実直線束の群

ベクトル束の直和・テンソル積 の命題「標準同型」の 5 により、演算は同型類の上で矛盾なく定まり、同命題の 2 により結合的・可換で $[\varepsilon]$ を単位元にもつ。同命題の 4 により $L^*\otimes L\cong\operatorname{Hom}(L,L)$ である。各ファイバーの恒等写像 $b\mapsto\mathrm{id}_{L_b}$ は、同じ記事の命題「準同型束の切断と束写像」により恒等写像 $L\to L$ に対応する連続な切断で、どこでも $0$ でない。よって $\operatorname{Hom}(L,L)$ は自明であり、$[L^*]$ は $[L]$ の逆元である。引き戻しがテンソル積と両立することは同じ記事の命題「引き戻しとの両立性」である。$\square$

計量 $\mu$ があるとする。各ファイバーで $v\otimes w\mapsto\mu(v,w)$ は線形写像 $L_b\otimes L_b\to\mathbb R$ で、$v\ne0$ なら $v\otimes v\mapsto\mu(v,v)>0$ なので $0$ でない。局所枠 $e$ をとると、この写像は $L\otimes L$ の局所枠 $e\otimes e$ を連続関数 $\mu(e,e)$ に写すので、$L\otimes L\to\varepsilon$ は連続な束写像で、各ファイバーで線形同型（$1$ 次元の間の $0$ でない線形写像）である。ベクトル束の直和・テンソル積 の補題「ファイバーごとに同型な束写像は束同型」により $L\otimes L\cong\varepsilon$ である。
逆に束同型 $\theta\colon L\otimes L\to\varepsilon$ があるとし、$\theta(v\otimes w)=(b,\beta_b(v,w))$ と書く。$\beta_b$ は $L_b$ 上の対称な双線形形式で（$L_b$ は $1$ 次元なので $v\otimes w=w\otimes v$ の像は等しい）、$v\ne0$ なら $v\otimes v\ne0$ なので $\beta_b(v,v)\ne0$ である。$v$ を $cv$（$c\ne0$）に替えると $\beta_b(cv,cv)=c^2\beta_b(v,v)$ なので、符号 $\sigma(b):=\operatorname{sign}\beta_b(v,v)$ は $v\ne0$ の選び方によらない。局所枠 $e$ の上で $\sigma=\operatorname{sign}\beta(e,e)$ であり、$\beta(e,e)$ は連続でどこでも $0$ でないので、$\sigma$ は局所定数、したがって連続である。$\mu_b:=\sigma(b)\beta_b$ とおくと、$\mu_b(v,v)>0$（$v\ne0$）で、局所枠の上で $\mu(e,e)=\lvert\beta(e,e)\rvert$ は連続なので、$\mu$ は $L$ の計量である。$\square$

部分束・商束・双対束 の補題「計量の存在」により $L$ は計量をもち、thm-lbg-metric-square により $[L]^2=1$ である。よって $[L^*]=[L]^{-1}=[L]$ である。$\square$

$H_0(S^1)$ は自由なので、普遍係数定理 の定理「コホモロジーの普遍係数定理」（$\operatorname{Ext}$ は自由な群について $0$。同記事の命題「Ext の計算」）により、$x\mapsto\langle x,\cdot\rangle$ は同型 $H^1(S^1;\mathbb Z/2)\to\operatorname{Hom}(H_1(S^1;\mathbb Z),\mathbb Z/2)$ を与える。$H_1(S^1;\mathbb Z)$ は $\iota$ で生成されるので、$\langle w_1(\ell),\iota\rangle=0$ は $w_1(\ell)=0$ と同値である。
$\ell$ が自明なら、$\ell$ は 1 点の上の束の引き戻しなので $w_1(\ell)=0$ である（Stiefel–Whitney類 の命題「基本性質」の 1）。$\ell$ が自明でないとき、$\ell\cong M$ であり、円周上のベクトル束の分類 の例「円周の接束と Möbius 束の和」の 4 により、同相写像 $h\colon S^1\to\mathbb{RP}^1$ でトートロジー直線束 $\gamma_1$ について $M\cong h^*\gamma_1$ となるものがある。Stiefel–Whitney類 の公理の自然性と正規化 $w_1(\gamma_1)\ne0$ により、$w_1(\ell)=h^*w_1(\gamma_1)$ は $h^*$ が同型なので $0$ でない。
後半：$\langle w_1(L),\alpha_*\iota\rangle=\langle\alpha^*w_1(L),\iota\rangle=\langle w_1(\alpha^*L),\iota\rangle$ であり（2 つ目の等号は自然性）、前半によりこれは $\nu_L(\alpha)$ に等しい。$\square$

1．$x:=w_1(L\otimes L')-w_1(L)-w_1(L')$ とおく。上の注意により、任意のループ $\alpha\colon S^1\to B$ について $\langle x,\alpha_*\iota\rangle=0$ を示せばよく、lem-lbg-circle によりこれは
$$ \nu_{L\otimes L'}(\alpha)=\nu_L(\alpha)+\nu_{L'}(\alpha) $$
と同値である。ベクトル束の直和・テンソル積 の命題「引き戻しとの両立性」により $\alpha^*(L\otimes L')\cong\alpha^*L\otimes\alpha^*L'$ であり、$\alpha^*L$ と $\alpha^*L'$ はそれぞれ $\varepsilon$ か $M$ に同型である。同じ記事の命題「標準同型」の 2・5 により $\varepsilon\otimes\varepsilon\cong\varepsilon$、$\varepsilon\otimes M\cong M\otimes\varepsilon\cong M$、命題「Möbius 束のテンソル平方は自明」により $M\otimes M\cong\varepsilon$ である。4 通りすべてで上の等式が成り立つ。
2．$L$ が自明なら $w_1(L)=0$ である（Stiefel–Whitney類 の命題「基本性質」の 1）。逆に $w_1(L)=0$ とする。部分束・商束・双対束 の補題「計量の存在」により $L$ は計量 $\mu$ をもつ。単位ベクトルの全体
$$ S(L):=\{v\in L\mid\mu(v,v)=1\} $$
を考える。$U$ 上の局所枠 $e$ について $\hat e:=e/\sqrt{\mu(e,e)}$ とおくと、$S(L)\cap\pi^{-1}(U)=\hat e(U)\sqcup(-\hat e)(U)$ で、$(u,\pm1)\mapsto\pm\hat e(u)$ は $U\times\{\pm1\}$ からの同相写像である。よって $\pi\colon S(L)\to B$ は各ファイバーが 2 点の被覆空間であり、その連続な切断は $L$ の至るところ $0$ でない切断である。
ループ $\alpha\colon S^1\to B$ をとる。lem-lbg-circle により $\nu_L(\alpha)=\langle w_1(L),\alpha_*\iota\rangle=0$ なので $\alpha^*L$ は自明であり、至るところ $0$ でない切断を正規化して、連続写像 $\sigma\colon S^1\to S(L)$ で $\pi\circ\sigma=\alpha$ となるものが得られる。道 $t\mapsto\sigma(p(t))$ と $t\mapsto-\sigma(p(t))$（$t\in[0,1]$）はループ $\alpha\circ p|_{[0,1]}$ の持ち上げで、どちらも閉じている。ファイバーの 2 点のどちらから始まる持ち上げも、被覆空間 の定理「持ち上げの一意性」によりこのどちらかなので、$B$ のどのループも、どの点から持ち上げても閉じた道に持ち上がる。
$C$ を $B$ の弧状連結成分とする。$B$ は局所弧状連結なので $C$ は $B$ の開集合で、$C$ 自身も弧状連結かつ局所弧状連結である。$b_0\in C$、$e_0\in S(L)_{b_0}$ をとり、被覆 $\pi_C\colon S(L)|_C:=\pi^{-1}(C)\to C$ を考える。被覆空間 の定理「基本群との関係」の 1 により、$(\pi_C)_*\pi_1(S(L)|_C,e_0)$ は「$e_0$ からの持ち上げが閉じるループ」の類の全体なので、$\pi_1(C,b_0)$ 全体に等しい。持ち上げの判定法（Hat02 Proposition 1.33、p. 61）を恒等写像 $(C,b_0)\to(C,b_0)$ に当てると、連続写像 $\sigma_C\colon C\to S(L)|_C$ で $\pi\circ\sigma_C=\mathrm{id}_C$ となるものがある。弧状連結成分は互いに交わらない開集合なので、$\sigma_C$ を並べた写像 $B\to S(L)$ は連続な切断である。よって $L$ は至るところ $0$ でない切断をもち、自明である。
1 により $w_1$ は準同型で、その核は 2 の前半により $\{[\varepsilon]\}$ だけなので、$w_1$ は単射である。$\square$

要点：$x\in H^1(B;\mathbb Z/2)$ を基本群から $\mathbb Z/2$ への準同型と見て、その核に対応する 2 重被覆 $P$ を作り、$P\times\mathbb R$ を「$P$ のファイバーの入れ替えと符号の反転」で割った直線束 $L_P$ を作ると、ループに沿った $L_P$ の符号が $x$ の値になる。