左完全関手

前提知識: 圏, 関手, 完全列

左完全関手とは

左完全関手（left exact functor）とは、有限個の対象と射から作る極限を保つ関手である。アーベル圏では、短完全列
$$ 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow0 $$
を送ったとき、少なくとも左側の $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ が完全になる、という形で読める。ここで最後の $F(B)\to F(C)$ が全射になるとは限らない。この欠ける可能性こそ、「左」という語が示す範囲である（StacksLEDef、StacksLEAb）。
例えば加群 $M$ を固定した $\operatorname{Hom}_R(M,-)$ は左完全である。準同型を核へ持ち上げる操作は自然にできるが、商加群への準同型が元の加群への準同型へ持ち上がるとは限らない。層の大域切断 $\Gamma(X,-)$ も左完全であり、局所的には得られる切断が全空間で一つの切断にならないことが、右端の全射性を妨げる。この記事では有限極限という圏論の定義と、完全列という代数的な判定を結び、どの射が保たれるかを例で確かめる。

有限極限による定義

有限極限には終対象、二対象の積、等化子などが含まれる。圏 $\mathcal A,\mathcal B$ に有限極限があるとして、関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ が左完全とは、有限な添字圏 $I$ と図式 $D:I\to\mathcal A$ に対して、標準の比較射
$$ F\!\left(\varprojlim_{i\in I}D_i\right) \longrightarrow \varprojlim_{i\in I}F(D_i) $$
が同型になることをいう。この比較射は、極限から各 $D_i$ への射に $F$ を施した錐の普遍性で定まる。単に両辺の対象が偶然同型というだけでなく、この標準射が同型であることが保存の意味である。有限余極限を保つ性質は右完全性であり、両方を保つ関手を完全関手という（StacksLEDef）。

有限極限を確かめる際は、終対象、有限積、等化子を調べれば足りる。たとえば二射 $f,g:X\rightrightarrows Y$ の等化子 $E\to X$ は、$f$ と $g$ が等しくなる部分を普遍的に切り出す。左完全な $F$ は $F(E)\to F(X)$ を $F(f),F(g)$ の等化子へ送る。積については $F(X\times Y)\to F(X)\times F(Y)$ が同型になる。終対象の保存も必要である。これらを全ての有限図式へ組み立てられることは、極限の標準的な構成から従う。

ここで「有限」は添字圏の大きさに関する条件である。左完全だからといって任意個の積や逆極限まで保つとは限らない。逆に右随伴は、存在する全ての極限を保つので、有限極限がある状況では左完全になる（StacksAdjLE）。左完全性と随伴性を同義語にはできない。左完全性は保存する極限の範囲を述べる条件である。

アーベル圏での完全列による判定

加群やアーベル群、アーベル群の層などはアーベル圏をなす。そこでは終対象は零対象であり、有限積は有限直和、等化子は二射の差の核である。このため、有限極限を保つことは零対象・有限直和・核を保つことと結び付く。しかもアーベル圏間では、左完全な関手は加法的である（StacksLEAb）。
短完全列 $0\to A\xrightarrow{u}B\xrightarrow{v}C\to0$ は、$u$ が $v$ の核、$v$ が $u$ の余核である状況を記す。左完全性が要求するのは、$F(u)$ が $F(v)$ の核となるところまでである。したがって
$$ 0\longrightarrow F(A)\xrightarrow{F(u)}F(B) \xrightarrow{F(v)}F(C) $$
は完全である。一方、$F(v)$ が $F(u)$ の余核になる保証はない。末尾に $0$ を付けて短完全列だと宣言すると、左完全性の意味を強くしすぎる。

この証明で「分裂する像」の部分は関手が分裂を保つことを使っている。具体的には $X\oplus Y$ の包含・射影に対する $pi=\mathrm{id}$ などの恒等式を $F$ がそのまま保つ。短完全列の像が完全であることと併せると、$F(X\oplus Y)$ の二つの成分は $F(X),F(Y)$ を与える。アーベル圏の圏論的な定義から短完全列判定へ移る際、加法性を黙って仮定する必要はない。
別の実用的な判定は「加法的で、すべての核を保つ」である。加法的関手は零対象と有限直和を保ち、アーベル圏では等化子が差の核である。逆方向は左完全性から直ちに従う。短完全列を一つずつ追う方法と核を直接調べる方法は、扱う例に応じて選べる。

Hom 関手の左完全性

環 $R$ を単位的とし、左 $R$ 加群 $M$ を一つ固定する。$N$ を $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ へ送る関手は、$R$ 加群の圏からアーベル群の圏への共変関手である。射 $h:N\to N'$ には後合成 $f\mapsto h\circ f$ を対応させる。ここでは $M$ を第一変数として固定し、第二変数を動かしている。

この証明には $M$ の有限生成性は要らない。加群間の写像が核を通って因子化することだけを使った。ただし $v_*$ が全射であるかどうかは $M$ に依存する。$C$ への準同型が必ず $B$ へ持ち上がるという条件は、まさに $M$ が射影加群であることを意味する。

身近な例として $R=\mathbb Z$、$M=\mathbb Z/2\mathbb Z$ を取る。短完全列
$$ 0\longrightarrow\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z \longrightarrow\mathbb Z/2\mathbb Z\longrightarrow0 $$
へ $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z/2\mathbb Z,-)$ を適用する。$\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z/2\mathbb Z,\mathbb Z)=0$ だが、$\operatorname{Hom}_{\mathbb Z}(\mathbb Z/2\mathbb Z,\mathbb Z/2\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$ である。従って像の列は左側では完全でも、最後の $0\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ は全射でない。この一例だけで左完全と完全の差を具体的に見られる。
第一変数を動かす $\operatorname{Hom}_R(-,N)$ は反変関手なので、全く同じ向きの式に代入してはいけない。$\mathsf{Mod}_R^{\mathrm{op}}$ から $\mathsf{Ab}$ への共変関手として読めば左完全であり、短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ から
$$ 0\longrightarrow\operatorname{Hom}_R(C,N) \longrightarrow\operatorname{Hom}_R(B,N) \longrightarrow\operatorname{Hom}_R(A,N) $$
が完全になる。後者が最後まで全射になることは、$N$ の入射性の特徴づけである。第一変数と第二変数の違いは、矢印を逆にするだけでなく、射影性と入射性を入れ替える。

テンソル積・随伴との対比

左完全性を「関手が良い性質を持つ」という曖昧な印象だけで扱うと、右完全性との取り違えが起こる。加群 $M$ を固定した $-\otimes_R M$ は一般に右完全であり、左完全とは限らない。可換環 $R$ の場合、これは Hom とのテンソル・Hom 随伴の左随伴側にある。一般に左随伴は存在する余極限を保ち、右随伴は存在する極限を保つ（StacksAdjLE）。

右随伴なら左完全という含意の逆は成り立たない。例えばアーベル群上の $F(A)=A\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ は、整数の零でない元による局所化なので完全関手であり、特に左完全である（StacksLocalExact）。しかし可算積を保たない。$\prod_{n\ge1}\mathbb Z$ を有理化して得る元の分母は、全成分に共通する一つの整数で払える。一方、$\prod_{n\ge1}\mathbb Q$ の元 $(1/n!)_{n\ge1}$ には共通分母がない。従って標準写像 $F(\prod_n\mathbb Z)\to\prod_nF(\mathbb Z)$ は全射でない。右随伴なら全ての積を保つはずなので、$F$ は右随伴ではない（StacksAdjLE）。
関手の合成については扱いやすい。$F:\mathcal A\to\mathcal B$ と $G:\mathcal B\to\mathcal C$ がともに左完全で、これらの圏で必要な有限極限が存在すれば、$G\circ F$ も左完全である。有限図式の極限を $F$ が極限へ送り、その極限を $G$ が再び極限へ送るからである。恒等関手も左完全である。左完全性は、複数段階で構成される関手を追う際にも保存される。

大域切断で失われる全射性

位相空間 $X$ 上のアーベル群の層 $\mathcal F$ に対し、$X$ 全体の切断群 $\Gamma(X,\mathcal F)=\mathcal F(X)$ を取る。層の射 $\varphi:\mathcal F\to\mathcal G$ の核は開集合ごとに取った核で記述できるので、大域切断は核を保つ。従って $\Gamma(X,-)$ は左完全である（StacksSheafLE、StacksSheafCoh）。

右端の全射性が失われる例を、円周上の連続関数から作れる。$X=S^1$ とし、開集合 $U\subseteq X$ に連続実数値関数を対応させる層 $\mathcal R$、連続 $S^1$ 値関数を対応させるアーベル群の層 $\mathcal T$、局所定数整数値関数の層 $\underline{\mathbb Z}$ を考える。写像 $\mathcal R\to\mathcal T$ を $t\mapsto e^{2\pi i t}$ で定めると、核は $\underline{\mathbb Z}$ である。また円周値関数は各点の十分小さい近傍では連続な偏角を選べるので、この写像は層として全射となり
$$ 0\longrightarrow\underline{\mathbb Z} \longrightarrow\mathcal R \xrightarrow{\exp(2\pi i\,\cdot)}\mathcal T \longrightarrow0 $$
は層の短完全列である。ところが大域切断の写像 $\mathcal R(S^1)\to\mathcal T(S^1)$ は全射でない。恒等写像 $z\mapsto z$ が全域で一つの連続実数値偏角を持たないためである。

この例は「層の射が全射」と「各開集合の切断への写像が全射」を区別する。層の全射性は芽で判定され、局所的な持ち上げがあればよい。大域切断を取った後の全射性には、その局所的な選択を全体で貼り合わせる必要がある。局所では解けても全体では障害が残るという現象を、左完全性は右端の空白として記録する。

右導来関手への入口

左完全関手 $F$ は、入射分解を通じて右導来関手 $R^iF$ を作る出発点になる。十分な入射対象を持つアーベル圏で対象 $A$ の入射分解 $0\to A\to I^0\to I^1\to\cdots$ を選び、$F(I^\bullet)$ のコホモロジーを取る。適切な構成の下で $R^0F\cong F$ となり、短完全列から長完全列が生じる（StacksDerived）。この一段高い構成は左完全性そのものの定義には含まれないが、どこで全射性が失われるかを測る方法を与える。
特に $F=\Gamma(X,-)$ なら $R^i\Gamma(X,-)$ が層コホモロジー $H^i(X,-)$ になる。前節の円周の例では、恒等写像の大域的偏角が存在しないという失敗が、長完全列の接続準同型で捉えられる。ここで知っておくべき前提は、大域切断が左完全であることと、入射分解を取れる圏であることの二点である。単に「左完全だから自動的に全ての右導来関手が定義できる」とは言わない。
左完全という名は、関手が極限や完全列をどこまで保つかを正確に指定するために使う。有限極限の保存は圏論的な定義、短完全列の左半分の保存はアーベル圏での実用的な判定である。Hom、大域切断、テンソル積を並べると、核が保たれることと商への全射が保たれることは別問題だと分かる。

条件を外したときの反例

左完全性と、それより強い・弱い性質との間の含意は、条件を一つ外すと成り立たなくなる。以下はいずれも $\mathbb Z$ 加群の短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ などで確かめられる。

射影性・右随伴・有限性・大域切断の四行は本文で確かめた。残る二行を確かめる。

関連項目

• 前提: 圏, 関手, 完全列
• 判定と例: 核, 射影加群, 入射加群
• 続けて読む: 入射分解, 層コホモロジー, 右導来関手