類体論の第二不等式

前提知識: 類体論の第一不等式, イデールとイデール類群, Dedekindゼータ関数, Frobenius元

代数体の次数 $n$ の Galois 拡大 $L/K$ について、イデール類群のノルムの像の指数は $n$ 以下である：$(C_K:N_{L/K}C_L)\le n$。これを 類体論の第二不等式（second inequality of class field theory）という。イデアルの言葉では、任意の法 $\mathfrak{m}$ について、$\mathfrak{m}$ と素なイデアルの群を「法 $\mathfrak{m}$ で $1$ に合同な元の単項イデアル」と「$L$ のイデアルのノルム」で割った群の位数が $n$ 以下である、という形になる。
巡回拡大では 類体論の第一不等式 と合わせて指数がちょうど $n$ になり、$\hat H^1(G,C_L)=1$ が従う。その帰結として、巡回拡大では「局所的にいたるところノルムである元は大域的にノルムである」という Hasse のノルム定理 が得られる。この記事では、第二不等式を $L$ 関数の $s=1$ での振る舞いから導く解析的な証明を与える。鍵は、$L$ で完全分解する素イデアルが「$1/n$ の割合」あり、それらがすべてノルムの像に入ることである。

定義と主張

設定

以下 $K$ を 代数体、$L/K$ を次数 $n$ の Galois 拡大、$G:=\operatorname{Gal}(L/K)$ とする。イデール群 $J_K$、イデール類群 $C_K$、イデールのノルム $N_{L/K}\colon C_L\to C_K$ は 類体論の第一不等式 の記事の節「設定」のとおりとする。
$K$ の 法 $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_0\mathfrak{m}_\infty$（$\mathfrak{m}_0$ は整イデアル、$\mathfrak{m}_\infty$ は実素点の集合）、$\mathfrak{m}$ と素な分数イデアルの群 $I_K^{\mathfrak{m}}$、$\alpha\equiv1\pmod{\mathfrak{m}_0}$（乗法的合同）かつ $\mathfrak{m}_\infty$ の各実素点で正となる $\alpha\in K^\times$ の単項イデアルの群 $P_{K,\mathfrak{m}}$ は、大域類体論 の記事の節「Artin 相互法則」のとおりとする。$L$ のイデアルの群 $I_L^{\mathfrak{m}}$ は、$\mathfrak{m}_0$ の素因子の上にない素イデアルで生成される群とする。$L$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ が $K$ の $\mathfrak{p}$ の上にあり剰余次数が $f$ のとき、イデアルのノルムを $N_{L/K}(\mathfrak{P}):=\mathfrak{p}^{f}$ とし、乗法的に延ばす。
$$ H_{L,\mathfrak{m}}:=P_{K,\mathfrak{m}}\,N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})\subset I_K^{\mathfrak{m}} $$
とおく。$K$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ のノルムを $N\mathfrak{p}:=\lvert\mathcal{O}_K/\mathfrak{p}\rvert$ と書く。

この記事で使う事実

主定理

直感

$h:=(I_K^{\mathfrak{m}}:H_{L,\mathfrak{m}})$ とする。素イデアルが $h$ 個の類に「均等に」分布するなら、類 $H_{L,\mathfrak{m}}$ そのものに入る素イデアルの割合は $1/h$ のはずである。一方、$L$ で完全分解する素イデアル $\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{p}=N_{L/K}(\mathfrak{P})$ と書けるので $H_{L,\mathfrak{m}}$ に入り、その割合は $1/n$ である。よって $1/h\ge1/n$、すなわち $h\le n$ となる。
均等な分布そのものを示すには $L(1,\chi)\ne0$ が必要になるが（Chebotarevの密度定理 の記事の定理「一般化された Dirichlet の密度定理」）、上の不等式の向きに必要なのは「$H_{L,\mathfrak{m}}$ に入る素イデアルは $1/h$ 以下の割合しかない」という片側の評価だけであり、これは $L(s,\chi)$ が $s=1$ で有界であること（極をもたないこと）だけから出る。

イデアルの形の証明

$L$ 関数の対数

$\mathfrak{m}$ を固定し、$H:=H_{L,\mathfrak{m}}$、$h:=(I_K^{\mathfrak{m}}:H)$ とおく。(A1) により $H\supset P_{K,\mathfrak{m}}$ は指数有限なので $h$ は有限である。有限アーベル群 $I_K^{\mathfrak{m}}/H$ の指標（$\mathbb{C}^\times$ への準同型）はちょうど $h$ 個あり、直交関係
$$ \sum_{\chi}\chi(\mathfrak{a})=\begin{cases}h&(\mathfrak{a}\in H)\\0&(\mathfrak{a}\notin H)\end{cases}\qquad(\mathfrak{a}\in I_K^{\mathfrak{m}}) $$
が成り立つ（和は $I_K^{\mathfrak{m}}/H$ のすべての指標をわたる。$\mathfrak{a}\notin H$ なら、有限アーベル群の指標は元を分離するので $\chi_0(\mathfrak{a})\ne1$ となる指標 $\chi_0$ があり、$\chi\mapsto\chi_0\chi$ が指標の並べ替えであることから $\sum_\chi\chi(\mathfrak{a})=\chi_0(\mathfrak{a})\sum_\chi\chi(\mathfrak{a})$、よって和は $0$ である）。各指標は $I_K^{\mathfrak{m}}/P_{K,\mathfrak{m}}$ の指標でもある。

$L(1,\chi)=0$ となる可能性はこの補題では排除していない。そのとき $\operatorname{Re}\ell(s,\chi)\to-\infty$ となるが、以下の議論で必要なのは上からの評価だけである。

主定理（イデアルの形）の証明

実数 $s>1$ について、すべての指標にわたって lem-si-log の 2 の式を足す。直交関係により
$$ \sum_\chi\ell(s,\chi)=h\sum_{\mathfrak{p}\in H}N\mathfrak{p}^{-s}+\sum_\chi g_\chi(s) $$
である（右辺の第 1 項の和は $\mathfrak{m}_0$ を割らず $H$ に属する素イデアルをわたる）。右辺第 2 項は有界である。
左辺の上からの評価。$\chi=1$ の項は $\sum_{\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0}N\mathfrak{p}^{-s}+g_1(s)$ で、(A3) の前半から有限個の $\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}_0$ を除いても $\log\frac1{s-1}+O(1)$ である。$\chi\ne1$ の項の実部は lem-si-log の 3 により上に有界である。左辺の実部をとると
$$ h\sum_{\mathfrak{p}\in H}N\mathfrak{p}^{-s}\le\log\frac1{s-1}+C_1\qquad(1< s<2) $$
となる定数 $C_1$ がある（右辺第 1 項は実数なので、実部をとっても変わらない）。
完全分解する素イデアルは $H$ に入る。$\mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0$ が $L$ で完全分解するなら、$\mathfrak{p}$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ の剰余次数は $1$ なので $\mathfrak{p}=N_{L/K}(\mathfrak{P})\in N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})\subset H$ である。よって (A3) の後半から、有限個の $\mathfrak{p}\mid\mathfrak{m}_0$ を除いて
$$ \sum_{\mathfrak{p}\in H}N\mathfrak{p}^{-s}\ge\sum_{\mathfrak{p}\in\operatorname{Spl}(L/K),\ \mathfrak{p}\nmid\mathfrak{m}_0}N\mathfrak{p}^{-s}\ge\frac1n\log\frac1{s-1}-C_2 $$
である。
結論。2 つを合わせると $\frac hn\log\frac1{s-1}\le\log\frac1{s-1}+C_1+hC_2$ である。$\log\frac1{s-1}$ で割って $s\to1+0$ とすると $\frac hn\le1$、すなわち $h\le n$ を得る。$\square$
証明が使った解析的な入力は、$\zeta_K$ と $\zeta_L$ が $s=1$ に 1 位の極をもつこと（(A3) の中身）と、自明でない指標の $L(s,\chi)$ が $s=1$ に極をもたないこと（(A2)）の 2 つだけである。

イデールの形への移行

条件を満たす $m_{\mathfrak{p}}$ は存在する：$K_{\mathfrak{p}}$ は標数 $0$ の局所体なので、局所類体論の存在定理 の記事の補題「1に近い単数の冪」により、$d:=v_{\mathfrak{p}}(n)$ として $U_{\mathfrak{p}}^{(2d+1)}\subset(K_{\mathfrak{p}}^\times)^n$ である。

thm-si-main の証明。prop-si-surjection の法 $\mathfrak{m}$ をとると、$C_K/N_{L/K}C_L$ は $I_K^{\mathfrak{m}}/H_{L,\mathfrak{m}}$ の商なので、thm-si-ideal により
$$ (C_K:N_{L/K}C_L)\le(I_K^{\mathfrak{m}}:H_{L,\mathfrak{m}})\le n $$
である。とくに指数は有限である。$\square$

巡回拡大での帰結

例

反例

補足

関連項目

• 前提: 類体論の第一不等式, イデールとイデール類群, Dedekindゼータ関数
• 比較: 局所体のノルム群, Hilbertの定理90
• 直後に読む: Chebotarevの密度定理, 大域類体論
• 発展: Hasse原理, 局所類体論