極大イデアル

$a\in A$ の $A/\mathfrak{m}$ における類を $\bar a$ と書く。$\bar a=\bar 0$ であることと $a\in\mathfrak{m}$ であることは同値である。証明の両方向で、$a\in A$ に対する集合
$$ \mathfrak{m}+aA=\{m+ax\mid m\in\mathfrak{m},\ x\in A\} $$
を用いる。これは $\mathfrak{m}$ と $a$ を含むイデアルである。実際、$0=0+a\cdot0$ であり、$(m+ax)+(m'+ax')=(m+m')+a(x+x')$、$y(m+ax)=ym+a(yx)$ である。
（極大ならば体）$\mathfrak{m}$ を極大イデアルとする。$\mathfrak{m}\neq A$ だから $1\notin\mathfrak{m}$、すなわち $\bar1\neq\bar0$ である。$\bar a\neq\bar0$ とすると $a\notin\mathfrak{m}$ なので、イデアル $\mathfrak{m}+aA$ は $\mathfrak{m}$ を真に含む。極大性により $\mathfrak{m}+aA=A$ であり、特に $1=m+ax$ となる $m\in\mathfrak{m}$、$x\in A$ が存在する。剰余環で見ると $\bar1=\bar m+\bar a\bar x=\bar a\bar x$ なので $\bar a$ は単元である。よって $A/\mathfrak{m}$ は体である。
（体ならば極大）$A/\mathfrak{m}$ を体とする。$\bar1\neq\bar0$ だから $1\notin\mathfrak{m}$、すなわち $\mathfrak{m}\neq A$ である。$\mathfrak{m}\subset I\subset A$ をイデアルとし、$I\neq\mathfrak{m}$ とする。$a\in I\setminus\mathfrak{m}$ をとると $\bar a\neq\bar0$ なので、体の仮定から $\bar a\bar x=\bar1$ となる $x\in A$ がある。これは $ax-1\in\mathfrak{m}\subset I$ を意味し、$ax\in I$ と合わせて $1=ax-(ax-1)\in I$ を得る。よって $I=A$ であり、$\mathfrak{m}$ は極大イデアルである。

$\mathfrak{m}$ を可換環 $A$ の極大イデアルとする。定義から $\mathfrak{m}\neq A$ である。$a,b\in A$ が $ab\in\mathfrak{m}$ かつ $a\notin\mathfrak{m}$ を満たすとする。prf-maximal-ideal-quotient-field と同様に、$\mathfrak{m}+aA$ は $\mathfrak{m}$ を真に含むイデアルなので $\mathfrak{m}+aA=A$ であり、$1=m+ax$（$m\in\mathfrak{m}$、$x\in A$）と書ける。両辺に $b$ を掛けると
$$ b=mb+(ab)x $$
であり、$mb\in\mathfrak{m}$、$(ab)x\in\mathfrak{m}$ だから $b\in\mathfrak{m}$ である。よって $\mathfrak{m}$ は素イデアルである。

$I$ を含む $A$ の真イデアル全体の集合を
$$ \Sigma=\{J\mid J \text{ は } A \text{ のイデアルで } I\subset J\neq A\} $$
とおき、包含関係で順序づける。$I\in\Sigma$ なので $\Sigma$ は空でない。
$\Sigma$ の任意の鎖 $\mathcal{C}$ が $\Sigma$ の中に上界を持つことを示す。$\mathcal{C}$ が空なら $I$ が上界である。$\mathcal{C}$ が空でないとき、$U=\bigcup_{J\in\mathcal{C}}J$ とおく。$U$ がイデアルであることを確かめる。$0\in I\subset U$ である。$x,y\in U$ とすると $x\in J_1$、$y\in J_2$ となる $J_1,J_2\in\mathcal{C}$ があり、$\mathcal{C}$ が鎖なので $J_1\subset J_2$ または $J_2\subset J_1$ である。大きいほうを $J$ とすれば $x,y\in J$ なので $x+y\in J\subset U$ である。また $x\in J_1$、$r\in A$ なら $rx\in J_1\subset U$ かつ $xr\in J_1\subset U$ である。ゆえに $U$ は $A$ のイデアルであり、$I\subset U$ である。さらに各 $J\in\mathcal{C}$ は真イデアルなので $1\notin J$ であり、したがって $1\notin U$、すなわち $U\neq A$ である。以上から $U\in\Sigma$ であり、$U$ は $\mathcal{C}$ の各元を含むので $\mathcal{C}$ の上界である。
Zorn の補題により $\Sigma$ は極大元 $\mathfrak{m}$ を持つ。$\mathfrak{m}$ が $A$ の極大イデアルであることを示す。$\mathfrak{m}\in\Sigma$ だから $\mathfrak{m}$ は $I$ を含む真イデアルである。$\mathfrak{m}\subset J\subset A$ をイデアルとし、$J\neq A$ とすると、$I\subset\mathfrak{m}\subset J$ から $J\in\Sigma$ であり、$\Sigma$ における $\mathfrak{m}$ の極大性から $J=\mathfrak{m}$ である。よって $\mathfrak{m}$ を含むイデアルは $\mathfrak{m}$ と $A$ だけであり、$\mathfrak{m}$ は極大イデアルである。
最後の主張は、零環でない環では $(0)$ が真イデアルであることから従う。

$a$ が単元なら、$a$ を含むイデアルは $1=a^{-1}a$ を含むので $A$ 全体であり、$a$ は真イデアルに、特に極大イデアルに属さない。逆に $a$ が単元でないとすると $1\notin aA$ なので $(a)=aA$ は真イデアルであり、thm-maximal-ideal-krull により $(a)\subset\mathfrak{m}$ となる極大イデアル $\mathfrak{m}$ が存在する。よって $a\in\mathfrak{m}$ である。

合成 $A\xrightarrow{f}B\to B/\mathfrak{m}$ は全射準同型（$f$ と自然な射影がともに全射）であり、その核は $f^{-1}(\mathfrak{m})$ である。準同型定理により $A/f^{-1}(\mathfrak{m})\cong B/\mathfrak{m}$ であり、右辺は prop-maximal-ideal-quotient-field により体である。よって同じ命題により $f^{-1}(\mathfrak{m})$ は極大イデアルである。

まず $\mathfrak{m}_a$ が極大イデアルであることを示す。点 $a$ で値をとる写像 $\mathrm{ev}_a\colon C([0,1])\to\mathbb{R}$、$f\mapsto f(a)$ は環準同型であり、定数関数を考えれば全射である。その核はちょうど $\mathfrak{m}_a$ なので、準同型定理により $C([0,1])/\mathfrak{m}_a\cong\mathbb{R}$ は体であり、prop-maximal-ideal-quotient-field により $\mathfrak{m}_a$ は極大イデアルである。$a\neq b$ のとき、関数 $f(x)=x-a$ は $\mathfrak{m}_a$ に属し $\mathfrak{m}_b$ に属さないので $\mathfrak{m}_a\neq\mathfrak{m}_b$ である。
次に、$C([0,1])$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ がある $\mathfrak{m}_a$ に一致することを示す。$\mathfrak{m}$ の元すべてが共通に消える点、すなわち $f(a)=0$ がすべての $f\in\mathfrak{m}$ について成り立つ点 $a$ が存在すれば、$\mathfrak{m}\subset\mathfrak{m}_a\neq C([0,1])$ となり、$\mathfrak{m}$ の極大性から $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_a$ である。
そこで、そのような共通零点が存在しないと仮定して矛盾を導く。各 $x\in[0,1]$ に対し、$f_x(x)\neq0$ となる $f_x\in\mathfrak{m}$ がとれる。$f_x$ は連続なので、$x$ を含む $[0,1]$ の開集合 $U_x$ で、$U_x$ 上で $f_x$ が $0$ にならないものがある。$\{U_x\}_{x\in[0,1]}$ は $[0,1]$ の開被覆であり、$[0,1]$ はコンパクト空間なので（Heine–Borelの定理、Rud76 Theorem 2.40）、有限個の点 $x_1,\dots,x_n$ について $[0,1]=U_{x_1}\cup\cdots\cup U_{x_n}$ となる。
$$ g=f_{x_1}^2+\cdots+f_{x_n}^2 $$
とおくと、$\mathfrak{m}$ がイデアルなので $g\in\mathfrak{m}$ である。任意の $x\in[0,1]$ はある $U_{x_i}$ に属し、そこで $f_{x_i}(x)\neq0$ だから $g(x)\ge f_{x_i}(x)^2>0$ である。よって $g$ は $[0,1]$ 上で正の値をとる連続関数であり、$1/g$ も連続なので $g$ は $C([0,1])$ の単元である。単元を含むイデアルは環全体だから $\mathfrak{m}=C([0,1])$ となり、$\mathfrak{m}$ が真イデアルであることに矛盾する。
以上から $\mathfrak{m}$ の共通零点 $a$ が存在し、$\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_a$ である。

$A$ の単元でない元全体を $N$ とおく。cor-maximal-ideal-unit により、$N$ は $A$ の極大イデアルすべての和集合に等しい。
（1 $\Rightarrow$ 2）極大イデアルが $\mathfrak{m}$ だけなら $N=\mathfrak{m}$ はイデアルである。
（2 $\Rightarrow$ 3）$N$ がイデアルなら、$1\notin N$ だから $N$ は真イデアルであり、$N$ に属さない元は定義により単元である。よって $\mathfrak{m}=N$ が条件 3 を満たす。
（3 $\Rightarrow$ 1）条件 3 の $\mathfrak{m}$ をとる。任意の真イデアル $I$ は単元を含まないので、$I$ の元はすべて $\mathfrak{m}$ に属し、$I\subset\mathfrak{m}$ である。したがって $\mathfrak{m}$ は $A$ の真イデアルの中で最大の元であり、特に極大イデアルである。また任意の極大イデアル $\mathfrak{m}'$ は真イデアルなので $\mathfrak{m}'\subset\mathfrak{m}$ であり、$\mathfrak{m}'$ の極大性から $\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}$ である。よって極大イデアルは $\mathfrak{m}$ だけである。