過収束級数

$1\Rightarrow2$：$\rho N/2\ge c$ となる $N$ をとると、$|\alpha|\ge N$ のとき $v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|-c\ge\rho|\alpha|-\rho|\alpha|/2=(\rho/2)|\alpha|$ である。$2\Rightarrow3$：$r=p^{\rho/2}>1$ とおくと、$|\alpha|\ge N$ のとき $|a_\alpha|r^{|\alpha|}=p^{-v(a_\alpha)+\rho|\alpha|/2}\le p^{-\rho|\alpha|/2}\to0$。$3\Rightarrow4$：$|\alpha|\ge N$ で $|a_\alpha|r^{|\alpha|}\le1$ となる $N$ をとれば、残りの $|\alpha|< N$ は有限個なので上限は有限である。$4\Rightarrow1$：$|a_\alpha|r^{|\alpha|}\le C$（$C\ge1$）とすると、両辺の $p$ を底とする対数をとって $-v(a_\alpha)+|\alpha|\log_pr\le\log_pC$、すなわち $v(a_\alpha)\ge(\log_pr)|\alpha|-\log_pC$ であり、$\rho=\log_pr>0$、$c=\log_pC$ でよい。
$n=1$ のとき。$R>1$ ならば $1< r< r'< R$ をとる。$\limsup|a_m|^{1/m}=1/R<1/r'$ だから、ある $m_0$ 以上で $|a_m|^{1/m}\le1/r'$、したがって $|a_m|r^m\le(r/r')^m\to0$ となり 3 が成り立つ。逆に 4 のとき $|a_m|r^m\le C$ から $|a_m|^{1/m}\le C^{1/m}/r\to1/r$ なので $\limsup|a_m|^{1/m}\le1/r<1$、すなわち $R\ge r>1$ である（$R=\infty$ も許す）。

1．$f=\sum a_\alpha t^\alpha$、$g=\sum b_\alpha t^\alpha$ が $(\rho,c)$、$(\rho',c')$ について過収束とする。$f+g$ の係数は $v(a_\alpha+b_\alpha)\ge\min(v(a_\alpha),v(b_\alpha))\ge\min(\rho,\rho')|\alpha|-\max(c,c')$ を満たす。$fg$ の $t^\gamma$ の係数 $\sum_{\alpha+\beta=\gamma}a_\alpha b_\beta$ は有限和で、各項は $v(a_\alpha b_\beta)\ge\rho|\alpha|-c+\rho'|\beta|-c'\ge\min(\rho,\rho')|\gamma|-(c+c')$ を満たす。$1$ と $-f$ も過収束だから $A$ は部分環である。多項式は $c=0$ で過収束し、過収束級数は $v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|-c\to\infty$ なので制限冪級数である。$W[\![t]\!]$ は整域（$W$ が整域）なので $A$ もそうである。
2．$\partial_if$ の $t^{\alpha-e_i}$ の係数は $\alpha_ia_\alpha$ で、$v(\alpha_ia_\alpha)\ge v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|-c\ge\rho|\alpha-e_i|-c$。$\partial^{[\beta]}f$ の $t^{\alpha-\beta}$ の係数 $\binom\alpha\beta a_\alpha$ は整数倍なので同様に $v\ge\rho|\alpha-\beta|-c$ である。
3．$v(b_\gamma)\to\infty$ であり、各 $x^\gamma$ は $W$ 係数の多項式なので、$t^\beta$ の係数への寄与 $\sum_\gamma b_\gamma\cdot(x^\gamma\text{ の }t^\beta\text{ の係数})$ は $W$ の中で $p$ 進収束する。$x_i$ の次数を $d\ge1$ 以下とする（$d=0$ なら $x_i\in W$ で $g(x)\in W$）。$x^\gamma$ の次数は $d|\gamma|$ 以下なので、$t^\beta$ の係数に寄与する $\gamma$ は $d|\gamma|\ge|\beta|$ を満たすものに限られ、その寄与の付値は $v(b_\gamma)\ge\rho|\gamma|-c\ge(\rho/d)|\beta|-c$ 以上である。収束する和の付値は各項の付値の下限以上だから、$g(x)$ は $(\rho/d,c)$ について過収束である。

$W[t]^\dagger$ の元は $g(x)$（$x_1,\dots,x_m\in W[t]$、$g\in W\{s_1,\dots,s_m\}^\dagger$）の形で、prop-ocps-subring の 3 により $W\{t\}^\dagger$ に属する。逆に $f\in W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$ は、$m=n$、$x=(t_1,\dots,t_n)$ に対する $f(x)=f$ として $W[t]^\dagger$ に属する。弱完備性は thm-ocps-mw-universal の 1 による。$n=0$ では $W[\![\ ]\!]=W$ で、条件は空である。

1．$f=p^mg$（$g=\sum g_\alpha t^\alpha\in W[\![t]\!]$）が $(\rho,c)$ について過収束なら、$v(g_\alpha)=v(a_\alpha)-m\ge\rho|\alpha|-(c+m)$ なので $g\in A$。逆の包含は明らかである。
2．全射性：$f\in A$ が $(\rho,c)$ について過収束のとき、$v(a_\alpha)< m$ となる $\alpha$ は $\rho|\alpha|-c< m$ を満たすので有限個である。それらの項の和を $f_{< m}\in W[t]$ とすると $f-f_{< m}\in p^mW[\![t]\!]\cap A=p^mA$（1 による）。単射性：$W[t]\cap p^mA\subset W[t]\cap p^mW[\![t]\!]=p^mW[t]$ である。
3．$A$ は整域 $W[\![t]\!]$ の部分環で $p\ne0$ だから $p$ 捩れをもたない。離散付値環 $W$ 上の捩れのない加群は平坦である（AM69 第 3 章の演習、または $W$ が単項イデアル整域であることによる）。$\bigcap_mp^mA\subset\bigcap_mp^mW[\![t]\!]=0$（係数ごとに見る）なので分離的である。完備化は 2 により $\varprojlim_mA/p^mA=\varprojlim_mW_m[t]$ で、$W_m[t]$ の両立する列は、各 $\alpha$ について $W$ の元 $a_\alpha$ を定め、各 $m$ について $v(a_\alpha)< m$ となる $\alpha$ が有限個であること、すなわち $v(a_\alpha)\to\infty$ を満たす。これは $W\{t\}$ である。$n\ge1$ なら ex-ocps-not-overconvergent の級数（$t=t_1$ とする）が $W\{t\}\setminus A$ にあるので、$A\to W\{t\}$ は同型でなく $A$ は完備でない。

1．$W[t]\to A$ は $t_i\mapsto\bar{t}_i$ で与えられ、$W\{t\}\to\hat{A}$ はその完備化で、$p$ 進位相について連続な（連続写像）環準同型である。$g=\sum b_\gamma t^\gamma\in W\{t\}^\dagger$ の像は、連続性により $\sum b_\gamma\bar{t}^\gamma=g(\bar{t})$ であり、これは def-ocps-weak-completion の形なので $A^\dagger$ に属する。逆に $y=f(x)\in A^\dagger$（$x_i\in A$、$f\in W\{s\}^\dagger$）をとり、$x_i=P_i(\bar{t})$ となる多項式 $P_i\in W[t]$ を選ぶ。prop-ocps-subring の 3 により $g:=f(P_1,\dots,P_m)\in W\{t\}^\dagger$ であり、その像は $\sum_\gamma a_\gamma P(\bar{t})^\gamma=f(x)=y$ である（有限和の像は像の有限和で、極限は連続性で保たれる）。
2．$A$ は Noether 環 $W$ 上有限生成なのでNoether環であり、$\hat{A}/p\hat{A}\cong A/pA$ が成り立つ（AM69 第 10 章）。$A^\dagger\to\hat{A}/p\hat{A}=A/pA$ は $A\subset A^\dagger$ の像を含むので全射である。核が $pA^\dagger$ であることを示す。$y=f(x)\in A^\dagger\cap p\hat{A}$ とする。$f=\sum a_\gamma s^\gamma$ の項のうち $v(a_\gamma)=0$ のものは有限個で、その和を $f_0\in W[s]$ とすると、$f-f_0$ の係数はすべて $pW$ に入るので prop-ocps-reduction の 1 により $f-f_0=pg$、$g\in W\{s\}^\dagger$ と書ける。$y=f_0(x)+pg(x)$ で $f_0(x)\in A$ だから、$f_0(x)\in A\cap p\hat{A}=pA$（$A/pA\to\hat{A}/p\hat{A}$ が同型であることによる）。$f_0(x)=pa$（$a\in A$）とおけば $y=p(a+g(x))$ で、$a+g(x)\in A^\dagger$（thm-ocps-mw-universal の 1 により $A^\dagger$ は部分環）。よって $y\in pA^\dagger$ である。

1．$h=\sum c_\beta t^\beta$ が $(\rho,c)$ について過収束とし、$N:=\lceil c/\rho\rceil$ とおく。$|\beta|\ge N$ なら $v(c_\beta)\ge\rho|\beta|-c\ge\rho(|\beta|-N)$、$|\beta|< N$ なら $v(c_\beta)\ge0$ だから、すべての $\beta$ で $v(c_\beta)\ge\rho\max(0,|\beta|-N)$ である。$\rho':=\min(\rho,1/N)$（$N=0$ なら $\rho':=\rho$）とおくと、$\rho'\le\rho$ なので同じ不等式が $\rho'$ でも成り立ち、$\rho'N\le1$ である。$h^m$ の $t^\beta$ の係数は $\beta_1+\cdots+\beta_m=\beta$ にわたる有限和 $\sum c_{\beta_1}\cdots c_{\beta_m}$ で、各項の付値は $\rho'\sum_i\max(0,|\beta_i|-N)\ge\rho'(|\beta|-mN)$ 以上である。したがって $p^mh^m$ の $t^\beta$ の係数の付値は $m+\rho'|\beta|-\rho'mN\ge\rho'|\beta|$ 以上であり、同時に $m$ 以上でもある。よって $u:=\sum_{m\ge0}p^mh^m$ は $W[\![t]\!]$ の中で係数ごとに $p$ 進収束し、$u$ の $t^\beta$ の係数の付値は $\rho'|\beta|$ 以上、すなわち $u\in A$ である。$(1-ph)\sum_{m\le M}p^mh^m=1-p^{M+1}h^{M+1}$ で $M\to\infty$ とすれば $(1-ph)u=1$ を得る。$p$ が Jacobson 根基に属することは、「すべての $h$ について $1-ph$ が単元」という Jacobson 根基の特徴づけ（AM69 命題 1.9）による。
2．$f$ が単元なら $\bar{f}$ は $k[t]$ の単元で、$k[t]$ の単元は $k^\times$ の元だから $\bar{f}=\bar{a}_0\ne0$、すなわち $v(a_0)=0$ かつ $\alpha\ne0$ で $v(a_\alpha)\ge1$ である。逆にこのとき $a_0\in W^\times$ で、$f-a_0$ の係数はすべて $pW$ に入るので prop-ocps-reduction の 1 により $f-a_0=pg$、$g\in A$ と書け、$f=a_0(1-ph)$、$h:=-a_0^{-1}g\in A$ となる。1 により $f$ は単元である。
3．$A$ の極大イデアルはすべて Jacobson 根基を含むので $p$ を含む。$p$ を含む $A$ のイデアルと $A/pA=k[t]$ のイデアルの対応（prop-ocps-reduction の 2）は包含を保ち、極大イデアルを極大イデアルに移す。$k[t]$ の極大イデアルが $\mathbb{A}^n_k$ の閉点に対応することは Hilbert の零点定理（Hilbertの零点定理）による。

$\hat{P}=W\{t\}$ は Noether 環 $P$（thm-ocps-noetherian）の $p$ 進完備化なので（prop-ocps-reduction の 3）、$P$ 上平坦である（AM69 系 10.13）。さらに忠実平坦（忠実平坦）である。実際、$P$ の任意の極大イデアル $\mathfrak{m}$ は $p$ を含むから（prop-ocps-units の 1）、$P/\mathfrak{m}$ は $P/pP$ 加群であり、$P/pP\to\hat{P}/p\hat{P}$ が同型であること（prop-ocps-reduction の 2）を使って
$$ \hat{P}/\mathfrak{m}\hat{P}=\hat{P}\otimes_P(P/\mathfrak{m})=(\hat{P}/p\hat{P})\otimes_{P/pP}(P/\mathfrak{m})=(P/pP)\otimes_{P/pP}(P/\mathfrak{m})=P/\mathfrak{m}\ne0 $$
となる。平坦な $P$ 代数 $B$ について、すべての極大イデアルで $\mathfrak{m}B\ne B$ となることは $B$ が忠実平坦であることと同値で、そのときすべてのイデアル $J\subset P$ について $JB\cap P=J$ が成り立つ（AM69 第 3 章演習 16）。よって $IW\{t\}\cap P=(IP)\hat{P}\cap P=IP$ である。
一方、$W[t]$ は Noether 環で $A=W[t]/I$ は有限生成 $W[t]$ 加群だから、$p$ 進完備化について $\hat{A}=\widehat{W[t]}\otimes_{W[t]}A=W\{t\}\otimes_{W[t]}W[t]/I=W\{t\}/IW\{t\}$ が成り立つ（AM69 命題 10.12）。したがって $W\{t\}\to\hat{A}$ の核は $IW\{t\}$ で、$P$ への制限の核は $IW\{t\}\cap P=IP$ である。cor-ocps-fg-quotient の 1 により $P\to\hat{A}$ の像は $A^\dagger$ なので、$A^\dagger\cong P/IP$ を得る。$A^\dagger$ は def-ocps-weak-completion により $A$ と $\hat{A}$ だけから定まるので、$P/IP$ は表示の取り方に依らない。

まず $A\,dt\cong A$ は prop-ocps-reduction の 3 により $p$ 進分離的であり、$\delta$ は $W[\![t]\!]$ の形式微分の制限なので Leibniz則を満たし、prop-ocps-subring の 2 により $A$ に値をもつ。
次に $M$ と $D$ を与える。多項式 $g\in W[t]$ については、Leibniz 則と $W$ 線型性から $D(g)=g'(t)D(t)$ である。$f=\sum a_mt^m\in A$ が $(\rho,c)$ について過収束とし、整数 $N\ge1$ をとって $f=f_{< N}+r_N$、$f_{< N}=\sum_{m< N}a_mt^m$、$r_N=\sum_{m\ge N}a_mt^m$ と分ける。$r_N$ の係数はすべて $v(a_m)\ge\rho N-c$ を満たすので、$e_N:=\max(0,\lfloor\rho N-c\rfloor)$ とおくと $r_N\in p^{e_N}W[\![t]\!]\cap A=p^{e_N}A$（prop-ocps-reduction の 1）、すなわち $r_N=p^{e_N}h_N$、$h_N\in A$ と書ける。$D$ は $W$ 線型で $\delta$ もそうだから
$$ D(f)-f'(t)D(t)=\bigl(D(r_N)-r_N'(t)D(t)\bigr)=p^{e_N}\bigl(D(h_N)-h_N'(t)D(t)\bigr)\in p^{e_N}M $$
である。$N\to\infty$ で $e_N\to\infty$ だから $D(f)-f'(t)D(t)\in\bigcap_ep^eM=0$。よって $\varphi(g\,dt):=gD(t)$ とおけば $\varphi$ は $A$ 線型で $D=\varphi\circ\delta$ であり、$\varphi(dt)=D(t)$ を満たす $A$ 線型写像はこれに限る。
最後に $\bar{\Omega}_{A/W}$ が同じ普遍性をもつことを見る。$\bar{\Omega}_{A/W}$ は分離的である（$p^e\bar{\Omega}=p^e\Omega/\bigcap_mp^m\Omega$ なので、その共通部分は零）。分離的な $M$ への $A$ 線型写像 $\Omega_{A/W}\to M$ は $\bigcap_mp^m\Omega_{A/W}$ を $\bigcap_mp^mM=0$ に送るので $\bar{\Omega}_{A/W}$ を経由し、Kähler 微分の普遍性と合わせて $\bar{\Omega}_{A/W}$ も分離的加群への導分の普遍対象になる。普遍対象の一意性により $\bar{\Omega}_{A/W}\cong A\,dt$ である。

1．$\sum ma_mt^{m-1}=0$ なら $m\ge1$ で $ma_m=0$、$W$ は標数 $0$ の整域なので $a_m=0$ である。
2．$\omega=\sum_{m\ge0}b_mt^mdt$、$v(b_m)\ge\rho m-c$ とする。$g:=\sum_{m\ge0}\frac{b_m}{m+1}t^{m+1}\in K[\![t]\!]$ とおくと形式的に $dg=\omega$ である。$p^{v(m+1)}\le m+1$ なので $v(m+1)\le\log_p(m+1)$ であり、$\log_p(m+1)/m\to0$ だから、$m\ge m_0$ で $\log_p(m+1)\le\rho m/2$ となる $m_0\ge1$ がとれる。$m\ge m_0$ では
$$ v\Bigl(\frac{b_m}{m+1}\Bigr)\ge\rho m-c-\frac{\rho m}{2}=\frac{\rho}{2}m-c\ge\frac{\rho}{4}(m+1)-c $$
である。$m< m_0$ の有限個の係数 $b_m/(m+1)\in K$ の付値の最小値と $-c$ の小さい方以下の整数 $-e$（$e\ge0$）をとると、$p^eg$ の係数はすべて $W$ に入り、$t^{m+1}$（$m\ge m_0$）の係数の付値は $\frac{\rho}{4}(m+1)-c+e\ge\frac{\rho}{4}(m+1)$ 以上なので $p^eg\in A$ である。よって $p^e\omega=d(p^eg)\in d(A)$。$H^1$ の任意の元が $p$ 冪で消えるので、$K=W[1/p]$ をテンソルすると $H^1\otimes_WK=0$ である。
3．$p^j\,t^{p^j-1}dt=d(t^{p^j})$ なので $[t^{p^j-1}dt]$ の位数は $p^j$ を割る。$p^{j-1}t^{p^j-1}dt=dg$、$g=\sum g_mt^m\in A$ とすると、$t^{p^j-1}dt$ の係数を比べて $p^jg_{p^j}=p^{j-1}$、すなわち $g_{p^j}=1/p\notin W$ となり矛盾する。よって位数はちょうど $p^j$ である。有限生成な捩れ $W$ 加群は有限個の生成元の位数の最大値 $p^r$ で零になるが、$H^1$ は任意に大きい位数の元をもつので有限生成でない。

$K\{t\}^\dagger$ の元は $p^{-e}f$（$e\ge0$、$f\in W\{t\}^\dagger$）の形で、lem-ocps-equivalent-forms の 3 により $|a_\alpha|r^{|\alpha|}\to0$ となる $r>1$ をもち、$p^{-e}$ を掛けても同じ $r$ で成り立つ。逆に $g=\sum a_\alpha t^\alpha\in K[\![t]\!]$ が $|a_\alpha|r^{|\alpha|}\to0$（$r>1$）を満たすとする。この列は有界なので $|a_\alpha|r^{|\alpha|}\le C$（$C\ge1$）であり、$v(a_\alpha)\ge(\log_pr)|\alpha|-\log_pC\ge-\log_pC$ である。$e:=\lceil\log_pC\rceil$ とおくと $p^eg$ の係数はすべて $W$ に入り、$v(p^ea_\alpha)\ge(\log_pr)|\alpha|-\log_pC+e\ge(\log_pr)|\alpha|$ なので $p^eg\in W\{t\}^\dagger$、すなわち $g\in K\{t\}^\dagger$ である。