形式的Laurent級数

同義語：形式的ローラン級数formal Laurent series

概要

前提知識: 形式的冪級数, 体, 離散付値環

形式的冪級数 $\sum_{n\ge0}a_nt^n$ に、有限個の負の冪を許したもの
$$ f=\sum_{n\ge n_0}a_nt^n=a_{n_0}t^{n_0}+a_{n_0+1}t^{n_0+1}+\cdots\qquad(n_0\in\mathbb{Z}) $$
を 形式的Laurent級数（formal Laurent series）という。係数が体 $K$ に属する形式的Laurent級数の全体 $K(\!(t)\!)$ は体であり、形式的冪級数環 $K[\![t]\!]$ の商体になる。$0$ でない係数をもつ最小の指数は離散付値を与え、$K(\!(t)\!)$ はこの付値について完備である。
$K(\!(t)\!)$ は、有理関数を $t=0$ のまわりで展開した結果を収める場所である。有理関数体 $K(t)$ は $K(\!(t)\!)$ の稠密な部分体で、$K(\!(t)\!)$ は $K(t)$ の $t$ 進付値に関する完備化になる。この関係は、有理数体 $\mathbb{Q}$ と $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ の関係と同じ形をしている。とくに有限体 $\mathbb{F}_q$ 上の $\mathbb{F}_q(\!(t)\!)$ は、$\mathbb{Q}_p$ と並ぶ局所体の基本例である。複素解析の Laurent展開は収束する Laurent 級数を扱い、真性特異点のまわりでは負の冪が無限個現れる。極のまわりの展開は負の冪が有限個なので、その係数の計算だけを取り出したものがこの記事の対象にあたる。

定義

以下、$A$ は可換環、$K$ は体とする。

形式的Laurent級数

$A$ の元の列 $(a_n)_{n\in\mathbb{Z}}$ で、ある $n_0\in\mathbb{Z}$ について $n< n_0$ なら $a_n=0$ となるものを、$A$ 係数の 形式的Laurent級数 といい、$f=\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nt^n$ と書く。その全体を $A(\!(t)\!)$ と書き、和と積を
$$ f+g=\sum_n(a_n+b_n)t^n,\qquad fg=\sum_n\Bigl(\sum_{i+j=n}a_ib_j\Bigr)t^n\qquad\Bigl(g=\sum_nb_nt^n\Bigr) $$
で定める。$f\ne0$ について $v(f):=\min\{n\mid a_n\ne0\}$ を $f$ の位数といい、$v(0):=\infty$ とおく。$a_{-1}$ を $f$ の留数といい、$\operatorname{res}(f)$ と書く。

積の係数は有限和である。実際、$n< n_0$ で $a_n=0$、$n< m_0$ で $b_n=0$ なら、$a_ib_{n-i}\ne0$ となりうるのは $n_0\le i\le n-m_0$ の有限個の $i$ だけである。$n< n_0+m_0$ なら積の係数は $0$ なので、$fg$ も形式的Laurent級数である。負の冪が有限個という条件はこのために必要である（下の「条件を外した反例」の表の 1 行目）。

環としての構造

$A(\!(t)\!)$ は可換環であり、形式的冪級数環 $A[\![t]\!]$（$n< 0$ で $a_n=0$ となる元の全体）を部分環として含む。$t$ は $A(\!(t)\!)$ の単元で、逆元は $t^{-1}$ である。
$A(\!(t)\!)$ の各元は、ある $m\ge0$ と $g\in A[\![t]\!]$ によって $t^{-m}g$ と書ける。
$A$ が整域なら、$0$ でない $f,g$ について $v(fg)=v(f)+v(g)$ であり、$A(\!(t)\!)$ は整域である。

要点：係数の計算はすべて有限和なので、形式的冪級数の命題「形式的冪級数環」と同じ計算で環の公理が確かめられる。

詳しい証明を開く

1：和の結合・可換性は係数ごとに明らかである。積の可換性は $\sum_{i+j=n}a_ib_j$ が $i,j$ について対称なことから、結合性は $(fg)h$ と $f(gh)$ の $t^n$ の係数がどちらも有限和 $\sum_{i+j+k=n}a_ib_jc_k$ に等しいことから、分配法則は係数ごとの計算から従う。単位元は $1=t^0$ である。$n< 0$ で係数が $0$ の元どうしの積はまた同じ形なので、$A[\![t]\!]$ は部分環である。$t\cdot t^{-1}=t^0=1$ である。

2：$n< -m$ で $a_n=0$ となる $m\ge0$ をとると、$g:=t^mf$ は $n< 0$ で係数が $0$ なので $A[\![t]\!]$ に属し、$f=t^{-m}g$ である。

3：$n_0=v(f)$、$m_0=v(g)$ とすると、$fg$ の $t^{n}$ の係数は $n< n_0+m_0$ で $0$、$n=n_0+m_0$ で $a_{n_0}b_{m_0}\ne0$ である。$\square$

体になること

形式的Laurent級数体

$K$ を体とする。

$0$ でない $f\in K(\!(t)\!)$ は、$f=t^{v(f)}u$（$u$ は $K[\![t]\!]$ の単元）とただ 1 通りに書ける。
$K(\!(t)\!)$ は体である。
$K(\!(t)\!)$ は $K[\![t]\!]$ の商体である。すなわち、$K[\![t]\!]$ の商体から $K(\!(t)\!)$ への、$K[\![t]\!]$ の上で恒等写像になる体の同型がある。

位数の分だけずらして冪級数の単元にする

1：$f=\sum_na_nt^n$、$v=v(f)$ とし、$u:=t^{-v}f=\sum_{n\ge0}a_{n+v}t^n$ とおく。$u\in K[\![t]\!]$ の定数項 $a_v$ は $0$ でないので、形式的冪級数の命題「定数項による単元判定」により $u$ は $K[\![t]\!]$ の単元である。$f=t^wu'$（$w\in\mathbb{Z}$、$u'$ は単元）とも書けたとすると、$u'$ の定数項は $0$ でないので $w=v(f)=v$ であり、$u'=t^{-v}f=u$ である。
2：$K(\!(t)\!)$ は可換環で $1\ne0$ である。$f\ne0$ なら 1 の表示により $f\cdot t^{-v(f)}u^{-1}=1$ なので、$f$ は可逆である。
3：包含写像 $K[\![t]\!]\to K(\!(t)\!)$ は単射な環準同型で、行き先は 2 により体なので、商体の普遍性（商体）により単射な体の準同型 $\iota\colon\operatorname{Frac}K[\![t]\!]\to K(\!(t)\!)$、$g/h\mapsto gh^{-1}$ が得られる。prop-fls-ring の 2 により $K(\!(t)\!)$ の各元は $g\cdot(t^m)^{-1}=\iota(g/t^m)$ と書けるので、$\iota$ は全射である。$\square$

有理関数の展開

$K[t]\subset K[\![t]\!]\subset K(\!(t)\!)$ で、$K(\!(t)\!)$ は体なので、有理関数体 $K(t)$ も $K(\!(t)\!)$ の部分体とみなせる（有理関数体）。たとえば
$$ \frac1{1-t}=\sum_{n\ge0}t^n,\qquad \frac1{t-t^2}=t^{-1}\cdot\frac1{1-t}=\sum_{n\ge-1}t^n $$
である。後者の位数は $-1$、留数は $1$ である。$t=0$ を極にもつ有理関数は、負の冪をもつ級数に展開される。

離散付値と完備性

$K$ を体とする。

位数 $v\colon K(\!(t)\!)^\times\to\mathbb{Z}$ は離散付値である（離散付値環の定義「体の離散付値」）。その付値環は $K[\![t]\!]$、極大イデアルは $tK[\![t]\!]$、一意化元は $t$、剰余体は $K$ である。
$0< c< 1$ を実数とし、$\lvert f\rvert:=c^{v(f)}$（$\lvert0\rvert:=0$）とおく。$K(\!(t)\!)$ はこの絶対値について完備である。すなわち、すべての Cauchy列が収束する。
$f=\sum_na_nt^n$ と $N\in\mathbb{Z}$ について、切り詰め $f_{< N}:=\sum_{n< N}a_nt^n$ は $t$ と $t^{-1}$ の多項式で、$\lvert f-f_{< N}\rvert\le c^N$ である。とくに $K(t)$ は $K(\!(t)\!)$ の中で稠密である。

係数が下から順に固まっていく

1：$v(fg)=v(f)+v(g)$ は prop-fls-ring の 3 である。$f+g\ne0$ なら、$n< \min\{v(f),v(g)\}$ で $f+g$ の係数は $0$ なので $v(f+g)\ge\min\{v(f),v(g)\}$ である。$v(t^n)=n$ なので $v$ は全射である。$v(f)\ge0$ と $f\in K[\![t]\!]$ は同値なので付値環は $K[\![t]\!]$ であり、$v(f)\ge1$ の元の全体は $tK[\![t]\!]$ である。定数項をとる写像 $K[\![t]\!]\to K$ は全射な環準同型で核は $tK[\![t]\!]$ なので、剰余体は $K$ である。
2：$(f_m)_{m\ge0}$ を Cauchy 列とする。各整数 $N$ について $M_N$ があって、$m,m'\ge M_N$ なら $\lvert f_m-f_{m'}\rvert\le c^N$、すなわち $f_m$ と $f_{m'}$ の $t^n$（$n< N$）の係数が一致する。$N\le0$ では $M_N:=M_0$ としてよく、$M_N$ は $N$ について増加するようにとれる。$g$ の $t^n$ の係数を $f_{M_{n+1}}$ の $t^n$ の係数と定める。$n< 0$ ならこれは $f_{M_0}$ の $t^n$ の係数で、$n$ が十分小さければ $0$ なので、$g\in K(\!(t)\!)$ である。$m\ge M_N$ とし、$n< N$ とすると $M_{n+1}\le M_N\le m$ なので、$f_m$ と $f_{M_{n+1}}$ の $t^n$ の係数は一致し、それは $g$ の $t^n$ の係数である。よって $\lvert f_m-g\rvert\le c^N$ であり、$f_m\to g$ である。
3：$f-f_{< N}$ の $t^n$（$n< N$）の係数は $0$ である。$f_{< N}$ は $t^{-m}h$（$h\in K[t]$）の形なので $K(t)$ に属する。$\square$

$K(t)$ の元 $P/Q$ について $v(P/Q)=v(P)-v(Q)$ は、$t=0$ での零点の位数（負なら極の位数）である。thm-fls-valuation の 2 と 3 から、$K(\!(t)\!)$ は $K(t)$ のこの付値に関する完備化である（Neu99 Chapter II, §4, p. 127）。同様に、$a\in K$ での展開は $K(\!(t-a)\!)$ に、無限遠での展開は $K(\!(t^{-1})\!)$ に収まる。同じ有理関数でも展開する場所によって級数は異なり、たとえば $K(\!(t^{-1})\!)$ の中では
$$ \frac1{1-t}=\frac{-t^{-1}}{1-t^{-1}}=-\sum_{n\ge1}t^{-n} $$
である。

有理関数の判定

$K(t)$ は $K(\!(t)\!)$ の部分体である（ex-fls-expansion）。どの級数が有理関数かは、係数の漸化式で判定できる。

有理関数であるための条件

$K$ を体、$f=\sum_na_nt^n\in K(\!(t)\!)$ とする。$f\in K(t)$ であるための必要十分条件は、ある $s\ge0$、$c_1,\dots,c_s\in K$、$N\in\mathbb{Z}$ があって、$n\ge N$ のすべての $n$ について
$$ a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+\dots+c_sa_{n-s} $$
が成り立つことである。

分母を掛けると有限の級数になる

$Q_0:=1-c_1t-\dots-c_st^s$ とおくと、$Q_0f$ の $t^n$ の係数は $a_n-\sum_{i=1}^sc_ia_{n-i}$ である。
十分性：仮定から $Q_0f$ の $t^n$ の係数は $n\ge N$ で $0$ であり、$n$ が十分小さいときも $0$ である。よって $R:=Q_0f$ は $t$ と $t^{-1}$ の多項式で、$K(t)$ に属する。$Q_0\ne0$ なので $f=R/Q_0\in K(t)$ である。
必要性：$f=P/Q$（$P,Q\in K[t]$、$Q\ne0$）とする。$Q=t^kQ_1$、$Q_1(0)\ne0$ と書き、$P$ と $Q$ を同じ定数 $Q_1(0)$ で割って $Q_1(0)=1$ としておく。$Q_1=1-c_1t-\dots-c_st^s$ と書いて上の $Q_0$ を $Q_1$ とすると、$Q_0f=t^{-k}P$ は $t$ と $t^{-1}$ の多項式である。その現れる指数より大きい整数を $N$ とすれば、$n\ge N$ で $Q_0f$ の $t^n$ の係数は $0$、すなわち漸化式が成り立つ。$\square$

有理関数でない級数

どの体 $K$ についても、$f=\sum_{k\ge0}t^{k^2}$（$a_n$ は $n$ が平方数なら $1$、そうでなければ $0$）は $K(t)$ に属さない。

確かめを開く

$s$、$c_i$、$N$ で漸化式が成り立つとする。$2k\ge s$ かつ $k^2\ge N$ となる $k$ をとる。$n=(k+1)^2$ に漸化式を当てると、右辺に現れる番号 $(k+1)^2-i$（$1\le i\le s$）は $k^2+1$ 以上 $(k+1)^2-1$ 以下にあり（$(k+1)^2-s\ge k^2+1$）、この範囲に平方数はないので右辺は $0$ である。左辺は $a_{(k+1)^2}=1$ なので矛盾する。

したがって $K(t)\subsetneq K(\!(t)\!)$ であり、thm-fls-valuation の 2 の完備性は $K(t)$ では成り立たない（部分和の列は $K(t)$ の中の Cauchy 列だが、極限 $f$ は $K(t)$ にない）。

係数が最終的に周期的な級数は、$c_s=1$、ほかの $c_i=0$ の漸化式をみたすので有理関数である。$K=\mathbb{F}_q$ では係数のとりうる値が有限個なので、逆に漸化式をみたす係数列は最終的に周期的になる（連続する $s$ 項の値の組が有限通りしかないため）。

微分と留数

$K$ を体とし、$f=\sum_na_nt^n$ の微分を $f':=\sum_nna_nt^{n-1}$ と定める。

$f\mapsto f'$ は $K$ 線形で、$(fg)'=f'g+fg'$ をみたす。
$\operatorname{res}(f')=0$ である。
$f\ne0$ なら $\operatorname{res}(f'/f)=v(f)\cdot1_K$ である。

1：$(fg)'$ の $t^{n-1}$ の係数は $n\sum_{i+j=n}a_ib_j=\sum_{i+j=n}(ia_i)b_j+\sum_{i+j=n}a_i(jb_j)$ で、これは $f'g+fg'$ の $t^{n-1}$ の係数である。2：$f'$ の $t^{-1}$ の係数は $0\cdot a_0=0$ である。3：thm-fls-field の 1 により $f=t^vu$（$v=v(f)$、$u\in K[\![t]\!]^\times$）と書くと、1 により $f'=vt^{v-1}u+t^vu'$ なので
$$ \frac{f'}{f}=\frac{v}{t}+\frac{u'}{u} $$
である。$u'/u\in K[\![t]\!]$ は負の冪をもたないので、留数は $v\cdot1_K$ である。$\square$

3 は、複素関数 $f$ の対数微分 $f'/f$ の留数が零点・極の位数を数えるという事実（留数、偏角の原理）の形式的な類似である。標数 $p$ では位数は $p$ を法としてしか読み取れない。たとえば $\mathbb{F}_p(\!(t)\!)$ で $f=t^p$ なら $f'=0$ である。

例

有限体上の局所体

$K=\mathbb{F}_q$ のとき、$\mathbb{F}_q(\!(t)\!)$ は付値環 $\mathbb{F}_q[\![t]\!]$、剰余体 $\mathbb{F}_q$ の完備離散付値体で、正標数の局所体の基本例である（局所体の例「有限体上の形式的Laurent級数体」）。$\mathbb{F}_p(\!(t)\!)$ は完全体でない体の例でもある。$t$ は $p$ 乗元でない（完全体の例「反例：形式的 Laurent 級数体」）。

平方根をもたない元

どの体 $K$ でも、$t$ は $K(\!(t)\!)$ に平方根をもたない。$g^2=t$ なら $2v(g)=v(t)=1$ となって矛盾するからである。したがって $K(\!(t)\!)$ は代数閉体でない。変数 $s$ の形式的Laurent級数体 $K(\!(s)\!)$ に $t=s^2$ として $K(\!(t)\!)$ を含めると、$K(\!(s)\!)$ の元は偶数冪と奇数冪の部分に分けて $g_0+s\,g_1$（$g_0,g_1\in K(\!(t)\!)$）と書けるので、$K(\!(s)\!)$ は $K(\!(t)\!)$ に $t$ の平方根 $s$ を付け加えた 2 次拡大である。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
負の冪は有限個（def-fls）	両側に無限に続く $h=\sum_{n\in\mathbb{Z}}t^n$	$h\cdot h$ の $t^0$ の係数が無限和 $1+1+\cdots$ になり、積が定義できない
係数環が体（thm-fls-field の 2）	$\mathbb{Z}(\!(t)\!)$ の $2$	$2$ は逆元をもたず、$\mathbb{Z}(\!(t)\!)$ は体でない
係数環が整域（prop-fls-ring の 3）	$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})(\!(t)\!)$ の $2t$ と $3t$	積が $0$ になり、$v(fg)=v(f)+v(g)$ が成り立たない
変数が 1 つ（thm-fls-field の 1, 3）	$K[\![x,y]\!]$ の商体の元 $1/(x-y)$	$x^{-a}y^{-b}g$（$a,b\ge0$、$g\in K[\![x,y]\!]$）の形に書けない

表の各行の確かめ

各行の対象は、左の列の条件以外の仮定をみたしている。

確かめを開く

1 行目：$\sum_{i+j=0}1\cdot1$ は $i\in\mathbb{Z}$ 全体にわたる和で、有限和にならない。係数は体 $\mathbb{Q}$ などにとれる。

2 行目：$2g$ の係数はすべて偶数なので $2g=1$ とならない。$\mathbb{Z}$ は整域なので prop-fls-ring の 3 は成り立つ。

3 行目：$2t\cdot3t=6t^2=0$ である。

4 行目：$1/(x-y)=x^{-a}y^{-b}g$ なら $K[\![x,y]\!]$ で $x^ay^b=(x-y)g$ である。$y$ に $x$ を代入する写像 $K[\![x,y]\!]\to K[\![x]\!]$（$x^n$ の係数は $\sum_{i+j=n}g_{ij}$ の有限和）は環準同型なので、$x^{a+b}=0$ となり矛盾する。1 変数では thm-fls-field の 1 によりどの元も $t^{v}u$ と書けるが、2 変数の冪級数環の商体ではこの形に収まらない元がある。