Hilbertの第14問題
概要
Hilbertの第14問題（Hilbert's fourteenth problem）とは、体 $k$ 上の有理関数体 $k(x_1,\dots,x_n)$ の中間体 $L$ について、$L$ と多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ の共通部分がいつも有限生成な $k$ 代数になるかを問う問題で、群の作用による不変式環の有限生成性を特別な場合として含む。有限群の不変式環や、共通部分の超越次数が $2$ 以下の場合は有限生成である。一般には答えは否定的で、永田雅宜は 32 変数の多項式環に加法群 $k^{13}$ が線形に作用し、不変式環が有限生成でない例を、平面の 16 個の一般の点を通る曲線の次数の評価を使って構成した。
前提知識: 有限生成代数, 超越次数, 整閉整域, Hilbertの有限性定理(不変式論)
Hilbert の第 14 問題 は、体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ と、有理関数体 $k(x_1,\dots,x_n)$ の部分体 $L$ について、共通部分 $L\cap k[x_1,\dots,x_n]$ がいつも有限生成な $k$ 代数になるかを問う問題である。群 $G$ が変数に作用するときの不変式環 $k[x_1,\dots,x_n]^G$ はこの形の環なので、問題は「不変式環はいつも有限個の不変式で生成されるか」という不変式論の問いを特別な場合として含む。Hilbert は 1900 年の講演で、自身と Gordan、Maurer らの有限性の定理を踏まえてこの問題を挙げた（Hil02 pp. 462–464）。
答えは否定的である。1950 年代の終わりに、可換環論の永田雅宜（Masayoshi Nagata）は、32 変数の多項式環に加法群 $k^{13}$ が線形に作用し、その不変式環が有限生成でない例を構成した（Nag60）。一方で、有限群の不変式環や、$L$ の超越次数が $2$ 以下の場合には答えは肯定的である。この記事では、問題の正確な形と基本的な性質、有限群の場合の Noether の定理を証明し、永田の反例の構成と、それが有限生成でないことの証明の骨組みを述べる（不変式環の記述と 1 つの補題は引用する）。
問題
以下、$k$ は体、$k[x]:=k[x_1,\dots,x_n]$ は $n$ 変数の多項式環、$k(x):=k(x_1,\dots,x_n)$ はその 分数体 とする。整域 $A$ の分数体を $Q(A)$ と書く。
$k\subset L\subset k(x)$ を中間体とする。$k$ 代数
$$
A:=L\cap k[x]
$$
は有限生成か。この問いを Hilbert の第 14 問題 という。とくに、群 $G$ が $k[x]$ に $k$ 代数の自己同型として作用するとき、不変式環 $k[x]^G:=\{f\in k[x]\mid \sigma(f)=f\ (\sigma\in G)\}$ は有限生成か、という問いを含む。
Hilbert 自身の言葉では、多項式 $f_1,\dots,f_m\in k[x]$ を与え、$f_1,\dots,f_m$ の有理式のうち $x_1,\dots,x_n$ の多項式になるもの（「相対的に整な関数」）の全体が有限個の元で多項式として表せるか、と問われた（Hil02 p. 463）。これは $L=k(f_1,\dots,f_m)$ の場合の $L\cap k[x]$ のことである。$k(x)$ の中間体はいつも有限個の元で生成される（prop-h14-basic の 4）ので、どちらの形でも同じ問題になる。Hilbert はさらに、係数を整数に制限した数論的な変形も述べている（Hil02 pp. 463–464）。
$k\subset L\subset k(x)$ を中間体とし、$A:=L\cap k[x]$ とおく。
- $A$ は $k[x]$ の $k$ 部分代数で、$L$ の中で整閉である。とくに $A$ は整閉整域である。
- $A=Q(A)\cap k[x]$ である。したがって、問題を考えるときは $L=Q(A)$ と仮定してよい。
- 群 $G$ が $k[x]$ に $k$ 代数の自己同型として作用するとき、作用は $k(x)$ に延び、$k[x]^G=k(x)^G\cap k[x]$ である。とくに不変式環は問題の形の環である。
- $L$ は $k$ 上有限生成な体である。
1〜3 は定義から直接従い、4 は超越基底と次数の比較による。
詳細
1：$L$ と $k[x]$ はどちらも $k$ を含む $k(x)$ の部分環なので、共通部分も $k$ を含む部分環である。$\alpha\in L$ が $A$ 上整なら、$\alpha$ は $k[x]$ 上整でもあり、$k[x]$ は一意分解整域なので整閉で（整閉整域）、$\alpha\in k[x]$ となる。よって $\alpha\in L\cap k[x]=A$ である。$Q(A)\subset L$ なので、$A$ は自分の分数体の中でも整閉である。
2：$A\subset Q(A)\cap k[x]$ は明らかである。$Q(A)\subset L$ から $Q(A)\cap k[x]\subset L\cap k[x]=A$ である。よって $L$ を $Q(A)$ に替えても $A$ は変わらない。
3：$\sigma\in G$ は $k[x]$ の自己同型なので、$\sigma(f/g):=\sigma(f)/\sigma(g)$ で $k(x)$ の自己同型に一意に延びる。$f\in k[x]$ が $\sigma(f)=f$ を満たすことは、$f$ を $k(x)$ の元と見て同じ式が成り立つことと同じなので、$k[x]^G=k(x)^G\cap k[x]$ である。$k(x)^G$ は $k$ を含む部分体である。
4：$L$ の $k$ 上の超越基底 $z_1,\dots,z_r$ をとり（$r\le n$）、$k(x)$ の $L$ 上の超越基底 $w_1,\dots,w_s$ をとる。$z,w$ は合わせて $k(x)$ の $k$ 上の超越基底で、$k(x)$ は $k(z,w)$ 上有限生成かつ代数的なので有限次である。$L$ の元 $l_1,\dots,l_N$ が $k(z)$ 上 1 次独立なら、$k(z,w)$ 上でも 1 次独立である。実際、$\sum_ig_il_i=0$（$g_i\in k(z,w)$）の分母を払うと、$g_i$ は $k(z)$ 係数の $w$ の多項式としてよく、$w$ は $L$ 上代数的に独立なので、$w$ の各単項式の係数について $\sum_ic_{i}l_i=0$（$c_i\in k(z)$）となり、すべての係数が $0$ である。よって $[L:k(z)]\le[k(x):k(z,w)]< \infty$ で、$L$ は $k(z)$ に有限個の元を添加した体である。$\square$
2 の帰結として、問題の答えが $L$ の大きさではなく $A$ の分数体だけで決まること、また $L$ と $Q(A)$ が一致しないこともあることに注意する。
$n=2$、$L=k(x_1/x_2)$ とすると、$L\cap k[x_1,x_2]=k$ である。$L$ の元は、同じ次数の斉次多項式 $P,Q$（$Q\ne0$）の商 $P/Q$ と書ける（$x_1/x_2$ の有理式の分子と分母に $x_2$ の同じ冪を掛ければよい）。多項式 $F$ が $F=P/Q$ を満たせば $FQ=P$ であり、$F$ の最低次と最高次の斉次成分にそれぞれ $Q$ を掛けたものは $P$ の斉次成分なので、どちらも $\deg Q$ 次になる。よって $F$ は $0$ 次の斉次多項式、すなわち定数である。この例では $\operatorname{trdeg}_kL=1$ だが $\operatorname{trdeg}_kA=0$ で、$Q(A)=k\ne L$ である。
体との共通部分という形は、問題の本質的な条件である。$k[x]$ の部分代数一般では、有限生成性は簡単に崩れる。
$n=2$ とし、$R:=k[x_1,\,x_1x_2,\,x_1x_2^2,\,x_1x_2^3,\dots]$ とおく。$R$ は有限生成でなく、どんな中間体 $L$ についても $L\cap k[x_1,x_2]$ の形に書けない。
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$R$ は $k$ と $x_1$ で割り切れる多項式の全体である（$x_1$ の倍数どうしの積は $x_1$ の倍数）。$R_+:=x_1k[x_1,x_2]$ とおくと $R_+^2\subset x_1^2k[x_1,x_2]$ である。$R$ が有限生成なら、定数項を除いた生成元 $g_1,\dots,g_r\in R_+$ がとれ、$R_+\subset\sum_ikg_i+R_+^2\subset\sum_ikg_i+x_1^2k[x_1,x_2]$ となる。ところが $x_1,x_1x_2,x_1x_2^2,\dots$ は $x_1^2k[x_1,x_2]$ を法として 1 次独立なので、$r$ が有限であることに反する。次に、$Q(R)$ は $x_1$ と $x_1x_2$ を含むので $x_2$ も含み、$Q(R)=k(x_1,x_2)$ である。$R=L\cap k[x_1,x_2]$ なら prop-h14-basic の 2 から $R=Q(R)\cap k[x_1,x_2]=k[x_1,x_2]$ となるが、$x_2\notin R$ なので矛盾する。
答えが肯定的な場合
最初に答えが分かったのは、有限群の不変式環である。標数が群の位数を割らない場合は Hilbertの有限性定理(不変式論) の平均の議論でも示せるが、次の Noether の議論は標数によらない（有限群の場合の結果は Noether による。Kur18 §1。係数を Noether 環にした形は 有限生成代数 の系「有限群の不変式環（Noether の定理）」にある）。
$G$ を $k[x]$ の $k$ 代数としての自己同型群の有限部分群とする。このとき $k[x]^G$ は有限生成な $k$ 代数で、$k[x]$ は $k[x]^G$ 上の有限生成加群である。
各変数 $x_i$ が満たす $G$ 不変な係数のモニック多項式の係数で生成される部分代数 $A_0$ を考えると、$k[x]$ は $A_0$ 上有限な加群になり、Noether 性から $k[x]^G$ も $A_0$ 上有限になる。
詳細
各 $i$ について $P_i(T):=\prod_{\sigma\in G}(T-\sigma(x_i))\in k[x][T]$ とおく。$\tau\in G$ を係数に作用させると因子が並べ替わるだけなので、$P_i$ の係数は $k[x]^G$ に属し、$P_i$ はモニックで $P_i(x_i)=0$ である（有限群による商 の定理「アフィンスキームの有限群による商」の 1 の証明と同じ）。$P_1,\dots,P_n$ のすべての係数で生成される $k$ 部分代数を $A_0$ とすると、$A_0$ は有限生成で $A_0\subset k[x]^G$ である。
$x_i$ は $A_0$ 上で次数 $|G|$ のモニック多項式の根なので、$x_i^{|G|}$ は $1,x_i,\dots,x_i^{|G|-1}$ の $A_0$ 係数の 1 次結合で書ける。よって $k[x]$ は単項式 $x_1^{e_1}\cdots x_n^{e_n}$（$0\le e_i<|G|$）で $A_0$ 加群として生成され、有限生成 $A_0$ 加群である。$A_0$ は有限生成 $k$ 代数なので Hilbertの基底定理 により Noether 環であり、有限生成加群の部分加群 $k[x]^G$ は有限生成 $A_0$ 加群である。その生成元を $A_0$ の生成元に加えれば、$k[x]^G$ の $k$ 代数としての生成元が得られる。後半は $k[x]^G\supset A_0$ と $k[x]$ が $A_0$ 上有限であることから従う。$\square$
$k$ の標数を $2$ とし、$G=\{1,\tau\}$ を $\tau(x_1)=x_2$、$\tau(x_2)=x_1$ で $k[x_1,x_2]$ に作用させる。群の位数 $2$ が $k$ で $0$ になるので、平均 $\frac12(f+\tau f)$ による射影は使えない。それでも thm-h14-noether から $k[x_1,x_2]^G$ は有限生成で、実際に $k[x_1+x_2,\,x_1x_2]$ に等しい。
確かめを開く
$x_1+x_2$ と $x_1x_2$ は不変である。逆に $f$ が不変なら $f$ は 2 変数の対称多項式なので、対称式 の定理「対称多項式の基本定理」（係数は任意の可換環でよく、標数によらない）により $x_1+x_2$ と $x_1x_2$ の多項式で書ける。この例の $P_1(T)=(T-x_1)(T-x_2)=T^2-(x_1+x_2)T+x_1x_2$ の係数が、prf-h14-noether の $A_0$ の生成元であり、ここでは $A_0$ がすでに不変式環全体になっている。
$k$ を無限体とし、乗法群 $k^\times$ の元 $\lambda$ を $x_1\mapsto\lambda x_1$、$x_2\mapsto\lambda^{-1}x_2$ で $k[x_1,x_2]$ に作用させる。単項式 $x_1^ax_2^b$ は $\lambda^{a-b}$ 倍される。$a\ne b$ なら、$k$ が無限体なので $\lambda^{a-b}\ne1$ となる $\lambda$ があり（$\lambda^{\lvert a-b\rvert}=1$ の根は有限個）、不変な多項式ではその単項式の係数が $0$ である。よって不変式環は $k[x_1x_2]$ で、超越次数 $1$ の環が $1$ つの元で生成されている（後で述べる超越次数 $1$ の場合の結果の例である）。
対称群 $S_n$ が変数を入れ替える場合、$k[x]^{S_n}$ は基本対称式で生成される（対称式）。一般の群では、線形簡約な代数群が変数に線形に作用するなら不変式環は有限生成である（Hilbertの有限性定理(不変式論)）。
体の側の条件については、次のことが知られている（どちらも Kur18 §1 による紹介。この記事では証明しない）。
- 超越次数が $2$ 以下（Zariski）。 $\operatorname{trdeg}_kA\le2$ なら、$A=L\cap k[x]$ は有限生成である（1954 年）。
- 超越次数が $1$。 $\operatorname{trdeg}_kA=1$ なら、ある $f\in A$ について $A=k[f]$ である（Zaks の定理と、$A$ が整閉であること（prop-h14-basic の 1）による）。
prop-h14-basic の 2 により、これらは $\operatorname{trdeg}_kL$ ではなく $A$ の超越次数についての主張として読める。とくに $n\le2$ ならいつも有限生成である。
永田の反例
永田の反例は、平面の 16 個の一般の点を通る曲線についての補題を、不変式環の生成元の次数の評価に結びつけたものである。以下この節では次の記号を使う。
$a_{ij}$（$i=1,2,3$、$j=1,\dots,16$）を素体の上で代数的に独立な 48 個の元とし、$k$ をそれらを含む体とする（たとえば $k=\mathbb C$ にとれる）。$S:=k[x_1,\dots,x_{16},t_1,\dots,t_{16}]$ とし、
$$
V^*:=\Bigl\{b\in k^{16}\ \Big|\ \sum_{j=1}^{16}a_{ij}b_j=0\ (i=1,2,3)\Bigr\}
$$
とおく。$b\in V^*$ について、$S$ の $k$ 代数の自己同型 $\sigma_b$ を $\sigma_b(t_j)=t_j$、$\sigma_b(x_j)=x_j+b_jt_j$ で定め、$G:=\{\sigma_b\mid b\in V^*\}$ とおく。
$\sigma_b\sigma_{b'}=\sigma_{b+b'}$ なので、$G$ は加法群 $V^*$ と同型な可換群で、変数の 1 次の置き換えからなる。$a_{ij}$ が代数的に独立なので、行列 $(a_{ij})$ のどの $3\times3$ 小行列式も $0$ でない（小行列式は $a_{ij}$ の $0$ でない多項式である）。よって行列の階数は $3$ で、$\dim V^*=13$ である。
def-h14-nagata-group の $G$ について、不変式環 $S^G$ は有限生成な $k$ 代数でない。とくに Hilbert の第 14 問題の答えは、線形な群の作用の不変式環に限っても否定的である。
主張は Nag60 §1 にあり、証明は同 §2・§3（pp. 459–462）にある。証明は次の 4 段からなる。1 段目と 4 段目、3 段目の曲線の存在の部分はこの記事で証明し、2 段目の不変式環の記述と 3 段目の「基本補題」は引用する。
記号として、$u:=t_1\cdots t_{16}$、$v_j:=u/t_j$、$w_j:=v_jx_j$、
$$
y_i:=\sum_{j=1}^{16}a_{ij}w_j\quad(i=1,2,3)
$$
とおく（この節では $n$ を $\mathbb Z^{16}$ の元に使う。多項式環の変数の個数は $32$ である）。$R_0:=k[y_1,y_2,y_3]$ を射影平面 $\mathbb P^2$ の斉次座標環と見て、$P_j:=(a_{1j}:a_{2j}:a_{3j})\in\mathbb P^2$ とし、$\mathfrak p_j\subset R_0$ を $P_j$ で $0$ になる斉次多項式の生成する素イデアルとする。$n\in\mathbb Z^{16}$ について
$$
\mathfrak a(n):=\bigcap_{j=1}^{16}\mathfrak p_j^{\max(0,n_j)},\qquad t^{-n}:=t_1^{-n_1}\cdots t_{16}^{-n_{16}}
$$
とおく。座標を 1 次変換して $P_j=(0:0:1)$ とすれば $\mathfrak p_j=(Y_1,Y_2)$ で、$\mathfrak p_j^m$ はどの項も $Y_1,Y_2$ について $m$ 次以上の斉次多項式の全体、すなわち $P_j$ で重複度 $m$ 以上の曲線を定める多項式の全体である。
$y_1,y_2,y_3,t_1,\dots,t_{16}$ は $k$ 上代数的に独立で、$k(x,t)^G=k(y_1,y_2,y_3,t_1,\dots,t_{16})$ である。したがって
$$
S^G=S\cap k(y_1,y_2,y_3,t_1,\dots,t_{16}).
$$
$y_i$ が不変であることを確かめ、$k(x,t)$ を $y$ と $x_4,\dots,x_{16}$、$t$ で生成し直すと、$G$ は残りの 13 変数の平行移動の全体として働く。平行移動で不変な有理式は定数である。
詳細
不変性：$\sigma_b(w_j)=v_jx_j+v_jb_jt_j=w_j+b_ju$ なので、$\sigma_b(y_i)=y_i+u\sum_ja_{ij}b_j=y_i$ である。生成し直し：行列 $(a_{ij})_{i,j\le3}$ は可逆なので、$w_1,w_2,w_3$ は $y_1,y_2,y_3,w_4,\dots,w_{16}$ の $k$ 係数の 1 次結合で書け、$x_j=w_j/v_j$ だから $k(x,t)=k(y_1,y_2,y_3,x_4,\dots,x_{16},t_1,\dots,t_{16})$ である。右辺の 32 個の元が超越次数 $32$ の体を生成するので、それらは代数的に独立である。
作用の形：$b\in V^*$ に $(b_4,\dots,b_{16})$ を対応させる写像は単射である（$b_4=\cdots=b_{16}=0$ なら $\sum_{j\le3}a_{ij}b_j=0$ と小行列式が $0$ でないことから $b=0$）。両辺とも 13 次元なので全単射であり、$G$ は $y,t$ を固定し、$c\in k^{13}$ を任意にとって $x_l\mapsto x_l+c_lt_l$（$l=4,\dots,16$）と働く。$K:=k(y,t)$、$z_l:=x_l/t_l$ とおくと $k(x,t)=K(z_4,\dots,z_{16})$ で、$G$ は $z_l\mapsto z_l+c_l$ と働く。
平行移動で不変な有理式：$k$ は無限体である。$F$ を体、$f\in F(z)$（1 変数）が任意の $c\in k$ について $f(z+c)=f(z)$ を満たすとする。$f=p/q$（$p,q\in F[z]$ は互いに素、$q$ はモニック）と書くと $p(z+c)q(z)=p(z)q(z+c)$ で、$q(z+c)$ は $p(z+c)$ と互いに素なので $q(z+c)$ は $q(z)$ を割り、どちらもモニックで次数が等しいので $q(z+c)=q(z)$ である。$z=0$ を代入すると $q(c)=q(0)$ が無限個の $c$ で成り立つので、$q$ は定数 $1$ である。同様に $p(c)=p(0)$ から $p$ も定数で、$f\in F$ である。これを $F=K(z_5,\dots,z_{16})$、$z=z_4$ に当てると、$G$ で不変な $f$ は $z_4$ を含まない。続けて $z_5,\dots,z_{16}$ に当てると $f\in K$ を得る。逆に $K$ の元は不変である。最後の等式は prop-h14-basic の 3 による。$\square$
2 段目（Nag60 §3 の (2)、pp. 461–462。この記事では証明しない）。 $S^G$ は、有限和
$$
\sum_{n\in\mathbb Z^{16}}a(n)\,t^{-n}\qquad(a(n)\in\mathfrak a(n))
$$
の全体に等しい。証明は、$S^G$ の元に $u$ の冪を掛けると $R_0[t_1,\dots,t_{16}]$ に入ることと、各 $t_j$ に対応する付値で $t_j$ の冪による割り切れ方を $\mathfrak p_j$ の冪で測ることによる。$n_j<0$ の成分は $t_j$ の正の冪を表すことに注意する。
2 段目は、不変式と平面曲線の対応を与えている。次数 $(d,n)$ の不変式 $h\,t^{-n}$（$n\in\mathbb Z_{\ge0}^{16}$）は、$d$ 次の曲線 $h=0$ で各 $P_j$ を重複度 $n_j$ 以上で通るものに対応する。$t_j$ で割れる回数が、$P_j$ を通る重複度に置き換わるのである。
$\zeta_j:=a_{3j}y_1-a_{1j}y_3$ は $P_j$ で $0$ になる 1 次式なので、2 段目によれば $\zeta_j/t_j$ は不変式である。これは直接にも確かめられる。$y_i=\sum_la_{il}(u/t_l)x_l$ から
$$
\zeta_j=\sum_{l\ne j}(a_{3j}a_{1l}-a_{1j}a_{3l})\,\frac{u}{t_l}\,x_l
$$
で（$l=j$ の係数は $0$）、$l\ne j$ なら $u/t_l$ は $t_j$ で割り切れるので、$\zeta_j/t_j$ は多項式である。$\zeta_j$ と $t_j$ は不変なので $\zeta_j/t_j\in S^G$ である。一方 $\zeta_j/t_j$ は $y,t$ の多項式ではない。こうした「$t_j$ で割れる不変式」が、点 $P_j$ を通る曲線の数だけ現れる。
3 段目（基本補題。Nag60 §2、pp. 459–460。この記事では証明しない）。 次数 $d\ge1$ の $0$ でない斉次多項式 $h\in R_0$ について、$m_j$ を $h\in\mathfrak p_j^{m_j}$ となる最大の整数（$P_j$ での重複度）とすると、
$$
\sum_{j=1}^{16}m_j<4d.
$$
証明は、3 次曲線と 4 次曲線の上の一般の点への特殊化と、それらの曲線の種数が正であることによる。
点が一般の位置にあることは欠かせない。$k=\mathbb C$ で、2 つの 4 次曲線 $y_1^4-y_3^4=0$ と $y_2^4-y_3^4=0$ の交点 $(i^a:i^b:1)$（$a,b\in\{0,1,2,3\}$、$i$ は虚数単位）は相異なる 16 点である。$h=y_1^4-y_3^4$ は次数 $d=4$ で、16 点のどれでも $0$ になるので重複度は $1$ 以上であり、$\sum m_j\ge16=4d$ となって基本補題の不等式が成り立たない。代数的に独立な $a_{ij}$ を座標にとるのは、このような特別な配置を避けるためである。
有理数 $r'>1/4$ と、$d:=16r'm$ が整数になる十分大きな自然数 $m$ について、$\mathfrak a(m,\dots,m)$ は $d$ 次の $0$ でない斉次多項式を含む。
$d$ 次の斉次多項式の空間の次元と、16 点で重複度 $m$ を課す 1 次の条件の個数を比べる。
詳細
$R_0$ の $d$ 次の部分 $(R_0)_d$ の次元は $(d+1)(d+2)/2$ である。$P_j=(0:0:1)$ となる座標で書くと、$h\in\mathfrak p_j^m$ は $Y_1^\alpha Y_2^\beta Y_3^{d-\alpha-\beta}$（$\alpha+\beta< m$）の係数がすべて $0$ であることと同値で、これは高々 $m(m+1)/2$ 個の 1 次の条件である。よって $(R_0)_d\cap\mathfrak a(m,\dots,m)$ の次元は $(d+1)(d+2)/2-8m(m+1)$ 以上である。$d=16r'm$ なら $(d+1)(d+2)/2> d^2/2=128r'^2m^2$ で、$128r'^2m^2\ge8m(m+1)$ は $m(16r'^2-1)\ge1$ と同値である。$r'>1/4$ から $16r'^2-1>0$ なので、$m\ge1/(16r'^2-1)$ なら次元は正である。$\square$
有限個の生成元があれば、生成元の「次数と重複度の比」の最小値 $r$ は基本補題により $1/4$ より大きい。比が $r$ より小さい不変式を 3 段目で作れば、それは生成元で書けない。
詳細
次数付け：2 段目と 1 段目から $S^G\subset R_0[t_1^{\pm1},\dots,t_{16}^{\pm1}]$ であり、$y,t$ が代数的に独立なので、右辺は $\deg y_i=(1,0)$、$\deg t_j=(0,-e_j)$（$e_j$ は第 $j$ 単位ベクトル）で $\mathbb Z\times\mathbb Z^{16}$ 次数付けされる。$\mathfrak a(n)$ は斉次イデアルなので、2 段目により $S^G$ の元の斉次成分はまた $S^G$ に属する。$d$ 次斉次の $h\in\mathfrak a(n)$ について $h\,t^{-n}$ の次数は $(d,n)$ である。
生成元の整理：$S^G$ が有限生成なら、生成元を斉次成分に分けて、斉次な生成元 $h_\ell t^{-n^{(\ell)}}$ がとれる。$n=n^+-n^-$（$n^\pm\in\mathbb Z_{\ge0}^{16}$）と分けると $\mathfrak a(n)=\mathfrak a(n^+)$ で、$h\,t^{-n}=(h\,t^{-n^+})\,t^{n^-}$ である。$t_j\in S^G$、$R_0\subset S^G$ なので、$S^G$ は $y_1,y_2,y_3,t_1,\dots,t_{16}$ と、有限個の $g_\ell=h_\ell t^{-n^{(\ell)}}$（$n^{(\ell)}\in\mathbb Z_{\ge0}^{16}\setminus\{0\}$、$h_\ell\in\mathfrak a(n^{(\ell)})$ は $\delta_\ell$ 次斉次）で生成される。$\lvert n\rvert:=\sum_jn_j$ とおく。
比の下界：$h_\ell\in\mathfrak p_j^{n^{(\ell)}_j}$ なので $P_j$ での重複度は $n^{(\ell)}_j$ 以上であり、基本補題から $\lvert n^{(\ell)}\rvert< 4\delta_\ell$ である。ex-h14-extra-invariant の $\zeta_j/t_j$ は $S^G$ に属し $y,t$ の多項式でないので、$g_\ell$ は少なくとも 1 つある（$0$ の $g_\ell$ は除いておく）。よって $r:=\min_\ell \delta_\ell/\lvert n^{(\ell)}\rvert>1/4$ が定まる。
矛盾：$1/4< r'< r$ となる有理数 $r'$ をとり、3 段目で $d=16r'm$ 次の $0$ でない $h\in\mathfrak a(m,\dots,m)$ をとる。$h\,t^{-(m,\dots,m)}\in S^G$ は次数 $(d,(m,\dots,m))$ の斉次元なので、生成元の単項式 $y^\alpha t^\beta\prod_\ell g_\ell^{\gamma_\ell}$ のうち同じ次数のものの $k$ 係数の 1 次結合で書け、そのような単項式が少なくとも 1 つある。次数を比べると $d=\lvert\alpha\rvert+\sum_\ell\gamma_\ell \delta_\ell\ge r\sum_\ell\gamma_\ell\lvert n^{(\ell)}\rvert$、$(m,\dots,m)=-\beta+\sum_\ell\gamma_\ell n^{(\ell)}$ である。後者から $\sum_\ell\gamma_\ell\lvert n^{(\ell)}\rvert=16m+\lvert\beta\rvert\ge16m$ なので、$d\ge16mr>16mr'=d$ となり矛盾する。よって $S^G$ は有限生成でない。$\square$
基本補題の不等式 $\sum m_j<4d=\sqrt{16}\,d$ は、16 個の一般の点を通る曲線の次数が重複度の和の $1/\sqrt{16}$ 倍を超えることを言っている。3 段目はその比が $1/4$ に限りなく近い曲線があることを示しており、生成元が有限個だと比の最小値が $1/4$ から離れてしまうことが矛盾の源である。Nag60 の末尾の注意によれば、$S\cap k(y_1,y_2,y_3,u)$ も有限生成でなく、これは超越次数 $4$ の反例になる（Kur18 §1 は、これを $(n,r)=(32,4)$ の反例として挙げている）。
その後の反例と残る問い
以下、$n$ は変数の個数、$r$ は $A$ の超越次数で、内容は Kur18 §1（arXiv 版、2018 年）による紹介である。この記事では証明しない。
- Roberts は標数 $0$ で、$(n,r)=(7,6)$ の、永田とは別の種類の反例を与えた（1990 年）。その後、永田と Roberts の構成はそれぞれ一般化された。
- 不変式環として有限生成でない例は $(n,r)=(5,4)$ でも知られている（Daigle–Freudenburg）。一方、$n=3$ なら、$k[x]$ の $k$ 代数の自己同型群のどの部分群 $G$ についても $k[x]^G$ は有限生成である。$G$ が有限なら thm-h14-noether による。$\operatorname{trdeg}_kk(x)^G=3$ なら $k(x)$ は $k(x)^G$ の有限次拡大で、$G$ は $k(x)^G$ を固定する $k(x)$ の自己同型の群に入り、その位数は拡大次数以下なので $G$ は有限である。よって $G$ が無限群なら $\operatorname{trdeg}_kk(x)^G\le2$ で、Zariski の結果が当てはまる。$n=4$ または $r=3$ の不変式環で有限生成でない例は、2018 年の時点では知られていなかった。
- 不変式環に限らない一般の $L$ については、黒田茂（Shigeru Kuroda、多項式環論）が $(n,r)=(4,3)$ と $n=r=3$ の反例を与えた。$n\le2$ ではいつも有限生成なので、変数の個数について反例があるのは $n\ge3$ のときである。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 体との共通部分の形 | ex-h14-not-intersection の $R$ | 有限生成 |
| 群が有限（thm-h14-noether） | def-h14-nagata-group の $G$ | 不変式環の有限生成 |
| 変数が有限個 | $k[x_1,x_2,\dots]$ と自明な群 | 不変式環の有限生成 |
| $A$ の超越次数が $2$ 以下（Zariski） | $S\cap k(y_1,y_2,y_3,u)$（超越次数 $4$） | 有限生成 |
| 16 点が一般の位置（基本補題） | 2 つの 4 次曲線 $y_1^4=y_3^4$、$y_2^4=y_3^4$ の 16 個の交点 | 不等式 $\sum m_j< 4d$ |
1・2 行目はそれぞれ ex-h14-not-intersection と thm-h14-noether・thm-h14-nagata、3 行目は変数の数え上げ、4 行目は Nag60 の末尾の注意による。5 行目は「永田の反例」の節の 3 段目のあとの段落で確かめた（交点の座標は代数的に独立でない）。
詳細
1 行目：$R$ は多項式環の部分代数だが体との共通部分の形でなく、有限生成でない。2 行目：$G$ は 13 次元の加法群と同型な無限群で、thm-h14-noether の有限性だけが欠けている。$G$ は 32 変数の 1 次の置き換えからなるので、変数の個数・線形性の条件は満たす。3 行目：自明な群では不変式環は環全体で、$k[x_1,x_2,\dots]$ の有限個の元は有限個の変数しか含まないので、それらの多項式で書けない変数が残る。$k(x_1,x_2,\dots)\cap k[x_1,x_2,\dots]$ と見れば、体との共通部分の形は保ったまま変数の有限性だけを外した例である。4 行目：$y_1,y_2,y_3,u$ は代数的に独立で、$A:=S\cap k(y_1,y_2,y_3,u)$ は体との共通部分の形だが超越次数 $4$ の場合にあたり（$Q(A)$ の超越次数が $4$ であることも含めて Kur18 §1 の紹介による）、有限生成でない（Nag60 p. 462。この記事では証明しない）。
逆向きの注意として、群が有限でも線形簡約でもなくても、不変式環が有限生成になることはある。加法群 $(k,+)$ が $k[x,y]$ に $f(x,y)\mapsto f(x,y+tx)$ で作用するとき、不変式環は $k[x]$ である（標数 $0$。Hilbertの有限性定理(不変式論) の例「完全可約でないが有限生成な例」）。
関連項目
- 前提: 有限生成代数, 超越次数, 整閉整域, 分数体
- 比較: Hilbertの有限性定理(不変式論), 有限群による商, 対称式
- 発展: Hilbertの第17問題, Hilbertの第12問題, Hilbertの第10問題
参考文献
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