Newlander–Nirenbergの定理
概要
Newlander–Nirenbergの定理（Newlander–Nirenberg theorem）とは、$C^\infty$ 級の概複素多様体 $(M,J)$ の Nijenhuis テンソルが $0$ ならば、$M$ の $C^\infty$ 構造と両立する複素構造で、付随する概複素構造が $J$ になるものがただ一つ存在する、という定理である。$J$ に関して正則で微分が独立な関数を各点の近くで $n$ 個作れば、それが正則な局所座標になる。点の近くを拡大すると $J$ は標準の構造に近づき、座標関数のずれ $\bar\partial z_k$ を、可積分性から従う $\bar\partial^2=0$ と Hörmander の $L^2$ 評価による小さな解で打ち消す。実 2 次元では、滑らかな計量の等温座標の存在を与える。
前提知識: 概複素構造, Nijenhuisテンソル, 複素多様体, 逆関数定理, ∂̄方程式のL²評価
Newlander–Nirenberg の定理（Newlander–Nirenberg theorem）は、$C^\infty$ 級の概複素多様体 $(M,J)$ の Nijenhuis テンソル $N_J$ が $0$ ならば、$M$ の複素多様体の構造で、付随する概複素構造が $J$ になるものがただ一つ存在する、という定理である。各接空間に与えた「$i$ 倍」$J$ が正則な局所座標から来るための条件は、各点で計算できるテンソルの消滅 $N_J=0$ で尽きる、ということである。定理は Newlander と Nirenberg による。この記事の証明は、$\bar\partial$ 方程式の $L^2$ 評価を使う Kohn の方法を Hörmander がまとめたものに従う（Hor90 §5.7 と第 5 章末の注、pp. 149–154）。
関連する記事との関係を述べておく。概複素構造 は $J$ の定義と各点の線形代数（型の分解・向き）を扱う。Nijenhuisテンソル は $N_J$ を定義し、$N_J=0$ が「$T^{1,0}$ の切断の Lie 括弧がふたたび $T^{1,0}$ の切断になる」「$d=\partial+\bar\partial$」などと同値であること、複素多様体の概複素構造が $N_J=0$ を満たすこと（必要性）を証明し、逆向きは主張だけを述べている。この記事はその逆向き、すなわち可積分な $J$ から正則な局所座標を作る部分を主題とする。
証明は 3 つの段からなる。(i) $J$ に関して正則な関数が $n$ 個あって微分が 1 次独立なら、それが正則な局所座標になり、そうした座標の全体は複素構造をただ一つ定める（prop-nn-chart、thm-nn-atlas）。(ii) 点の近くを拡大すると $J$ は標準の構造 $J_0$ に近づき、座標関数 $z_k$ は「ほとんど正則」になる（lem-nn-rescale）。(iii) ずれ $\bar\partial z_k$ を微分の小さな解 $v_k$ で打ち消し、$z_k-v_k$ を正則にする。(iii) の解析の核心である一様な可解性と評価（thm-nn-uniform）は、この記事では証明せず所在を示して引用する。(i)・(ii) と、(iii) の引用からの組み立ては完全に証明する。
設定と主張
記号は 概複素構造 に合わせる。$M$ を $2n$ 次元の $C^\infty$ 級多様体、$J$ をその概複素構造とする。複素化した接束は $T_{\mathbb C}M=T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M$ と分かれ、複素数値の 1 次形式は $(1,0)$ 形式と $(0,1)$ 形式の和に一意に分かれる。$(1,0)$ 形式とは各点で $\alpha\circ J=i\alpha$ を満たすもの、$(0,1)$ 形式とは $\beta\circ J=-i\beta$ を満たすもので、1 次形式 $\alpha$ の $(0,1)$ 成分は $\frac12(\alpha+i\,\alpha\circ J)$ である。各点の $(1,0)$ 余ベクトルの空間 $T^{*1,0}_pM$ は $n$ 次元である。
滑らかな関数 $f$ について $df$ の $(0,1)$ 成分を $\bar\partial f$（$J$ を明示するときは $\bar\partial_Jf$）と書き、$\bar\partial f=0$、すなわち $df\circ J=i\,df$ のとき、$f$ は $J$ に関して正則であるという。$(0,1)$ 形式 $\beta$ については、$d\beta$ の $(0,2)$ 成分を $\bar\partial\beta$ と書く。$\mathbb C^n=\mathbb R^{2n}$ の座標を $z_j=x_j+iy_j$ とし、$i$ 倍の写像を $J_0$ と書く（$J_0\partial_{x_j}=\partial_{y_j}$、$J_0\partial_{y_j}=-\partial_{x_j}$）。$J_0$ に関して正則な $C^\infty$ 級関数は通常の正則関数である（多変数の正則関数 の定理「正則性の言い換え」）。
$J$ が可積分であるとは $N_J=0$ のことである（Nijenhuisテンソル の定義「Nijenhuis テンソルと可積分性」）。$M$ の上の複素構造（複素多様体 の定義「複素多様体と複素構造」の極大な正則座標近傍系）は、その正則座標近傍 $\varphi\colon U\to\mathbb C^n$ がすべて $C^\infty$ 級の微分同相（$\mathbb C^n$ の開集合の上への）であるとき、$M$ の $C^\infty$ 構造と両立するという。両立する複素構造には付随する概複素構造が定まり（概複素構造 の例「複素多様体の概複素構造」）、それは各正則座標近傍 $\varphi$ について $d\varphi\circ J=J_0\circ d\varphi$ となる $J$ である。
$(M,J)$ を $2n$ 次元の $C^\infty$ 級の概複素多様体とし、$N_J=0$ とする。このとき、$M$ の $C^\infty$ 構造と両立する複素構造で、付随する概複素構造が $J$ になるものがただ一つ存在する。その正則座標近傍は、開集合 $V\subset M$ 上の $C^\infty$ 級写像 $u=(u_1,\dots,u_n)\colon V\to\mathbb C^n$ で、各 $u_k$ が $J$ に関して正則であり、$u$ が $\mathbb C^n$ の開集合の上への微分同相であるものの全体である。
逆に、両立する複素構造に付随する概複素構造は $N_J=0$ を満たす（Nijenhuisテンソル の系「複素多様体の概複素構造は可積分」）。したがって、$M$ の $C^\infty$ 構造と両立する複素構造と、$M$ 上の可積分な概複素構造とは一対一に対応する。実 2 次元の概複素構造はつねに可積分なので（同記事の命題「実 2 次元では可積分」）、定理は実 2 次元でも内容をもち、滑らかな計量をもつ曲面の等温座標の存在を与える（ex-nn-isothermal）。
正則座標の判定と一意性
$(M,J)$ を概複素多様体、$p\in M$、$U$ を $p$ の開近傍とし、$u_1,\dots,u_n\colon U\to\mathbb C$ を $J$ に関して正則な $C^\infty$ 級関数で、$p$ での微分 $du_1,\dots,du_n$ が $\mathbb C$ 上 1 次独立なものとする。このとき $p$ の開近傍 $V\subset U$ があって、$u=(u_1,\dots,u_n)$ は $V$ から $\mathbb C^n$ の開集合 $W$ の上への $C^\infty$ 級微分同相であり、$V$ の各点で $du\circ J=J_0\circ du$ が成り立つ。
要点：$du_k$ とその共役 $\overline{du_k}$ の $2n$ 個は、$p$ で複素化した余接空間の基底になるので、実の微分 $du_p\colon T_pM\to\mathbb C^n$ は全単射であり、逆関数定理 の定理「逆関数定理」（$C^\infty$ 級の場合）が使える。
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$u_k$ は正則なので $du_k$ は $(1,0)$ 形式である。$p$ での $du_1,\dots,du_n$ は 1 次独立で、$T^{*1,0}_pM$ は $n$ 次元だから、これらは $T^{*1,0}_pM$ の基底である。共役 $\overline{du_1},\dots,\overline{du_n}$ は $T^{*0,1}_pM=\overline{T^{*1,0}_pM}$ の基底なので、$2n$ 個の $du_k,\overline{du_k}$ は $\operatorname{Hom}_{\mathbb R}(T_pM,\mathbb C)$（複素 $2n$ 次元）の基底である。$v\in T_pM$ が $du_p(v)=0$ を満たすとすると、各 $k$ で $du_k(v)=0$ であり、$v$ は実ベクトルなので $\overline{du_k}(v)=\overline{du_k(v)}=0$ でもある。基底がすべて $v$ で消えるので、すべての実余ベクトル $a$ について $a(v)=0$ であり、$v=0$ である。$\dim_{\mathbb R}T_pM=2n$ なので $du_p$ は全単射であり、$p$ のまわりの座標で逆関数定理を使うと、$p$ の開近傍 $V$ で $u|_V$ が開集合 $W$ の上への $C^\infty$ 級微分同相となるものがある。正則性 $du_k\circ J=i\,du_k$ を $k=1,\dots,n$ について並べたものが $du\circ J=J_0\circ du$ である。$\square$
開集合 $V\subset M$ 上の $C^\infty$ 級写像 $u\colon V\to\mathbb C^n$ で、各成分が $J$ に関して正則であり、$u$ が $\mathbb C^n$ の開集合の上への微分同相であるものを $J$ 正則座標とよぶ。prop-nn-chart は、$J$ 正則座標を作るには、正則で微分が 1 点で独立な関数を $n$ 個作れば足りることを示している。
$(M,J)$ を概複素多様体とする。
- 2 つの $J$ 正則座標 $u\colon V\to W$、$u'\colon V'\to W'$ の座標変換 $u'\circ u^{-1}\colon u(V\cap V')\to u'(V\cap V')$ は正則写像である。
- $M$ の各点がある $J$ 正則座標の定義域に含まれるとする。このとき $J$ 正則座標の全体は正則座標近傍系であって極大であり、それが定める複素構造は $M$ の $C^\infty$ 構造と両立し、付随する概複素構造は $J$ である。
- 2 の状況で、$M$ の $C^\infty$ 構造と両立し、付随する概複素構造が $J$ である複素構造は、2 の複素構造に限る。
要点：$J$ 正則座標の座標変換 $\phi$ は、$du\circ J=J_0\circ du$ と $du'\circ J=J_0\circ du'$ から $d\phi\circ J_0=J_0\circ d\phi$ を満たす、すなわち実の微分が複素線形なので正則である。2・3 は、正則に貼り合う座標がふたたび $J$ 正則座標になることから従う。
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1：$\phi:=u'\circ u^{-1}$ は $C^\infty$ 級である。$x\in V\cap V'$、$y:=u(x)$、$\xi\in\mathbb C^n$ とし、$w:=(du_x)^{-1}\xi$ とおく。$du\circ J=J_0\circ du$ から $(du_x)^{-1}(i\xi)=Jw$ なので、$d\phi_y(i\xi)=du'_x(Jw)=i\,du'_x(w)=i\,d\phi_y(\xi)$ であり、$d\phi_y$ は複素線形である。Cauchy–Riemannの方程式 の定理「全微分の複素線形性」により、$\phi$ の各成分は各点で $\partial\phi_k/\partial\bar z_j=0$ を満たし、多変数の正則関数 の定理「正則性の言い換え」の 3 ⇒ 1 により $\phi$ は正則写像である。
2：仮定と 1 により、$J$ 正則座標の全体は $M$ を覆い、どの 2 つの座標変換も正則である。同相写像 $\psi\colon V\to\mathbb C^n$ がこの族のすべての元と正則に貼り合うとする。$J$ 正則座標 $u$ との座標変換 $h:=\psi\circ u^{-1}$ とその逆は正則なので、$\psi=h\circ u$ は（定義域の重なりごとに）$C^\infty$ 級微分同相である。さらに $dh$ は複素線形なので $d\psi\circ J=dh\circ J_0\circ du=J_0\circ d\psi$ であり、$\psi$ 自身が $J$ 正則座標である。よって族は極大で、その正則座標近傍はすべて $C^\infty$ 級微分同相、すなわち $C^\infty$ 構造と両立する。各座標で $du\circ J=J_0\circ du$ なので、付随する概複素構造は $J$ である。
3：$\mathcal A$ を条件を満たす複素構造とし、$\psi$ をその正則座標近傍とする。付随する概複素構造が $J$ なので $d\psi\circ J=J_0\circ d\psi$ であり、$\psi$ は $C^\infty$ 級微分同相なので $J$ 正則座標である。これは 2 の極大な近傍系に属するので、$\mathcal A$ は 2 の近傍系に含まれ、どちらも極大だから一致する。$\square$
拡大縮小による局所化
点 $p\in M$ の近くを調べるには、$p$ のまわりの座標で $p$ を原点に移し、さらに線形変換を合成して、原点で $J$ が $J_0$ に一致するようにしてよい（$(T_pM,J_p)$ の複素基底 $e_1,\dots,e_n$ をとり、実の基底 $e_1,J_pe_1,\dots,e_n,J_pe_n$ を $\partial_{x_1},\partial_{y_1},\dots,\partial_{x_n},\partial_{y_n}$ に送る）。微分同相 $\kappa$ で $J$ を移したもの $\kappa_*J:=d\kappa\circ J\circ d\kappa^{-1}$ について、$f$ が $J$ に関して正則であることと $f\circ\kappa^{-1}$ が $\kappa_*J$ に関して正則であることは同じである。また Lie 括弧は $\kappa_*[X,Y]=[\kappa_*X,\kappa_*Y]$ と移るので、$N_{\kappa_*J}(\kappa_*X,\kappa_*Y)=\kappa_*\bigl(N_J(X,Y)\bigr)$ であり、可積分性も保たれる。
以下、$U\subset\mathbb C^n$ を原点を中心とする開球、$J$ を $U$ 上の概複素構造で $J(0)=J_0$ となるものとする。$J$ を各点の $2n$ 次の実行列とみなし、$0< \varepsilon\le1$ について $\tau_\varepsilon(x):=\varepsilon x$ とおく。$\tau_\varepsilon$ は $U$ を $U$ の中の小さな球 $\tau_\varepsilon(U)$ の上に写す微分同相である。
上の状況で、$\varepsilon\in[0,1]$ について $U$ 上の行列値関数 $J_\varepsilon(x):=J(\varepsilon x)$ を考える。
- 各 $J_\varepsilon$ は $U$ 上の概複素構造で、成分は $(\varepsilon,x)\in[0,1]\times U$ の $C^\infty$ 級関数であり、$J_\varepsilon|_{\varepsilon=0}$ は定数の $J_0$ である。$0< \varepsilon\le1$ なら $J_\varepsilon=(\tau_\varepsilon^{-1})_*J$ である。
- $N_J=0$ なら、すべての $\varepsilon\in[0,1]$ について $N_{J_\varepsilon}=0$ である。
- $0< \varepsilon\le1$ とし、$W$ を開集合 $V\subset U$ の上で $J_\varepsilon$ に関して正則な関数とすると、$W\circ\tau_\varepsilon^{-1}$ は $\tau_\varepsilon(V)$ の上で $J$ に関して正則である。
- $\overline B\subset U$ を原点を中心とする閉球とし、$k=1,\dots,n$ について $\bar\partial_{J_\varepsilon}z_k$ の $dx_j,dy_j$ についての係数を $g$ とする。各多重指数 $\alpha$ について、$\varepsilon$ と $g$ によらない定数 $C_\alpha$ があって、すべての $\varepsilon\in[0,1]$ で $\sup_{\overline B}|D^\alpha g|\le C_\alpha\varepsilon$ である。
要点：$J_\varepsilon$ は $J$ を $\tau_\varepsilon^{-1}$ で移したものなので、可積分性と正則性は移動で保たれる。4 は
$$
\bar\partial_{J_\varepsilon}z_k=\frac12\bigl(dz_k+i\,dz_k\circ J(\varepsilon x)\bigr)=\frac i2\,dz_k\circ\bigl(J(\varepsilon x)-J(0)\bigr)
$$
（$dz_k\circ J_0=i\,dz_k$ による）から従う。
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1：$d\tau_\varepsilon$ は $\varepsilon$ 倍の写像なので、点 $x$ で $(\tau_\varepsilon^{-1})_*J=d\tau_\varepsilon^{-1}\circ J(\varepsilon x)\circ d\tau_\varepsilon=J(\varepsilon x)$ である。$J(\varepsilon x)^2=-I$ で、成分は $C^\infty$ 級関数 $J$ と $(\varepsilon,x)\mapsto\varepsilon x$ の合成である。$\varepsilon=0$ では $J(0)=J_0$ である。
2：$0< \varepsilon\le1$ なら、1 と上で見た $N$ の移り方により $N_{J_\varepsilon}=0$ である。$\varepsilon=0$ では、$J_0$ は座標ベクトル場を $\pm$ 座標ベクトル場に写し、座標ベクトル場どうしの Lie 括弧は $0$ なので、$N_{J_0}$ は座標ベクトル場の組でつねに $0$ であり、テンソルだから（Nijenhuisテンソル の命題「代数的な性質」）$N_{J_0}=0$ である。
3：1 より $d\tau_\varepsilon^{-1}\circ J=J_\varepsilon\circ d\tau_\varepsilon^{-1}$ なので、$d(W\circ\tau_\varepsilon^{-1})\circ J=dW\circ J_\varepsilon\circ d\tau_\varepsilon^{-1}=i\,dW\circ d\tau_\varepsilon^{-1}=i\,d(W\circ\tau_\varepsilon^{-1})$ である。
4：上の式により、$g$ は $J(\varepsilon x)-J(0)$ の成分の定数係数の 1 次結合である。$\alpha=0$ なら平均値の不等式により $|J(\varepsilon x)-J(0)|\le\varepsilon|x|\sup_{\overline B}|DJ|$ である（$x\in\overline B$ なら線分 $[0,\varepsilon x]$ は $\overline B$ に含まれる）。$|\alpha|\ge1$ なら $D^\alpha_x\bigl(J(\varepsilon x)\bigr)=\varepsilon^{|\alpha|}(D^\alpha J)(\varepsilon x)$ で、$\varepsilon^{|\alpha|}\le\varepsilon$ である。$\overline B$ はコンパクトなので、$J$ の導関数の $\overline B$ の上の上界から $C_\alpha$ がとれる。$\square$
拡大は、$J$ と標準の構造 $J_0$ の差を、$\varepsilon$ の大きさまで、すべての階数の微分について一様に小さくする。そのぶん座標関数 $z_k$ は $J_\varepsilon$ について「ほとんど正則」になる。残る仕事は、ずれ $\bar\partial_{J_\varepsilon}z_k$ を、原点での値と 1 階微分が小さい関数 $v_k$ で打ち消すことである。
一様な可解性と評価
$U\subset\mathbb C^n$ を原点を中心とする開球とし、$J$ を $U$ 上の可積分な概複素構造で $J(0)=J_0$ となるものとし、$0\le\varepsilon\le1$ について $J_\varepsilon(x):=J(\varepsilon x)$ とおく（lem-nn-rescale の族）。このとき $\delta>0$（$\overline{B_\delta}\subset U$）と $C>0$ があって、次が成り立つ。$0< \varepsilon< 1$ とし、$f$ を $U$ 上の滑らかな $(0,1)$ 形式（$J_\varepsilon$ について）で $\bar\partial_{J_\varepsilon}f=0$ を満たすものとする。このとき $B_\delta$ 上の $C^\infty$ 級関数 $v$ で、$\bar\partial_{J_\varepsilon}v=f$ かつ
$$
|v(0)|+\sum_{j=1}^n\bigl(|\partial_{x_j}v(0)|+|\partial_{y_j}v(0)|\bigr)\le C\max_{|\alpha|\le 2n}\ \sup_{B_\delta}\,\lvert D^\alpha f\rvert
$$
を満たすものが存在する。ここで $\lvert D^\alpha f\rvert$ は、$f$ の $dx_j,dy_j$ についての係数に $D^\alpha$ を当てたものの絶対値の最大である。
この記事ではこの定理を証明しない。Hor90 は Theorem 5.7.4 の証明（pp. 152–153）で、(a) 重み付き $L^2$ 存在定理が可積分な概複素構造でも成り立つこと、(b) 原点の近くの小さな球での重みの選び方、(c) 解の内部の評価、の 3 つを組み合わせてこの形の結論を得ている。
3 つの段を開く
(a) 強多重劣調和な exhaustion 関数をもつ複素多様体の上の重み付き $L^2$ 存在定理（Theorem 5.2.4、pp. 125–126）の証明は、可積分な概複素構造でもそのまま成り立つ（p. 152）。正則座標を使うのは評価 (5.2.7) を示すところだけで、それは $\partial\bar\partial+\bar\partial\partial=0$ から従うからである。この等式は $N_J=0$ のもとで成り立つ（Nijenhuisテンソル の定理「可積分性の条件の同値」）。
(b) $\psi(x)=|x|^2$ の $J_\varepsilon$ についての Levi 形式は原点の近くで一様に正定値なので、小さな球 $B_\delta$ の上で $1/(\delta^2-\psi)$ の凸増加関数を重み $\varphi$ にとると、$\bar\partial f=0$ で $\|f\|_\varphi< \infty$ の $(0,1)$ 形式 $f$ に対し、$\bar\partial u=f$、$\|u\|_\varphi\le\|f\|_\varphi$ となる解 $u$ がある（(5.7.5)、p. 153）。
(c) 解の内部の評価 (5.7.4)（Lemma 5.7.2 から、p. 151）は、原点での $u$ の 1 階までの微分を、$\bar\partial u$ の $2n$ 階までの微分の $L^2$ ノルムと $u$ の $L^2$ ノルムで押さえる。
(b) の $\|f\|_\varphi$ は $\sup_{B_\delta}|f|$ で、(c) の $u$ の $B_{\delta/2}$ の上の $L^2$ ノルムは $\|u\|_\varphi$ で押さえられ、これらの定数は $0< \varepsilon< 1$ について一様にとれる（p. 153）。$\mathbb C^n$ の擬凸領域での (a) にあたる定理と、(c) にあたる解の滑らかさは、∂̄方程式のL²評価 の定理「Hörmander の $L^2$ 存在定理」と定理「解の滑らかさ」で証明されている。
可積分性は thm-nn-uniform の仮定であるだけでなく、次の証明の第 3 段で、補正すべき形式 $\bar\partial z_k$ が $\bar\partial$ について閉じていることを保証する。可積分でない族ではこの段が崩れる（ex-nn-nonintegrable）。
主定理の証明
第 1 段（局所の問題への帰着）。 thm-nn-atlas の 2・3 により、各点 $p\in M$ が $J$ 正則座標の定義域に含まれることを示せば、存在・一意性と正則座標近傍の記述が従う。さらに prop-nn-chart により、$p$ の近傍で $J$ に関して正則な関数 $U_1,\dots,U_n$ で、$p$ での微分が 1 次独立なものを作ればよい。前節の初めに述べたとおり、座標と線形変換で移して、$M$ を原点を中心とする開球 $U\subset\mathbb C^n$、$p=0$、$J(0)=J_0$ としてよい。正則性と $N_J=0$ はこの移動で保たれる。
第 2 段（拡大縮小）。 lem-nn-rescale の族 $(J_\varepsilon)$ をとる。同補題の 2 により各 $J_\varepsilon$ は可積分であり、$J$ は $N_J=0$ と $J(0)=J_0$ を満たすので thm-nn-uniform が使え、$\delta$ と $C$ が定まる。閉球 $\overline{B_\delta}$ に lem-nn-rescale の 4 を当てて得る定数で $C':=\max_{|\alpha|\le2n}C_\alpha$ とおく。
第 3 段（補正）。 $0< \varepsilon< 1$ と $k=1,\dots,n$ について $f_k:=\bar\partial_{J_\varepsilon}z_k$ とおく。$N_{J_\varepsilon}=0$ なので Nijenhuisテンソル の定理「可積分性の条件の同値」により $\bar\partial_{J_\varepsilon}\bar\partial_{J_\varepsilon}=0$ であり、$\bar\partial_{J_\varepsilon}f_k=0$ である。thm-nn-uniform により、$B_\delta$ 上の $C^\infty$ 級関数 $v_k$ で $\bar\partial_{J_\varepsilon}v_k=f_k$ かつ
$$
|v_k(0)|+\sum_{j=1}^n\bigl(|\partial_{x_j}v_k(0)|+|\partial_{y_j}v_k(0)|\bigr)\le CC'\varepsilon
$$
を満たすものがある。$W_k:=z_k-v_k$ とおくと $\bar\partial_{J_\varepsilon}W_k=0$、すなわち $W_k$ は $B_\delta$ の上で $J_\varepsilon$ に関して正則である。
第 4 段（微分の独立性）。 原点で $dv_k=\sum_j\bigl(\frac{\partial v_k}{\partial z_j}dz_j+\frac{\partial v_k}{\partial\bar z_j}d\bar z_j\bigr)$ であり、$\lvert\partial v_k/\partial z_j\rvert$ と $\lvert\partial v_k/\partial\bar z_j\rvert$ は $\frac12\bigl(|\partial_{x_j}v_k|+|\partial_{y_j}v_k|\bigr)\le CC'\varepsilon$ 以下である。$dz_1,\dots,dz_n,d\bar z_1,\dots,d\bar z_n$ は $\operatorname{Hom}_{\mathbb R}(\mathbb R^{2n},\mathbb C)$ の基底なので、原点での $dW_1,\dots,dW_n,\overline{dW_1},\dots,\overline{dW_n}$ をこの基底で表した $2n$ 次の正方行列を $A$ とおくと、$A=I+E$ で、$E$ の成分の絶対値は $CC'\varepsilon$ 以下である。$\varepsilon$ を $2n\,CC'\varepsilon< 1$ となるようにとると、$E$ の各行の絶対値の和が $1$ 未満なので $I+E$ は正則であり（Neumann 級数 $\sum_m(-E)^m$ が収束する）、$A$ の行は 1 次独立である。とくに原点での $dW_1,\dots,dW_n$ は $\mathbb C$ 上 1 次独立である。以下この $\varepsilon$ を固定する。
第 5 段（もとの尺度に戻す）。 $U_k:=W_k\circ\tau_\varepsilon^{-1}$ とおく。これは原点の近傍 $\tau_\varepsilon(B_\delta)$ の上で定義され、lem-nn-rescale の 3 により $J$ に関して正則である。原点で $dU_k=\varepsilon^{-1}dW_k$ なので、$dU_1,\dots,dU_n$ は 1 次独立である。第 1 段により証明が終わる。$\square$
例
$(M,g)$ を 2 次元の $C^\infty$ 級のリーマン多様体とする。各点 $p$ のまわりに、$g=\lambda^2(dx^2+dy^2)$（$\lambda$ は正の $C^\infty$ 級関数）となる座標 $(x,y)$、すなわち 等温座標 がある。さらに $M$ が向き付けられていれば、正の向きの等温座標どうしの座標変換は、$x+iy$ について正則である。
要点：$J$ を計量の回転とすると、実 2 次元なので $N_J=0$ であり、thm-nn-main の $J$ 正則座標 $z=x+iy$ では $J\partial_x=\partial_y$ となる。回転は長さと直交性を保つので $g(\partial_x,\partial_x)=g(\partial_y,\partial_y)$、$g(\partial_x,\partial_y)=0$ である。
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$p$ の向き付け可能な近傍（座標円板）に制限すれば、$M$ は向き付けられているとしてよい。各接空間で $J$ を「正の向きへの角度 $\pi/2$ の回転」とすると、$J$ は $C^\infty$ 級の概複素構造である（概複素構造 の例「向き付けられた曲面と計量」）。実 2 次元なので $N_J=0$ であり（Nijenhuisテンソル の命題「実 2 次元では可積分」）、thm-nn-main により、$p$ のまわりに $J$ 正則座標 $z=x+iy$ がある。$dz\circ J=i\,dz$ を $\partial_x$ に当てると $dz(J\partial_x)=i$ で、実ベクトル $J\partial_x=a\partial_x+b\partial_y$ について $dz(J\partial_x)=a+ib$ だから、$J\partial_x=\partial_y$ である。$J$ は $g$ について長さを保つ直交な回転なので、$g(\partial_y,\partial_y)=g(J\partial_x,J\partial_x)=g(\partial_x,\partial_x)$、$g(\partial_x,\partial_y)=g(\partial_x,J\partial_x)=0$ であり、$\lambda:=g(\partial_x,\partial_x)^{1/2}$ とおけば $g=\lambda^2(dx^2+dy^2)$ である。$(\partial_x,\partial_y)=(\partial_x,J\partial_x)$ は正の向きの基底なので、この座標は正の向きである。逆に正の向きの等温座標 $(x,y)$ では、$\partial_y$ は $\partial_x$ と直交し長さが等しく正の向きにあるので $J\partial_x=\partial_y$、$J\partial_y=-\partial_x$ となり、$x+iy$ は $J$ 正則座標である。よって座標変換の正則性は thm-nn-atlas の 1 から従う。
これは 等温座標 の定理「等温座標の存在」の、計量が $C^\infty$ 級の場合にあたる。座標変換の正則性は同記事の定理「等温座標の取り替えは正則」でも直接示されている。
可積分性を外すと、証明の第 3 段が崩れることを見る。$J$ を Nijenhuisテンソル の例「$\mathbb R^4$ の可積分でない概複素構造」の概複素構造とする。$T^{1,0}$ は $\partial_{z_1}-z_2\,\partial_{\bar z_2}$ と $\partial_{z_2}$ で張られ、同じ例の実の表示から $J(0)=J_0$ である。$J_\varepsilon(x):=J(\varepsilon x)$ とおくと、$J_\varepsilon$ の $T^{1,0}$ は点 $\varepsilon x$ での $J$ の $T^{1,0}$ なので
$$
E_1:=\partial_{z_1}-\varepsilon z_2\,\partial_{\bar z_2},\qquad E_2:=\partial_{z_2}
$$
で張られる。族 $(J_\varepsilon)$ は、thm-nn-uniform と同じ作り方の族で（$J(0)=J_0$）、仮定のうち可積分性だけを満たさない。$N_J$ はどの点でも $0$ でないので、$0< \varepsilon\le1$ の $N_{J_\varepsilon}$ もどの点でも $0$ でない（lem-nn-rescale の 1 と $N$ の移り方による）。このとき次が成り立つ。
- $\bar\partial_{J_\varepsilon}z_2=-\varepsilon\,\bar z_2\,d\bar z_1$ である。その係数と導関数は、原点を中心とする閉球の上で定数 $\times\varepsilon$ で押さえられる。
- $0< \varepsilon\le1$ なら、$\bar\partial_{J_\varepsilon}\bigl(\bar\partial_{J_\varepsilon}z_2\bigr)$ はどの点でも $0$ でない。thm-nn-uniform の仮定 $\bar\partial f=0$ が補正すべき形式について成り立たない。
- $\delta>0$、$0< \varepsilon\le1$ とし、$v$ を $B_\delta$ 上の $C^\infty$ 級関数で $\bar\partial_{J_\varepsilon}v=\bar\partial_{J_\varepsilon}z_2$ を満たすものとする（$v=z_2$ がその例である）。このとき $|\partial_{x_2}v(0)|+|\partial_{y_2}v(0)|\ge2$ である。
よって、右辺が $\varepsilon$ の大きさでも、原点での微分が小さい補正 $v$ はとれない。1・2・3 の確かめを開く
$\theta:=dz_2+\varepsilon\bar z_2\,d\bar z_1$ とおく。その共役 $\bar\theta=d\bar z_2+\varepsilon z_2\,dz_1$ は $\bar\theta(E_1)=-\varepsilon z_2+\varepsilon z_2=0$、$\bar\theta(E_2)=0$ を満たすので $(0,1)$ 形式であり、$\theta$ は $(1,0)$ 形式である。$d\bar z_1$ も $E_1,E_2$ で消えるので $(0,1)$ 形式で、$dz_1$ は $(1,0)$ 形式である。1：$dz_2=\theta-\varepsilon\bar z_2\,d\bar z_1$ が型の分解なので、$\bar\partial_{J_\varepsilon}z_2=-\varepsilon\bar z_2\,d\bar z_1=-\varepsilon(x_2-iy_2)(dx_1-i\,dy_1)$ である。2：$d(-\varepsilon\bar z_2\,d\bar z_1)=-\varepsilon\,d\bar z_2\wedge d\bar z_1=-\varepsilon(\bar\theta-\varepsilon z_2\,dz_1)\wedge d\bar z_1$ の $(0,2)$ 成分は $-\varepsilon\,\bar\theta\wedge d\bar z_1$ で、$\bar\theta$ と $d\bar z_1$ は各点で 1 次独立（$\bar\theta$ は $d\bar z_2$ の成分をもつ）なので $0$ でない。3：$h:=z_2-v$ は $B_\delta$ の上で $J_\varepsilon$ に関して正則なので、lem-nn-rescale の 3 により $h\circ\tau_\varepsilon^{-1}$ は凸な開集合 $B_{\varepsilon\delta}$ の上で $J$ に関して正則である。Nijenhuisテンソル の同じ例により、それは $z_1$ だけの正則関数 $H(z_1)$ であり、$h(x)=H(\varepsilon z_1)$ は $z_2$ によらない。よって $\partial v/\partial z_2=\partial z_2/\partial z_2=1$ で、$2=2\lvert\partial_{z_2}v(0)\rvert=\lvert\partial_{x_2}v(0)-i\,\partial_{y_2}v(0)\rvert\le|\partial_{x_2}v(0)|+|\partial_{y_2}v(0)|$ である。
反例
各行は、左の条件だけを外したものである。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $N_J=0$（thm-nn-main） | Nijenhuisテンソル の例「$\mathbb R^4$ の可積分でない概複素構造」の $(\mathbb R^4,J)$ | どの点のまわりにも $J$ 正則座標がある |
| 微分の 1 次独立性（prop-nn-chart） | $\mathbb C^2$ の $J_0$、$u=(z_1,z_1^2)$、$p=0$ | $u$ が $p$ の近傍で微分同相になる |
| $J$ に関する正則性（prop-nn-chart） | $\mathbb C^2$ の $J_0$、$u=(z_1,\bar z_2)$ | $du\circ J_0=J_0\circ du$ |
| 付随する概複素構造が $J$ であること（thm-nn-atlas の 3） | $\mathbb C$ の上の座標 $\bar z$ が定める複素構造 | 両立する複素構造が 1 つに決まる |
1 行目：$N_J$ はどの点でも $0$ でないので、ある開集合の上に $J$ 正則座標があれば、そこで $J$ は複素構造に付随し、Nijenhuisテンソル の系「複素多様体の概複素構造は可積分」に反する。証明のどこが崩れるかは ex-nn-nonintegrable で見た。2 行目：$u_1,u_2$ は正則だが、$u$ は $z_2$ によらないので単射でない。3 行目：$u$ は $\mathbb C^2$ の微分同相だが、$du(J_0\partial_{x_2})=du(\partial_{y_2})=(0,-i)$、$J_0\,du(\partial_{x_2})=(0,i)$ である。4 行目：$\bar z\colon\mathbb C\to\mathbb C$ 1 枚の近傍系が定める複素構造は $C^\infty$ 構造と両立するが、$d\bar z\circ J'=J_0\circ d\bar z$ となる付随の構造は $J'=-J_0$ である（$d\bar z\circ J_0=-i\,d\bar z$）。$\bar z$ は通常の座標 $z$ と正則に貼り合わないので、これは通常の複素構造と異なる。一意性は、付随する概複素構造を $J$ に固定してはじめて成り立つ。
補足
Frobenius の定理との関係。 $N_J=0$ は、$T^{0,1}M$ の切断どうしの Lie 括弧がふたたび $T^{0,1}M$ の切断になることと同値である（Nijenhuisテンソル の定理「可積分性の条件の同値」）。$J$ に関して正則な関数とは、$T^{0,1}M$ のすべての切断 $Z$ について $Zf=0$ となる関数であり、定理は、対合的な部分束 $T^{0,1}M$ に「十分多くの第一積分」があることを主張している。$T^{0,1}M$ は実の部分束ではないので、実の部分束についての Frobeniusの定理(可積分性) はそのままでは使えず、$\bar\partial$ 方程式を解くという解析的な議論が要る。
Dolbeault 理論への接続。 定理で得た複素構造の $\partial$、$\bar\partial$ は、$J$ の型の分解から定めた $\partial$、$\bar\partial$ と一致する（概複素構造 の例「複素多様体の概複素構造」）。したがって、可積分な概複素多様体の上で $\bar\partial$ を使って組み立てた議論は、そのまま複素多様体の Dolbeaultコホモロジー の議論になる。
滑らかさ。 この記事は $J$ が $C^\infty$ 級の場合だけを扱う。
関連項目
- 前提: 概複素構造, Nijenhuisテンソル, 複素多様体, 逆関数定理, ∂̄方程式のL²評価
- 比較: Frobeniusの定理(可積分性), 等温座標
- 直後に読む: Dolbeaultコホモロジー, リーマン面
- 発展: 多重劣調和関数, 擬凸領域, Kähler多様体
参考文献
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