Lindelöf空間
概要
Lindelöf空間（Lindelöf space）とは、位相空間論において、コンパクト空間の条件である「有限部分被覆の存在」を「可算部分被覆の存在」へと緩めた概念である。フィンランドの数学者エルンスト・レオナルド・リンデレーフにちなんで名付けられた。ユークリッド空間などの距離空間においては、第二可算公理や可分性と同値になる重要なクラスであるが、一般の位相空間においてはこれらとは異なる振る舞いを見せる。
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定義
位相空間 $X$ がLindelöf空間であるとは、以下の性質を満たすことをいう。
Lindelöf空間
$X$ の任意の開被覆 $\mathcal{U}$ に対して、$\mathcal{U}$ の高々可算な部分集合 $\mathcal{V}$ が存在して、$\mathcal{V}$ もまた $X$ を被覆する（部分被覆となる）。
すなわち、任意の開被覆から可算個の開集合を選び出して、空間全体を覆うことができる。
具体例
- Euclid空間:
通常の位相を入れた実数直線 $\mathbb{R}$ やEuclid空間 $\mathbb{R}^n$ はLindelöf空間である。これらはコンパクト空間ではない（有界でないため有限被覆を持たない開被覆が存在する）が、必ず可算部分被覆を持つ。 - 可算集合:
可算個の点からなる位相空間は、どのような位相を入れてもLindelöf空間である。 - 反例:
非可算集合上の離散位相はLindelöf空間ではない。各点を1つだけ含む開被覆 $\{ \{x\} \}_{x \in X}$ を考えると、ここから可算個を選んで全体を覆うことはできないからである。
第二可算公理との関係
第二可算公理（可算な開基を持つこと）とLindelöf性の間には以下の重要な定理が成り立つ。
第二可算公理を満たす位相空間は、Lindelöf空間である。
$X$ を第二可算空間とし、$\mathcal{B} = \{B_1, B_2, \dots \}$ をその可算な開基とする。
$X$ の任意の開被覆 $\mathcal{U} = \{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ をとる。
- 開基による近似:
$X$ の各点 $x$ について、$\mathcal{U}$ は被覆なので、$x \in U_\lambda$ となる $U_\lambda \in \mathcal{U}$ が存在する。
$\mathcal{B}$ は開基であるため、この $U_\lambda$ の中に含まれ、かつ $x$ を含むような基底の元 $B_{n(x)} \in \mathcal{B}$ が存在する。
すなわち、$x \in B_{n(x)} \subset U_\lambda$ である。 - 基底の選出:
このようにして選ばれうる基底の元の全体を $\mathcal{B}'$ とする。
$$\mathcal{B}' = \{ B \in \mathcal{B} \mid \exists U \in \mathcal{U}, B \subset U \}$$
$\mathcal{B}'$ は可算集合 $\mathcal{B}$ の部分集合であるため、可算集合である。番号を付け直して $\mathcal{B}' = \{B_{k_1}, B_{k_2}, \dots \}$ とおく。 - 可算部分被覆の構成:
各 $B_{k_i} \in \mathcal{B}'$ に対して、定義より $B_{k_i} \subset U_{\lambda_i}$ となるような $U_{\lambda_i} \in \mathcal{U}$ を（選択公理により）一つずつ選ぶことができる。
このとき、選ばれた開集合の族 $\mathcal{V} = \{ U_{\lambda_1}, U_{\lambda_2}, \dots \}$ は $\mathcal{U}$ の可算な部分集合である。 - 被覆であることの確認:
任意の $x \in X$ に対し、ステップ1よりある $B \in \mathcal{B}'$ が存在して $x \in B$ となる。この $B$ に対応して選ばれた $U \in \mathcal{V}$ は $B$ を含むため、$x \in U$ となる。
したがって $\mathcal{V}$ は $X$ を被覆する。
以上より、$X$ はLindelöf空間である。
距離空間における同値性
距離空間においては、以下の3つの条件はすべて同値となる。
諸性質
- 包含関係:
$$\text{コンパクト} \implies \sigma\text{コンパクト} \implies \text{Lindelöf}$$ - 正規性:
正則空間 ($T_3$) かつLindelöf空間ならば、その空間は正規空間 ($T_4$) である。 - パラコンパクト性:
正則なLindelöf空間はパラコンパクト空間（特に強パラコンパクト）である。
操作に対する振る舞い（注意点）
- 部分空間:
Lindelöf空間の任意の部分空間がLindelöfになるとは限らない（遺伝的ではない）。
ただし、Lindelöf空間の閉集合（閉部分空間）はLindelöfである。 - 直積空間:
2つのLindelöf空間の直積空間は、必ずしもLindelöfにはならない。- 有名な反例として、Sorgenfrey直線 $\mathbb{R}_L$（半開区間 $[a, b)$ を基底とする空間）はLindelöfであるが、その直積 $\mathbb{R}_L \times \mathbb{R}_L$（Sorgenfrey平面）はLindelöfではない。
