数列の平均の極限

$a_n=\dfrac1n$ は $0$ に近づく数列である。平均は
$$ \sigma_1=1,\qquad \sigma_2=\frac{1+\frac12}{2}=\frac34,\qquad \sigma_3=\frac{1+\frac12+\frac13}{3}=\frac{11}{18}=0.611\ldots,\qquad \sigma_4=\frac{1+\frac12+\frac13+\frac14}{4}=\frac{25}{48}=0.520\ldots $$
である。分子の $1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$ を $H_n$ と書くと $\sigma_n=\dfrac{H_n}{n}$ で、計算機で求めると
$$ \sigma_{10}=0.2928\ldots,\qquad \sigma_{100}=0.05187\ldots,\qquad \sigma_{1000}=0.007485\ldots $$
となる。$a_n$ と同じく $0$ に近づいているように見えるが、$a_{1000}=0.001$ と比べると $\sigma_{1000}$ はずっと大きく、近づき方は遅い。

$a_n=(-1)^n$ は $-1,1,-1,1,\dots$ と振動し、収束しない。平均の分子は $-1,0,-1,0,\dots$ をくり返すので
$$ \sigma_1=-1,\quad \sigma_2=0,\quad \sigma_3=-\frac13,\quad \sigma_4=0,\quad \sigma_5=-\frac15,\quad\ldots $$
である。$n$ が偶数なら $\sigma_n=0$、奇数なら $\sigma_n=-\dfrac1n$ なので、どちらの場合も $\lvert\sigma_n\rvert\le\dfrac1n$ である。はさみうちの原理（はさみうちと評価の技法）により $\sigma_n\to0$ となる。数列そのものは収束しないのに、平均は収束する。

$a_n=1+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt n}$ は、$1$ の上と下を交互にとりながら $1$ に近づく（$\lvert a_n-1\rvert=\dfrac1{\sqrt n}\to0$）。項と平均の値は次のとおりである（小数第 4 位で丸めた）。

平均は $a_n$ よりなめらかに $1$ に近づいている。$n=10^4$ では $\lvert a_n-1\rvert=0.01$ に対して $\lvert\sigma_n-1\rvert=0.00006$ ほどで、この例では平均の方がずっと速く $1$ に近づく。

1. $a_n=n$ なら $\sigma_n=\dfrac{1+2+\cdots+n}{n}=\dfrac{n(n+1)}{2n}=\dfrac{n+1}2$ である。$\sigma_1=1$、$\sigma_2=\dfrac32$、$\sigma_3=2$ で、$a_n$ と同じく限りなく大きくなる。
2. $a_n=2^n$ なら $g_n=\sqrt[n]{2^1\cdot2^2\cdots2^n}=\sqrt[n]{2^{\frac{n(n+1)}2}}=2^{\frac{n+1}2}$ である。$g_1=2$、$g_2=2\sqrt2$、$g_3=4$ となる。

$a_1=a_2=\cdots=a_{10}=5$、$a_{11}=a_{12}=\cdots=1$ とする。$a_n\to1$ である。$n\ge10$ のとき
$$ a_1+\cdots+a_n=\underbrace{5\times10}_{\text{最初の 10 項}}+\underbrace{1\times(n-10)}_{\text{残りの項}}=n+40 $$
なので
$$ \sigma_n=\frac{n+40}{n}=1+\frac{40}{n} $$
である。$\sigma_{20}=3$、$\sigma_{100}=1.4$、$\sigma_{400}=1.1$、$\sigma_{4000}=1.01$ となり、$\sigma_n\to1$ である。
$40$ は「最初の 10 項が極限 $1$ からはみ出した分の合計」$(5-1)\times10$ である。この量は $n$ によらない一定の数なので、$n$ で割ると $0$ に近づく。

$a_n=\dfrac1n$、$\alpha=0$ とする。$b_n=a_n$ である。$\varepsilon=0.1$ として、証明の段 2〜4 をたどる。
段 2：$\lvert b_n\rvert=\dfrac1n<\dfrac\varepsilon2=0.05$ となるのは $n>20$ のときなので、$N=21$ でよい。
段 3：$C=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1{20}=H_{20}=3.5977\ldots$ である。
段 4：$\dfrac{2C}\varepsilon=71.95\ldots$ より、$N'=72$ でよい。実際、$\sigma_{72}=\dfrac{H_{72}}{72}=0.0675\ldots<0.1$ である。
計算機で調べると、$\sigma_n<0.1$ が初めて成り立つのは $n=44$ のとき（$\sigma_{43}=0.1011\ldots$、$\sigma_{44}=0.0993\ldots$）である。証明で作った $N'=72$ は一番小さい番号ではないが、定義が求めているのは「ある番号から先で $\varepsilon$ 未満」ということだけなので、それで十分である。

$a_n$ を、$n$ が奇数なら $1$、偶数なら $0$ と定める。偶数番目の項 $a_2,a_4,a_6,\dots$ はどれも $0$ なので、偶数番目だけを取り出した数列は $0$ に収束する。しかし平均は、$n=2m$（偶数）のとき
$$ \sigma_{2m}=\frac{m}{2m}=\frac12 $$
であり、$n=2m-1$（奇数）のとき
$$ \sigma_{2m-1}=\frac{m}{2m-1}=\frac12+\frac1{2(2m-1)} $$
である。どちらの場合も $\left\lvert\sigma_n-\dfrac12\right\rvert\le\dfrac1{2n}$ なので $\sigma_n\to\dfrac12$ で、$0$ には近づかない。thm-avg-main (1) を使うには、偶数番目だけでなく、数列全体が $\alpha$ に近づく必要がある。

$a_n=1-\dfrac1n$ は単調増加で、$\sigma_n=1-\dfrac{H_n}{n}$ である（$H_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$）。ex-avg-harmonic より $\dfrac{H_n}n\to0$ なので $\sigma_n\to1$ で、prop-avg-monotone から $a_n\to1$ が出る。$n=10$ で確かめると、$\sigma_{10}=0.7071\ldots$、$a_{10}=0.9$、$2\sigma_{20}-\sigma_{10}=0.9331\ldots$ で、たしかに $\sigma_{10}\le a_{10}\le2\sigma_{20}-\sigma_{10}$ である。

1. $a_n=\dfrac{n+1}{n}$ は $1$ に収束する。積は分子と分母が次々に消えて
   $$ a_1a_2\cdots a_n=\frac21\cdot\frac32\cdot\frac43\cdots\frac{n+1}{n}=n+1 $$
   なので、thm-avg-geometric から $\sqrt[n]{n+1}\to1$ が出る。$n=10,100,1000$ で $\sqrt[n]{n+1}=1.2709\ldots$、$1.0472\ldots$、$1.0069\ldots$ である。
2. $a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$ は $e$ に収束する（(1+1/n)^nの極限）。積は
   $$ a_1a_2\cdots a_n=\left(\frac21\right)^1\left(\frac32\right)^2\cdots\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\frac{2^1\cdot3^2\cdots(n+1)^n}{1^1\cdot2^2\cdots n^n} $$
   で、分子の $k^{k-1}$ と分母の $k^k$ が約分されて $k$ が 1 つずつ分母に残るので、$\dfrac{(n+1)^n}{2\cdot3\cdots n}=\dfrac{(n+1)^n}{n!}$ になる。$n=2$ なら $2\cdot\dfrac94=\dfrac92=\dfrac{3^2}{2!}$ である。thm-avg-geometric から
   $$ \sqrt[n]{\frac{(n+1)^n}{n!}}=\frac{n+1}{\sqrt[n]{n!}}\to e $$
   が出る。

$c_n=\dfrac{n^n}{n!}$ とする。
$$ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)\,n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac1n\right)^n\to e $$
なので、cor-avg-ratio-root により
$$ \sqrt[n]{c_n}=\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\to e $$
である。値は次のとおりで、近づき方はゆっくりしている。

比の極限 $\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e$ は、底が $1$ に近づき指数が大きくなる「$1^\infty$ の形」の極限である（1の∞乗型の極限）。ex-avg-geometric-small (2) の結果に $\dfrac{n}{n+1}\to1$ を掛けても同じ結論が出る。

$c_n=\dbinom{2n}{n}$ とする（$c_1=2$、$c_2=6$、$c_3=20$）。比は $\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=\dfrac{2(2n+1)}{n+1}\to4$ なので、cor-avg-ratio-root により $\sqrt[n]{\dbinom{2n}n}\to4$ である。$n=10,100,1000$ で $3.362\ldots$、$3.886\ldots$、$3.983\ldots$ となる。

$a_1=0$、$a_n=1$（$n\ge2$）とすると $a_n\to1$ である。しかし積 $a_1a_2\cdots a_n$ はいつも $0$ なので、$\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}=0$ がすべての $n$ で成り立ち、$1$ には近づかない。thm-avg-geometric の証明は $\log a_n$ を使うので、$\log0$ が定まらない $0$ の項を許すと使えない。

$c_n=2^n\bigl(2+(-1)^n\bigr)$ とする。$n$ が偶数なら $c_n=3\cdot2^n$、奇数なら $c_n=2^n$ である。比は
$$ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\begin{cases}\dfrac{3\cdot2^{n+1}}{2^n}=6 & (n\text{ が奇数})\\[2mm]\dfrac{2^{n+1}}{3\cdot2^n}=\dfrac23 & (n\text{ が偶数})\end{cases} $$
で、$6$ と $\dfrac23$ をくり返し、収束しない。一方、$\sqrt[n]{c_n}\to2$ である（$n=10,100,1000$ で $2.232\ldots$、$2.022\ldots$、$2.002\ldots$）。cor-avg-ratio-root の逆は成り立たない。

$a_n=(-1)^n$ とすると、部分和は $s_1=-1$、$s_2=0$、$s_3=-1$、$s_4=0,\dots$ と振動し、級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty(-1)^n$ は収束しない。部分和の平均は
$$ -1,\quad -\frac12,\quad -\frac23,\quad -\frac12,\quad -\frac35,\quad -\frac12,\quad\ldots $$
で、$n=2m$ のとき $-\dfrac m{2m}=-\dfrac12$、$n=2m-1$ のとき $-\dfrac m{2m-1}$ である。どちらも $-\dfrac12$ との差は $\dfrac1{2n}$ 以下なので、平均は $-\dfrac12$ に収束する。級数 $\displaystyle\sum(-1)^n$ は $-\dfrac12$ に Cesàro 総和可能である。これは ex-avg-cx-parity の数列の符号を変えたものと同じ計算である。