Weilコホモロジー

1．$c\in H^*(Z)$ について $\langle(g\circ f)_*a,c\rangle_Z=\langle a,f^*g^*c\rangle_X=\langle f_*a,g^*c\rangle_Y=\langle g_*f_*a,c\rangle_Z$ であり、非退化性から $(g\circ f)_*a=g_*f_*a$。$\mathrm{id}_*$ についても同様。
2．$c\in H^*(Y)$ を任意にとる。$\langle f_*(a\cdot f^*b),c\rangle_Y=\operatorname{Tr}_X(a\cdot f^*b\cdot f^*c)=\operatorname{Tr}_X(a\cdot f^*(bc))=\langle f_*a,bc\rangle_Y=\operatorname{Tr}_Y(f_*a\cdot b\cdot c)=\langle f_*(a)\cdot b,c\rangle_Y$。非退化性から第 1 式を得る。第 2 式は、$f^*b\cdot a=(-1)^{\deg a\deg b}a\cdot f^*b$ と $b\cdot f_*a=(-1)^{\deg b\deg f_*a}f_*a\cdot b$ で、$\deg f_*a=\deg a+2(e-d)$ は $\deg a$ と偶奇が同じだから、両辺の符号が一致して第 1 式に帰着する。
3．$\operatorname{Tr}_Y(f_*a)=\langle f_*a,1\rangle_Y=\langle a,f^*1\rangle_X=\operatorname{Tr}_X(a)$。$Y=P$ のときは $\operatorname{Tr}_P$ が $H^0(P)\to K$ の同型で、prop-weil-cohomology-basic の 1 により $H^0(P)=K\cdot1$、$\operatorname{Tr}_P(1)=1$ なので $\operatorname{Tr}_P$ は恒等写像と同一視され、$\operatorname{Tr}_X=\pi_{X*}$ となる。

1．$P$ は $0$ 次元なので条件 1 により $H^n(P)=0$（$n\ne0$）、条件 2 により $\operatorname{Tr}_P\colon H^0(P)\to K$ は同型で、条件 4 の (iv) により $\operatorname{Tr}_P(1)=1\ne0$ だから $H^0(P)=K\cdot1$。連結な $X$ については、Poincaré 双対により $H^0(X)$ と $H^{2d}(X)\cong K$ の次元が等しく $\dim H^0(X)=1$ である。$1\in H^0(X)$ が $0$ なら $H^*(X)=0$ となり $H^{2d}(X)\cong K$ に反するので $1\ne0$、よって $H^0(X)=K\cdot1$。$\pi_X^*$ は単位的なので $1\mapsto1$ で、同型である。
2．$\pi_X\colon X\to P$ は平坦で $\pi_X^*[P]=[X]$（Ful98 1.7）。条件 4 の (i)・(iv) により $\gamma_X([X])=\pi_X^*\gamma_P([P])=\pi_X^*(1)=1$。閉点 $x$ の包含を $j\colon P\to X$ とすると $[x]=j_*[P]$ であり、(ii)・(iv) と prop-weil-cohomology-pushforward の 3 により $\operatorname{Tr}_X(\gamma_X([x]))=\operatorname{Tr}_X(j_*\gamma_P([P]))=\operatorname{Tr}_X(j_*1)=\operatorname{Tr}_P(1)=1$。$0$ サイクル $\alpha=\sum_in_i[x_i]$ については $\gamma_X$ の加法性から $\operatorname{Tr}_X(\gamma_X(\alpha))=\sum_in_i=\deg\alpha$。
3．$\dim_KH^{2d}(X)=1$ で、$\gamma_X([x])$ はトレースが $1$ なので $0$ でなく、$H^{2d}(X)$ を張る。$a=\operatorname{Tr}_X(a)\gamma_X([x])$、$b=\operatorname{Tr}_Y(b)\gamma_Y([y])$ と書ける。条件 4 の (iii) により $p_1^*\gamma_X([x])\cdot p_2^*\gamma_Y([y])=\gamma_{X\times Y}([x]\times[y])=\gamma_{X\times Y}([(x,y)])$ で、$(x,y)$ は $X\times Y$ の閉点だから 2 によりそのトレースは $1$。よって $\operatorname{Tr}_{X\times Y}(p_1^*a\cdot p_2^*b)=\operatorname{Tr}_X(a)\operatorname{Tr}_Y(b)$。
4．対角射 $\Delta\colon X\to X\times X$ について、Chow 環の交叉積は $\alpha\cdot\beta=\Delta^*(\alpha\times\beta)$ で定義される（Ful98 8.1）。条件 4 の (i)・(iii) により $\gamma_X(\alpha\cdot\beta)=\Delta^*\gamma_{X\times X}(\alpha\times\beta)=\Delta^*(p_1^*\gamma_X(\alpha)\cdot p_2^*\gamma_X(\beta))=\gamma_X(\alpha)\cdot\gamma_X(\beta)$。最後の等号は $\Delta^*$ が環準同型で $p_i\circ\Delta=\mathrm{id}$ であることによる。単位元は 2 で見た。

段 1（対角線の類）．$h_1=p_1^*[H]$、$h_2=p_2^*[H]$ とすると $CH^*(\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^n)=\mathbb{Z}[h_1,h_2]/(h_1^{n+1},h_2^{n+1})$ であり、$CH^n$ は $h_1^ah_2^{n-a}$（$0\le a\le n$）を基底とする自由加群である（Ful98 第 8 章）。$\deg(h_1^ah_2^{n-a}\cdot h_1^ih_2^{n-i})$ は $a+i=n$ のとき $\deg(h_1^nh_2^n)=1$、それ以外は $0$ なので、$CH^n$ の元は各 $h_1^ih_2^{n-i}$ との交点数で決まる。対角線 $\Delta\subset\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^n$ について、$\Delta\cong\mathbb{P}^n$ への制限で $\deg(\Delta\cdot h_1^ih_2^{n-i})=\deg([H]^i\cdot[H]^{n-i})=\deg([H]^n)=1$（射影公式 Ful98 8.1）。よって $[\Delta]=\sum_{i=0}^nh_1^ih_2^{n-i}$。
段 2（コホモロジーでの対角線）．prop-weil-cohomology-basic の 4 と条件 4 の (i) により $\gamma_{\mathbb{P}^n\times\mathbb{P}^n}(h_1^ih_2^{n-i})=p_1^*h^i\cdot p_2^*h^{n-i}$ なので $\gamma(\Delta)=\sum_ip_1^*h^i\cdot p_2^*h^{n-i}$。
段 3（生成）．lem-weil-cohomology-correspondence を $u=\mathrm{id}$ に適用すると、任意の $b\in H^*(\mathbb{P}^n)$ について $b=\gamma(\Delta)^*(b)=\sum_i\operatorname{Tr}(h^{n-i}b)\,h^i$。よって $H^*(\mathbb{P}^n)$ は $1,h,\dots,h^n$ で張られる。$\operatorname{Tr}(h^n)=\deg([H]^n)=1$（prop-weil-cohomology-basic の 2・4）なので $h^i\cdot h^{n-i}\ne0$、特に $h^i\ne0$（$0\le i\le n$）。$h^i\in H^{2i}$ は次数が互いに異なるので線型独立で、$H^{2i}=K\cdot h^i$、奇数次は $0$、$h^{n+1}\in H^{2n+2}=0$ である。

準同型 $\Psi\colon D\to M_2(F)$ があったとする。$\ker\Psi$ は $D$ の両側イデアルで、零でない $x\in\ker\Psi$ があれば $1=x^{-1}x\in\ker\Psi$、$\Psi(1)=0$ となって単位的であることに反する。よって $\Psi$ は単射で、$\dim_FD=4=\dim_FM_2(F)$ から全単射、すなわち $F$ 代数の同型 $D\cong M_2(F)$ を与える。ところが $M_2(F)$ の行列単位 $e_{11},e_{22}$ は零でなく $e_{11}e_{22}=0$ で、可除環には零因子がないので矛盾。反準同型 $\Psi$ については、転置 $a\mapsto{}^ta$ が $M_2(F)$ の反自己同型なので ${}^t(\cdot)\circ\Psi$ が単位的準同型になり、同じ矛盾を得る。

段 1（Künneth による分解）．prop-weil-cohomology-basic の 1 により $H^0(A)=K\cdot1$ なので、Künneth 公式により $H^1(A\times A)=p_1^*H^1(A)\oplus p_2^*H^1(A)$ である。よって $m^*x=p_1^*a+p_2^*b$ をみたす $a,b\in H^1(A)$ が一意に存在する。
段 2（$a$、$b$ の同定）．$i_1\colon A\to A\times A$、$y\mapsto(y,e)$ とすると $m\circ i_1=\mathrm{id}$、$p_1\circ i_1=\mathrm{id}$ であり、$p_2\circ i_1$ は一点 $P$ を経由する定値射 $A\to P\to A$ である。prop-weil-cohomology-basic の 1 により $H^1(P)=0$ なので $(p_2\circ i_1)^*=0$ が $H^1(A)$ 上で成り立つ。$i_1^*$ を $m^*x=p_1^*a+p_2^*b$ に施して $x=a$ を得る。同様に $i_2\colon y\mapsto(e,y)$ から $x=b$。
段 3（加法性）．$u+v=m\circ(u,v)$（$(u,v)\colon A\to A\times A$）、$p_1\circ(u,v)=u$、$p_2\circ(u,v)=v$ なので $(u+v)^*x=(u,v)^*m^*x=(u,v)^*(p_1^*x+p_2^*x)=u^*x+v^*x$。反変関手性から $(uv)^*=v^*u^*$、$\mathrm{id}^*=\mathrm{id}$ であり、反準同型である。

段 1（$H^1$ の次元）．cor-weil-cohomology-curve により、種数 $1$ の曲線 $E$ について $\dim_KH^1(E)=2$。
段 2（$K$ 代数の準同型）．lem-weil-cohomology-additivity により $u\mapsto u^*$ は単位的な環の反準同型 $\rho\colon\operatorname{End}(E)\to\operatorname{End}_K(H^1(E))$ である。$\mathbb{Z}$ 双線型写像 $(u,\lambda)\mapsto\lambda\rho(u)$ はテンソル積の普遍性により $K$ 線型写像 $\Phi\colon B\otimes_{\mathbb{Q}}K=\operatorname{End}(E)\otimes_{\mathbb{Z}}K\to\operatorname{End}_K(H^1(E))$ を定め、$\Phi(1\otimes1)=\mathrm{id}$、生成元の上で反乗法的だから双線型性により全体で単位的 $K$ 代数の反準同型である。段 1 により基底をとって $\operatorname{End}_K(H^1(E))\cong M_2(K)$ と同一視し、転置と合成して単位的 $K$ 代数の準同型 $\Psi\colon B\otimes_{\mathbb{Q}}K\to M_2(K)$ を得る。
段 3（埋め込みの否定）．体の埋め込み $\sigma\colon K\to\mathbb{Q}_p$ があったとする。$B$ は $\mathbb{Q}$ 上自由なので $1\otimes\sigma\colon B\otimes_{\mathbb{Q}}K\to B\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}_p$ は単射な環準同型で、thm-weil-cohomology-deuring により右辺は可除環である。したがって $B\otimes_{\mathbb{Q}}K$ は零因子をもたず、$K$ 上有限次元なので可除環である（$x\ne0$ による左乗法は単射な $K$ 線型写像だから全射で、$xy=1$ なる $y$ がある）。$\dim_K(B\otimes_{\mathbb{Q}}K)=4$ なので lem-weil-cohomology-division-algebra により $\Psi$ は存在せず、矛盾。$\mathbb{R}$ への埋め込みも $B\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{R}$ が可除環なので同様に矛盾する。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}_p$ に埋め込めるので $K=\mathbb{Q}$ も除外される。
段 4（分裂）．$B$ は $\mathbb{Q}$ 上の中心単純環なので、底変換 $B\otimes_{\mathbb{Q}}K$ は $K$ 上の中心単純環である（Brauer群の記事の基本事項）。$\ker\Psi$ は両側イデアルで、$1\notin\ker\Psi$ だから単純性により $\ker\Psi=0$、次元を比べて $\Psi$ は同型である。

1．$c\in H^m(X)$ について $p_{1*}p_2^*c$ を求める。$p_1\colon X\times X\to X$ は $2d$ 次元から $d$ 次元への射なので $p_{1*}p_2^*c\in H^{m-2d}(X)$ であり、$m<2d$ なら $0$ である。$m=2d$ のときは $p_{1*}p_2^*c\in H^0(X)=K\cdot1$ で、任意の $a\in H^{2d}(X)$ について $\langle p_{1*}p_2^*c,a\rangle_X=\langle p_2^*c,p_1^*a\rangle_{X\times X}=\operatorname{Tr}_{X\times X}(p_1^*a\cdot p_2^*c)=\operatorname{Tr}_X(a)\operatorname{Tr}_X(c)$（$a$、$c$ は偶数次なので交換してよく、最後の等号は prop-weil-cohomology-basic の 3）。一方 $\langle\operatorname{Tr}_X(c)\cdot1,a\rangle_X=\operatorname{Tr}_X(c)\operatorname{Tr}_X(a)$ なので、非退化性から $p_{1*}p_2^*c=\operatorname{Tr}_X(c)\cdot1$（$m=2d$）である。さて $\theta\cdot p_2^*b=p_1^*x\cdot p_2^*(yb)$ で、射影公式（prop-weil-cohomology-pushforward の 2）により $\theta^*(b)=p_{1*}(p_1^*x\cdot p_2^*(yb))=x\cdot p_{1*}p_2^*(yb)=\operatorname{Tr}_X(yb)\,x$。$yb\in H^{2d}$ となるのは $b\in H^i$ のときだけである。
2．$\iota=(\mathrm{id},u)\colon X\to X\times X$ とすると $p_1\circ\iota=\mathrm{id}$、$p_2\circ\iota=u$、$\Gamma_u=\iota_*[X]$。条件 4 の (ii) と prop-weil-cohomology-basic の 2 により $\gamma(\Gamma_u)=\iota_*\gamma_X([X])=\iota_*(1)$。射影公式により $\iota_*(1)\cdot p_2^*b=\iota_*(1\cdot\iota^*p_2^*b)=\iota_*(u^*b)$、したがって prop-weil-cohomology-pushforward の 1 により $\gamma(\Gamma_u)^*(b)=p_{1*}\iota_*(u^*b)=(p_1\circ\iota)_*u^*b=u^*b$。

段 1（右辺のコホモロジー表示）．prop-weil-cohomology-basic の 2・4 により $\deg(\Gamma_u\cdot\Delta)=\operatorname{Tr}_{X\times X}(\gamma(\Gamma_u\cdot\Delta))=\operatorname{Tr}_{X\times X}(\gamma(\Gamma_u)\cdot\gamma(\Delta))$。
段 2（対角線への引き戻し）．$\gamma(\Delta)=\Delta_*(1)$（lem-weil-cohomology-correspondence の証明）であり、$\theta=\gamma(\Gamma_u)$ は偶数次なので、射影公式により $\theta\cdot\Delta_*(1)=\Delta_*(\Delta^*\theta)$、prop-weil-cohomology-pushforward の 3 により $\operatorname{Tr}_{X\times X}(\Delta_*(\Delta^*\theta))=\operatorname{Tr}_X(\Delta^*\theta)$。ここで $\Delta^*(p_1^*x\cdot p_2^*y)=x\cdot y$ である。
段 3（双対基底による展開）．各 $i$ について $H^i(X)$ の基底 $e_{i,1},\dots,e_{i,b_i}$ をとり、Poincaré 双対により $\operatorname{Tr}_X(e_{i,\alpha}\cdot e^{i,\beta})=\delta_{\alpha\beta}$ をみたす $H^{2d-i}(X)$ の基底（双対基底）$e^{i,1},\dots,e^{i,b_i}$ をとる。Künneth 公式により $p_1^*e_{i,\alpha}\cdot p_2^*e^{i,\beta}$（$i,\alpha,\beta$ を動かす）は $H^{2d}(X\times X)$ の基底なので
$$\theta=\gamma(\Gamma_u)=\sum_i\sum_{\alpha,\beta}c^{(i)}_{\alpha\beta}\,p_1^*e_{i,\alpha}\cdot p_2^*e^{i,\beta}\qquad(c^{(i)}_{\alpha\beta}\in K)$$
と一意に書ける。段 2 により $\operatorname{Tr}_X(\Delta^*\theta)=\sum_i\sum_{\alpha,\beta}c^{(i)}_{\alpha\beta}\operatorname{Tr}_X(e_{i,\alpha}e^{i,\beta})=\sum_i\sum_\alpha c^{(i)}_{\alpha\alpha}$。
段 4（$u^*$ の行列）．lem-weil-cohomology-correspondence により $u^*(e_{j,\gamma})=\theta^*(e_{j,\gamma})=\sum_i\sum_{\alpha,\beta}c^{(i)}_{\alpha\beta}\operatorname{Tr}_X(e^{i,\beta}e_{j,\gamma})\,e_{i,\alpha}$。次数により $i=j$ の項だけが残り、次数付き可換性から $e^{i,\beta}e_{i,\gamma}=(-1)^{i(2d-i)}e_{i,\gamma}e^{i,\beta}=(-1)^ie_{i,\gamma}e^{i,\beta}$（$i(2d-i)\equiv i^2\equiv i\pmod2$）なので $\operatorname{Tr}_X(e^{i,\beta}e_{i,\gamma})=(-1)^i\delta_{\beta\gamma}$。よって $u^*(e_{i,\gamma})=(-1)^i\sum_\alpha c^{(i)}_{\alpha\gamma}e_{i,\alpha}$、すなわち基底 $(e_{i,\alpha})$ に関する $u^*\mid H^i(X)$ の行列は $((-1)^ic^{(i)}_{\alpha\gamma})_{\alpha\gamma}$ で、$\operatorname{Tr}(u^*\mid H^i(X))=(-1)^i\sum_\alpha c^{(i)}_{\alpha\alpha}$。
段 5（結論）．段 3・4 を合わせて $\deg(\Gamma_u\cdot\Delta)=\operatorname{Tr}_X(\Delta^*\theta)=\sum_i(-1)^i\operatorname{Tr}(u^*\mid H^i(X))$。

thm-weil-cohomology-lefschetz を $u=\mathrm{id}$ に適用すると $\operatorname{Tr}(\mathrm{id}\mid H^i(X))=b_i(X)$、$\Gamma_{\mathrm{id}}=\Delta$ である。右辺は Chow 環の交点数で、$H^*$ によらない。

$b_0=b_2=1$ は prop-weil-cohomology-basic の 1 と Poincaré 双対による。cor-weil-cohomology-euler により $2-b_1=\chi(C)=\deg(\Delta\cdot\Delta)$ なので、曲面 $S=C\times C$ 上の曲線 $\Delta\cong C$ の自己交点数を求めればよい。随伴公式（Har77 第 V 章命題 1.5）により $2g-2=2p_a(\Delta)-2=\Delta\cdot(\Delta+K_S)$、ここで $K_S=p_1^*K_C+p_2^*K_C$ である（Har77 第 II 章演習 8.3）。$\Delta$ と因子 $p_i^*K_C$ の交点数は、$\Delta\cong C$ への制限の次数 $\deg((p_i\circ\iota)^*K_C)=\deg K_C=2g-2$ に等しい（$\iota\colon C\to\Delta$ は同型で $p_i\circ\iota=\mathrm{id}$。Har77 第 V 章 §1）。よって $2g-2=\Delta\cdot\Delta+2(2g-2)$、$\Delta\cdot\Delta=2-2g$、したがって $b_1=2g$。