端点(凸集合)

1 ⇔ 2 は Krein–Milmanの定理 の節「端点と端集合」で、定義のすぐ後に示されている。
1 ⇒ 3 は $t=\frac12$ の場合である（$x=y=a$ となる）。
3 ⇒ 1：$a=(1-t)x+ty$（$x,y\in K$、$0< t< 1$）とし、$x\neq y$ と仮定して矛盾を導く（$x=y$ なら $a=x=y$ で結論が成り立つ）。$x,y$ と $t,1-t$ を入れかえてよいので $t\le\frac12$ とする。$y':=(1-2t)x+2ty$ は $x,y$ の凸結合なので $K$ に属し、
$$ \tfrac12(x+y')=\tfrac12\bigl((2-2t)x+2ty\bigr)=(1-t)x+ty=a $$
である。$y'-x=2t(y-x)\neq0$ なので $x\neq y'$ となり、3 に反する。
1 ⇒ 4：$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ なら $x_1=a$ である。$n\ge2$ とすると $0< \alpha_1< 1$ であり、$z:=\sum_{i\ge2}\frac{\alpha_i}{1-\alpha_1}x_i$ は $K$ の点の凸結合なので $K$ に属し、$a=\alpha_1x_1+(1-\alpha_1)z$ である。$a$ は端点なので $x_1=z=a$ であり、$a=z$ は $n-1$ 個の点の正の係数の凸結合なので、帰納法の仮定により $x_i=a$（$i\ge2$）である。
4 ⇒ 1 は $n=2$ の場合である。$\square$

1：凸集合の共通部分は凸で、面の条件は各成員で成り立つ。
2：$G$ は凸である。$x,y\in K$、$0< t< 1$、$(1-t)x+ty\in G$ とする。$G\subset F$ で $F$ は $K$ の面なので $x,y\in F$ であり、$G$ は $F$ の面なので $x,y\in G$ である。
3：$a\in F$ が $K$ の端点なら、$F\subset K$ なので $F$ の端点でもある。逆に $a\in\operatorname{ext}F$ とし、$a=(1-t)x+ty$（$x,y\in K$、$0< t< 1$）とする。$F$ は面なので $x,y\in F$ であり、$a$ は $F$ の端点なので $x=y=a$ である。よって $a\in\operatorname{ext}K$ である。
4：$K_u$ は凸である。$x,y\in K$、$0< t< 1$、$(1-t)x+ty\in K_u$ なら $M=(1-t)u(x)+tu(y)$ で $u(x),u(y)\le M$ なので、$u(x)=u(y)=M$、すなわち $x,y\in K_u$ である。$\square$

$\|a\|< 1$ とする。$a=0$ なら、$\|u\|=1$ となる $u$ について $a=\frac12(u+(-u))$ である。$a\neq0$ なら、$\varepsilon>0$ を $(1+\varepsilon)\|a\|\le1$ にとると $a=\frac12((1+\varepsilon)a+(1-\varepsilon)a)$ である。どちらも $B_E$ の異なる 2 点の中点なので、$a$ は端点でない。
$E$ が狭義凸とし、$a\in S_E$、$a=\frac12(x+y)$（$x,y\in B_E$）とする。$1=\|a\|\le\frac12(\|x\|+\|y\|)$ から $\|x\|=\|y\|=1$ であり、$x\neq y$ なら狭義凸性から $\|a\|< 1$ となって矛盾するので $x=y$ である。よって $a$ は端点である。逆に $\operatorname{ext}B_E=S_E$ とし、$\|x\|=\|y\|=1$、$x\neq y$ とする。$a=\frac12(x+y)$ は $B_E$ の異なる 2 点の中点なので端点でなく、$\|a\|\neq1$、すなわち $\|a\|< 1$ である。$\square$

1・2：$X=\ell^\infty$ または $c$ とする。$x\in B$ で $|x_N|< 1$ となる $N$ があれば、$\varepsilon:=1-|x_N|$ について $x\pm\varepsilon e_N$ は $X$ の点で（$e_N\in c$ である）、ノルムは $1$ 以下であり、$x$ はその中点なので端点でない。逆に $|x_n|=1$ がすべての $n$ で成り立ち、$x=\frac12(y+z)$（$y,z\in B$）とすると、各 $n$ で $|y_n|,|z_n|\le1$ と $|\frac12(y_n+z_n)|=1$ から $y_n=z_n=x_n$ であり、$y=z$ である。prop-ep-equiv の 3 により $x$ は端点である。$X=c$ のとき、各項が $\pm1$ の数列が収束するなら、Cauchy 列なので $|x_n-x_m|< 2$ がある番号から先で成り立ち、$|x_n-x_m|\in\{0,2\}$ から $x_n=x_m$ となる。逆に、ある番号から先が一定なら収束する。
3：lem-ep-ball により、$\ell^p$ が狭義凸であることを示せばよい。まず $\varphi(u)=u^p$ は $[0,\infty)$ で狭義凸である。実際 $0\le a< b$、$m=\frac12(a+b)$ とすると、平均値の定理により $\varphi(m)-\varphi(a)=\varphi'(\xi)(m-a)$、$\varphi(b)-\varphi(m)=\varphi'(\eta)(b-m)$（$a< \xi< m< \eta< b$）であり、$\varphi'(u)=pu^{p-1}$ は狭義単調増加なので $\varphi(m)-\varphi(a)< \varphi(b)-\varphi(m)$、すなわち $\varphi(m)< \frac12(\varphi(a)+\varphi(b))$ である。よって実数 $s,t$ について
$$ \Bigl|\frac{s+t}2\Bigr|^p\le\Bigl(\frac{|s|+|t|}2\Bigr)^p\le\frac{|s|^p+|t|^p}2 $$
であり、等号が成り立つのは、1 つ目では $s,t$ が同符号（または一方が $0$）、2 つ目では $|s|=|t|$ のとき、合わせて $s=t$ のときに限る。$\|x\|_p=\|y\|_p=1$、$x\neq y$ とし、$x_N\neq y_N$ とすると、各項の不等式を足して、$N$ の項で真の不等号が成り立つので
$$ \Bigl\|\frac{x+y}2\Bigr\|_p^p=\sum_n\Bigl|\frac{x_n+y_n}2\Bigr|^p< \sum_n\frac{|x_n|^p+|y_n|^p}2=1 $$
である。
4：lem-ep-ball により、$\|f\|_1=1$ の $f$ が端点でないことを示せばよい。$F(s):=\int_{(-\infty,s)}|f|\,dx$ とおく。優収束定理 により、$F$ は連続で、$s\to-\infty$ で $0$、$s\to+\infty$ で $1$ に収束する（被積分関数 $|f|\mathbf 1_{(-\infty,s)}$ は $|f|$ で押さえられる）。中間値の定理により $F(s_0)=\frac12$ となる $s_0$ がある。$g:=2f\mathbf 1_{(-\infty,s_0)}$、$h:=2f\mathbf 1_{[s_0,\infty)}$ とおくと、$\|g\|_1=2F(s_0)=1$、$\|h\|_1=2(1-F(s_0))=1$、$f=\frac12(g+h)$ であり、$|g-h|=2|f|$ なので $\|g-h\|_1=2$、とくに $g\neq h$ である。よって $f$ は端点でない。$\square$

そのような写像 $T$ があれば、$T$ は閉単位球を閉単位球の上へ写し、凸結合を保つ全単射なので端点を端点へ一対一に写す。$Y^*\neq\{0\}$ の閉単位球は、弱スター位相を入れた $Y^*$（Hausdorff な局所凸空間）のコンパクトな凸集合なので（Banach–Alaogluの定理、Krein–Milmanの定理 の節「双対空間の閉単位球と $c_0$」）、Krein–Milmanの定理 の定理「Krein–Milmanの定理」により端点をもつ。これは thm-ep-balls の 4 に反する。$\square$

1 は定義を比べればよい。2：閉集合の共通部分・有限和は閉である。$(1-t)x+ty$ が共通部分に属すれば各端集合に属するので $x,y$ も各端集合に属する。和集合 $S_1\cup\cdots\cup S_m$ に属すればある $S_j$ に属するので $x,y\in S_j$ である。3 は Krein–Milmanの定理 の補題「端集合の基本性質」の 1 である。$\square$