l'Hôpitalの定理

$f$ は $a$ の近くで微分可能で、$a$ で 2 回微分可能とする（$f''$ が $a$ の近くで存在するとは仮定しない）。このとき
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=f''(a) $$
である。分子を $N(h)$ とおくと、$N(-h)=N(h)$ なので $h\to0+0$ を調べればよい。$N(h)\to0$、$h^2\to0$、$(h^2)'=2h\ne0$（$h>0$）で、
$$ \frac{N'(h)}{2h}=\frac{f'(a+h)-f'(a-h)}{2h}=\frac12\Bigl(\frac{f'(a+h)-f'(a)}{h}+\frac{f'(a-h)-f'(a)}{-h}\Bigr)\to\frac12\bigl(f''(a)+f''(a)\bigr)=f''(a) $$
である。最後の極限は $f''(a)$ の定義そのものである。thm-lh-main により主張が従う。ここで l'Hôpital の定理を 2 回使おうとすると、$a$ の近くでの $f''$ の存在が必要になる。1 回だけ使い、最後は微分係数の定義で閉じるのがこの計算の要点である。

$\alpha>0$、$\beta>0$ とすると
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{(\log x)^\beta}{x^\alpha}=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{e^x}=0,\qquad \lim_{x\to0+0}x^\alpha\log x=0 $$
である。1 つ目：$\frac{\log x}{x^{\alpha/\beta}}$ は仮定 (B)（$x^{\alpha/\beta}\to+\infty$）を満たし、導関数の商は $\frac{1/x}{(\alpha/\beta)x^{\alpha/\beta-1}}=\frac\beta\alpha x^{-\alpha/\beta}\to0$ なので、thm-lh-main（$x\to+\infty$ の形）により $\frac{\log x}{x^{\alpha/\beta}}\to0$ である。$t\mapsto t^\beta$ は $t\ge0$ で連続なので、$\beta$ 乗して $\frac{(\log x)^\beta}{x^\alpha}\to0$ である（$x>1$ で分子は正）。2 つ目：$\frac x{e^{x/\alpha}}$ の導関数の商は $\frac1{(1/\alpha)e^{x/\alpha}}\to0$ なので $\frac x{e^{x/\alpha}}\to0$ であり、$\alpha$ 乗して $\frac{x^\alpha}{e^x}\to0$ である。3 つ目は $x=1/s$ とおくと $-\frac{\log s}{s^\alpha}$（$s\to+\infty$）なので 1 つ目（$\beta=1$）から $0$ である。冪を先に $1$ 乗の形に直してから使うと、l'Hôpital の定理を 1 回使うだけで済む。

$(0,1)$ 上で $f(x)=x\bigl(2+\sin(\log x)\bigr)$、$g(x)=x$ とする。$f(x)\to0$、$g(x)\to0$（$x\to0+0$）で仮定 (A) が成り立つ。$\frac{f(x)}{g(x)}=2+\sin(\log x)$ は、$x\to0+0$ で $\log x$ が $-\infty$ へ進むので $1$ と $3$ の間を振動し、
$$ \liminf_{x\to0+0}\frac fg=1,\qquad \limsup_{x\to0+0}\frac fg=3 $$
である。一方 $\frac{f'(x)}{g'(x)}=2+\sin(\log x)+\cos(\log x)=2+\sqrt2\sin\bigl(\log x+\tfrac\pi4\bigr)$ なので、下極限は $2-\sqrt2$、上極限は $2+\sqrt2$ である。thm-lh-main の不等式 $2-\sqrt2\le1\le3\le2+\sqrt2$ は成り立ち、両端の不等号は等号でない。導関数の商が極限をもたなくても、商 $\frac fg$ の振れ幅の範囲は分かる。

1 行目：$\frac{f'}{g'}=1$ だが $\frac fg=\frac1x+1\to+\infty$ である（Cauchyの平均値定理 の記事の例「反例：分子が 0 に近づかない場合」）。
2 行目：$g'=1\ne0$、$\frac{f'}{g'}=-\frac1{x^2}\to-\infty$ だが、$\frac fg=\frac1{x^2}\to+\infty$ である。$f$ は発散するが、仮定 (B) が求めるのは分母 $g$ の発散であり、$g\to0$ なので (A) も (B) も満たさない。符号まで逆になる。
3 行目：$f(x)=x+\frac12\sin2x$ なので $f'(x)=1+\cos2x=2\cos^2x$ であり、$g'(x)=e^{\sin x}\cos x\bigl(f(x)+2\cos x\bigr)$ である。$x>3$ では $f(x)\ge x-\frac12>2$ なので $f(x)+2\cos x>0$ であり、$g'$ が $0$ になるのはちょうど $\cos x=0$ の点、すなわち $x=\frac\pi2+k\pi$ である。これらの点は $+\infty$ のどの近くにもあるので、仮定 $g'\ne0$ が破れる。$\cos x\ne0$ の点では
$$ \Bigl|\frac{f'(x)}{g'(x)}\Bigr|=\frac{2|\cos x|}{e^{\sin x}\bigl(f(x)+2\cos x\bigr)}\le\frac{2e}{x-\frac52}\to0 $$
である。$g\ge e^{-1}f\to+\infty$ なので (B) は成り立つが、$\frac fg=e^{-\sin x}$ は $e^{-1}$ と $e$ の間を振動し、極限をもたない。
4 行目：$|e^{it}|=1$（$t$ は実数）なので $|x\,e^{i/x^2}|=x\to0$ であり、$\frac fg=\frac1{1+xe^{i/x^2}}\to1$ である。一方 $g'(x)=1+\bigl(2x-\frac{2i}x\bigr)e^{i/x^2}$ であり、$\bigl|2x-\frac{2i}x\bigr|\ge\frac2x$ から $|g'(x)|\ge\frac2x-1>0$（$0< x<1$）である。よって $g'\ne0$ で、$\bigl|\frac{f'}{g'}\bigr|=\frac1{|g'|}\le\frac x{2-x}\to0$ である。導関数の商の極限 $0$ と商の極限 $1$ が食い違う（Rud76 Example 5.18、pp. 112–113）。証明で使った Cauchy の平均値定理が、複素数値の関数では成り立たないことが原因である。
5 行目：$\frac fg=x\sin\frac1x\to0$ だが、$\frac{f'}{g'}=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$ は極限をもたない（Cauchyの平均値定理 の記事の例「反例：逆は成り立たない」）。同じ $f$ を $f(0):=0$ で $[0,1)$ に広げると、cor-lh-derivative-limit の仮定のうち「$f'$ の極限の存在」だけが成り立たないが、差分商 $x\sin\frac1x\to0$ から右側微分係数は $0$ として存在する。cor-lh-derivative-limit の逆も成り立たない。