので $\operatorname{div}f$ と $\operatorname{div}s$ に共通成分はない。積分の項は $t$ によらないので、$\Delta(C):=(C\cdot\operatorname{div}f)_{\mathrm{fin}}-\sum_\sigma\log\lvert f\rvert_\sigma(C_\sigma)$ が $\operatorname{div}s$ の各素因子 $C$ について $0$ であることを示せばよい。

$C$ が閉点 $v$ の上の垂直な素因子なら $C_\sigma=\emptyset$ で、$(C\cdot\operatorname{div}f)_{\mathrm{fin}}=\log\#k(v)\cdot\sum_xi_x(\operatorname{div}f,C)[k(x):k(v)]=\log\#k(v)\cdot\deg_{k(v)}\mathcal O(\operatorname{div}f)|_C=0$ である（Liu02 Theorem 9.1.12、p. 381）。$C$ が水平なら、$C$ は $X_K$ の閉点の閉包で、剰余体を $L$ とすると正規化は $\operatorname{Spec}\mathcal O_L\to C$ である。$\varphi:=f|_C\in L^\times$ とおくと、$i_x(\operatorname{div}f,C)$ は $\mathcal O_{C,x}$ での $\varphi$ の位数で（Liu02 Lemma 9.1.4 (b)、p. 377）、正規化へ移すと（Liu02 Lemma 7.1.36 (b)、p. 262）$(C\cdot\operatorname{div}f)_{\mathrm{fin}}=\sum_{\mathfrak P}\operatorname{ord}_{\mathfrak P}(\varphi)\log N\mathfrak P=\log\lvert N_{L/\mathbb Q}(\varphi)\rvert=\sum_{\tau\colon L\to\mathbb C}\log\lvert\tau\varphi\rvert$ である。$C_\sigma$ の点は $\tau|_K=\sigma$ となる $\tau$ と対応し、その点での $\lvert f\rvert_\sigma$ の値は $\lvert\tau\varphi\rvert$ なので、$\Delta(C)=0$ である。

段 3（一般の取り替え）。段 1 と段 2 から $s$ の取り替えでも値は変わらない。2 組 $(s,t),(s',t')$ が与えられたら、移動補題で $t''$ を $\operatorname{div}t''$ が $\operatorname{div}s+\operatorname{div}s'$ と共通成分をもたないようにとる。すると $\Phi(s,t)=\Phi(s,t'')=\Phi(s',t'')=\Phi(s',t')$ である。

段 4（双線形性）。$\Phi$ の各項は $t$ について足し算であり、$c_1(\overline M\otimes\overline M')=c_1(\overline M)+c_1(\overline M')$ である。$s$ を $\operatorname{div}t$、$\operatorname{div}t'$ の両方と共通成分がないようにとれば $M$ について加法的であり、対称性からもう一方でも加法的である。$\square$

$h$ を任意の滑らかな Hermite 計量とする。$c_1(L,h)-\deg(L)\mu$ は積分が $0$ の滑らかな実 2 形式なので、Hodge 分解により $\frac{i}{2\pi}\partial\overline\partial\psi$（$\psi$ は実の滑らかな関数）と書ける（ラプラシアン の Poisson 方程式）。$\|\cdot\|'^2:=\|\cdot\|^2e^{\psi}$ とすると $c_1'=c_1-\frac{i}{2\pi}\partial\overline\partial\psi=\deg(L)\mu$ である。2 つの許容計量の比を $e^{\psi}$ と書くと $\partial\overline\partial\psi=0$ で、コンパクトな $Y$ の上の調和関数は定数である（調和関数）。$\square$

$\overline L=[P]$、$\overline M=[Q]$、$s=1_P$、$t=1_Q$ とすると、$c_1(\overline L)=c_1(\overline M)=\mu$ で、lem-ar-green-formula は $\log\|1_Q(P)\|+\int\log\|1_P\|\mu=\log\|1_P(Q)\|+\int\log\|1_Q\|\mu$ となる。正規化により積分はともに $0$ なので $g(Q,P)=g(P,Q)$ である。$\square$

$\overline{\mathcal O(D)}\cdot\overline L$ を、切断 $1_D$ と、$\operatorname{div}s$ が $D$ を含まない $L$ の有理切断 $s$ で計算する（thm-ar-pairing の対称性）。$D\cong S$ の閉点 $x$ で $i_x(D,\operatorname{div}s)$ は $P^*s$ の位数なので（Liu02 Lemma 9.1.4 (b)）、$(D\cdot\operatorname{div}s)_{\mathrm{fin}}=\sum_{\mathfrak p}\operatorname{ord}_{\mathfrak p}(P^*s)\log N\mathfrak p$ である。$\log\|s\|_\sigma(D_\sigma)=\log\|P^*s\|_\sigma$ なので、はじめの 2 項の和は $\widehat{\deg}\,P^*\overline L$ である。残りの項が主張の積分である。$\overline L$ が許容的で計量が $[D]$ なら、$c_1(\overline L)_\sigma=\deg(L_K)\mu_\sigma$ と正規化により積分は $0$ である。$\square$

$D$ は正則な $X$ の有効 Cartier 因子で、$D\to S$ は同型である。Liu02 Theorem 6.4.9 (a)（p. 239）と Lemma 9.1.36（p. 390）により $\mathcal O_D\cong\omega_{D/S}\cong\mathcal O_X(D)|_D\otimes\omega|_D$ である（Liu02 Theorem 9.1.37、p. 390 の証明と同じ）。この同型の一般ファイバーは、$X_K$ の有理点 $P$ での留数である。したがって Hermite 直線束 $P^*(\overline\omega\otimes[D])$ は、Arakelov 計量の定義により、自明な計量の $\mathcal O_S$ と等長である。次数は $\widehat{\deg}\,P^*\overline\omega+\widehat{\deg}\,P^*[D]=0$ である（prop-ar-degree）。$\overline\omega$ と $[D]$ は許容的なので、prop-ar-section によりこれは $\overline\omega\cdot[D]+[D]\cdot[D]$ に等しい。$\square$

$\overline L$ を許容的な Hermite 直線束、$D_i$ を切断 $P$ の像とする。完全列 $0\to L\to L(D_i)\to L(D_i)|_{D_i}\to0$ から $S$ の上の同型 $\lambda(L(D_i))\cong\lambda(L)\otimes P^*L(D_i)$ が得られ、thm-ar-faltings-metric の 3 によりこれは各 $\sigma$ で等長である。prop-ar-section により $\widehat{\deg}\,\lambda(\overline L\otimes[D_i])-\widehat{\deg}\,\lambda(\overline L)=\overline L\cdot[D_i]+[D_i]\cdot[D_i]$ である。他方、$Q(\overline L\otimes[D_i])-Q(\overline L)=\overline L\cdot[D_i]+\frac12[D_i]\cdot[D_i]-\frac12\overline\omega\cdot[D_i]$ で、thm-ar-adjunction により $-\overline\omega\cdot[D_i]=[D_i]\cdot[D_i]$ なので、右辺は同じ値である。$Q(\overline{\mathcal O}_X)=0$ なので（$s=1$ で計算する）、$\overline{\mathcal O}_X$ から出発して $[D_i]$ を足し引きすれば主張を得る。引くときは、同じ等式を $\overline L\otimes[D_i]^{-1}$ に当てる。$\square$