ベータ関数

$a:=\operatorname{Re}x$, $b:=\operatorname{Re}y$ とおくと、被積分関数の絶対値は $t^{a-1}(1-t)^{b-1}$ で、$(0,1)$ 上連続である。$0< t\le\frac12$ では $(1-t)^{b-1}$ は $\frac12\le1-t<1$ の範囲の連続関数なので、正の定数 $c_1\le c_2$ で $c_1\le(1-t)^{b-1}\le c_2$ と挟める。$\int_0^{1/2}t^{a-1}\,dt$ は $a>0$ のとき $\frac{2^{-a}}a$ に収束し、$a\le0$ のとき $+\infty$ に発散するので、広義積分の比較判定法により $\int_0^{1/2}$ の部分が有限であることは $a>0$ と同値である。置換 $t\mapsto1-t$ により、$\int_{1/2}^1$ の部分が有限であることは $b>0$ と同値である。$\square$

1 は置換 $t\mapsto1-t$ による。2 は $\int_0^1t^{x-1}\,dt=\bigl[t^x/x\bigr]_0^1=\frac1x$（$|t^x|=t^{\operatorname{Re}x}\to0$）による。3 は被積分関数の等式 $t^{x-1}(1-t)^{y-1}=t^{x}(1-t)^{y-1}+t^{x-1}(1-t)^{y}$ を積分すればよい。
4：$0<\varepsilon<\frac12$ として $[\varepsilon,1-\varepsilon]$ 上で部分積分すると
$$ \int_\varepsilon^{1-\varepsilon}t^{x}(1-t)^{y-1}\,dt=\Bigl[-\frac{t^{x}(1-t)^{y}}{y}\Bigr]_\varepsilon^{1-\varepsilon}+\frac xy\int_\varepsilon^{1-\varepsilon}t^{x-1}(1-t)^{y}\,dt $$
である。境界項の絶対値は $t^{\operatorname{Re}x}(1-t)^{\operatorname{Re}y}/|y|$ で、$t\to0$ でも $t\to1$ でも $0$ に近づく。$\varepsilon\to0$ として $B(x+1,y)=\frac xy\,B(x,y+1)$ を得る。3 により $B(x,y+1)=B(x,y)-B(x+1,y)$ なので、$B(x+1,y)\bigl(1+\frac xy\bigr)=\frac xyB(x,y)$、すなわち 4 を得る。$\square$

$m=1$ では prop-bt-basic の 1 と 2 により $B(1,n)=\frac1n=\frac{0!\,(n-1)!}{n!}$ である。$m$ で成り立てば、prop-bt-basic の 4 により $B(m+1,n)=\frac m{m+n}\cdot\frac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}=\frac{m!\,(n-1)!}{(m+n)!}$ である。$\square$

1 つ目：$t=\sin^2\theta$ は $(0,\frac\pi2)$ から $(0,1)$ への狭義単調増加な $C^1$ 級の全単射で、$dt=2\sin\theta\cos\theta\,d\theta$, $1-t=\cos^2\theta$ である。よって $t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=2(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta$ となる。
2 つ目：$t=\frac w{1+w}$ は $(0,\infty)$ から $(0,1)$ への狭義単調増加な $C^1$ 級の全単射で、$1-t=\frac1{1+w}$, $dt=\frac{dw}{(1+w)^2}$ である。よって $t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=w^{x-1}(1+w)^{-(x-1)-(y-1)-2}\,dw=w^{x-1}(1+w)^{-x-y}\,dw$ となる。
どちらも、両端を除いた有界閉区間で置換積分を行い、端点の極限をとればよい（積分は prop-bt-convergence により絶対収束する）。$\square$

$a:=\operatorname{Re}x$, $b:=\operatorname{Re}y$ とおく。$(0,\infty)$ 上の連続関数で絶対値の広義積分が有限なものについては、広義積分は Lebesgue 積分に一致する（単調収束定理と優収束定理による）。以下この同一視のもとで Fubiniの定理 を使う。
$c>0$ と $\operatorname{Re}z>0$ に対し、置換 $s=cw$ により
$$ \int_0^\infty w^{z-1}e^{-cw}\,dw=\frac{\Gamma(z)}{c^{z}} $$
である（Γ関数の例「尺度変換と Laplace 型積分」）。$t>0$ を固定してこの式を $z=x$, $c=t$ に使うと $\Gamma(x)=t^{x}\int_0^\infty w^{x-1}e^{-tw}\,dw$ なので、
$$ \Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^\infty t^{y-1}e^{-t}\,\Gamma(x)\,dt=\int_0^\infty\Bigl(\int_0^\infty t^{x+y-1}w^{x-1}e^{-t(1+w)}\,dw\Bigr)dt $$
である。被積分関数 $H(t,w):=t^{x+y-1}w^{x-1}e^{-t(1+w)}$ は $(0,\infty)^2$ 上連続で、$|H(t,w)|=t^{a+b-1}w^{a-1}e^{-t(1+w)}$ である。同じ計算を実数 $a,b$ で行うと、Tonelli の定理（Fubiniの定理の記事の定理「Tonelliの定理」）により $\iint|H|\,dt\,dw=\Gamma(a)\Gamma(b)<\infty$ となるので、$H$ は $(0,\infty)^2$ 上可積分である。よって積分の順序を入れ替えてよく、同じ式を $z=x+y$, $c=1+w$ に使うと
$$ \Gamma(x)\Gamma(y)=\int_0^\infty w^{x-1}\Bigl(\int_0^\infty t^{x+y-1}e^{-(1+w)t}\,dt\Bigr)dw=\Gamma(x+y)\int_0^\infty\frac{w^{x-1}}{(1+w)^{x+y}}\,dw=\Gamma(x+y)\,B(x,y) $$
を得る（最後は prop-bt-other-forms）。$\Gamma$ は零点をもたない（Γ関数の系「$\Gamma$ 関数の零点」）ので、$\Gamma(x+y)$ で割って主張を得る。$\square$

1：prop-bt-other-forms で $x=y=\frac12$ とすると $B(\frac12,\frac12)=2\int_0^{\pi/2}d\theta=\pi$ である。thm-bt-gamma と $\Gamma(1)=1$ から $\Gamma(\frac12)^2=\pi$ であり、$\Gamma(\frac12)=\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-t}\,dt>0$ なので $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ である。
2：prop-bt-other-forms で $x=\frac{p+1}2$, $y=\frac{q+1}2$（実部は正）とし、thm-bt-gamma を使う。$q=0$ では 1 により $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ である。$\square$

まず $\operatorname{Re}z>0$ とする。被積分関数 $(t(1-t))^{z-1}$ は $t\mapsto1-t$ で変わらないので $B(z,z)=2\int_0^{1/2}(t(1-t))^{z-1}\,dt$ である。$u=4t(1-t)$ は $(0,\frac12)$ から $(0,1)$ への狭義単調増加な $C^1$ 級の全単射で、$du=4(1-2t)\,dt$, $(1-2t)^2=1-u$ より $dt=\frac{du}{4\sqrt{1-u}}$ である。$t(1-t)=\frac u4$ なので
$$ B(z,z)=2\int_0^1\Bigl(\frac u4\Bigr)^{z-1}\frac{du}{4\sqrt{1-u}}=2^{1-2z}\int_0^1u^{z-1}(1-u)^{-1/2}\,du=2^{1-2z}B\Bigl(z,\frac12\Bigr) $$
である。両辺を thm-bt-gamma で書くと $\frac{\Gamma(z)^2}{\Gamma(2z)}=2^{1-2z}\frac{\Gamma(z)\Gamma(\frac12)}{\Gamma(z+\frac12)}$ であり、$\Gamma(z)\ne0$ で割り、cor-bt-half の $\Gamma(\frac12)=\sqrt\pi$ を使うと主張を得る。
一般の場合：$\Omega:=\mathbb{C}\setminus\{0,-\frac12,-1,-\frac32,\ldots\}$ は連結な開集合で、主張の両辺は $\Omega$ 上正則である（Γ関数の極は $0,-1,-2,\ldots$ だけ）。両辺は $\Omega$ の空でない開部分集合 $\{\operatorname{Re}z>0\}$ で一致するので、一致の定理により $\Omega$ 全体で一致する。$\square$

prop-bt-other-forms と thm-bt-gamma により $B(x,1-x)=\Gamma(x)\Gamma(1-x)/\Gamma(1)$ であり、これは 無限積の定理「Γ関数の相反公式」により $\pi/\sin\pi x$ に等しい。$x=\frac14$ とすると $\Gamma(\frac14)\Gamma(\frac34)=\pi/\sin\frac\pi4=\sqrt2\,\pi$ である。最後の積分は置換 $u=t^4$（$dt=\frac14u^{-3/4}du$）により $\frac14\int_0^1u^{-3/4}(1-u)^{-1/2}\,du=\frac14B(\frac14,\frac12)$ となり、thm-bt-gamma と $\Gamma(\frac34)=\sqrt2\pi/\Gamma(\frac14)$ により
$$ \frac14\cdot\frac{\Gamma(\frac14)\sqrt\pi}{\Gamma(\frac34)}=\frac{\Gamma(\frac14)^2\sqrt\pi}{4\sqrt2\,\pi}=\frac{\Gamma(\frac14)^2}{4\sqrt{2\pi}} $$
である。$\square$