Borsukの問題

1. 1 辺 $1$ の正方形の 4 頂点 $A(0,0)$、$B(1,0)$、$C(1,1)$、$D(0,1)$。最も遠いのは対角線の両端で、直径は $d=\sqrt2$ である。$\{A,B\}$ と $\{C,D\}$ の 2 つに分けると、各部分の直径は $AB=CD=1<\sqrt2$ である。2 つで足りる。
2. 1 辺 $1$ の正三角形の 3 頂点 $A$、$B$、$C$。直径は $d=1$ である。2 つの部分に分けると、3 つの頂点のうち 2 つは同じ部分に入る（3 個の物を 2 つの箱に入れると、ある箱に 2 個以上入る。鳩の巣原理）。その 2 頂点の距離は $1=d$ なので、その部分の直径は $d$ のままである。2 つでは足りない。3 つに分けて各部分を 1 点にすれば、各部分の直径は $0$ になる。

$S=\{A(0,0),\,B(6,0),\,C(2,4),\,D(3,2)\}$（Jungの定理 の例と同じ 4 点、直径 $d=AB=6$）。
(1) $\theta=0^\circ$、$\vec u=(1,0)$：$\vec u\cdot\overrightarrow{OP}$ は $P$ の $x$ 座標で、$A:0$、$B:6$、$C:2$、$D:3$。最大 $6$、最小 $0$ なので、$h(0^\circ)=6$、幅 $w(0^\circ)=6$、中心線は $x=m(0^\circ)=3$ である。
(2) $\theta=60^\circ$、$\vec u=\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$：$A:0$、$B:3$、$C:1+2\sqrt3\approx4.46$、$D:\dfrac32+\sqrt3\approx3.23$。最大 $1+2\sqrt3$、最小 $0$ で、幅は $1+2\sqrt3\approx4.46$、$m(60^\circ)=\dfrac{1+2\sqrt3}2$ である。
(3) $\theta=120^\circ$、$\vec u=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$：$A:0$、$B:-3$、$C:-1+2\sqrt3\approx2.46$、$D:-\dfrac32+\sqrt3\approx0.23$。最大 $2\sqrt3-1$、最小 $-3$ で、幅は $2\sqrt3+2\approx5.46$、$m(120^\circ)=\dfrac{(2\sqrt3-1)+(-3)}2=\sqrt3-2$ である。
どの向きでも幅は直径 $6$ 以下になっている。

ex-bor-width の 4 点（$d=6$）で、$m(0^\circ)=3$、$m(60^\circ)=\dfrac{1+2\sqrt3}2$、$m(120^\circ)=\sqrt3-2$ だったので
$$ g(0^\circ)=\frac{1+2\sqrt3}2-3-(\sqrt3-2)=\frac12+\sqrt3-3-\sqrt3+2=-\frac12 $$
である。段 3 から $g(60^\circ)=\dfrac12$ で、符号が変わる。$g$ を数値で調べると $g(10^\circ)\approx0.306>0$ で、$\theta_0$ は $0^\circ$ と $10^\circ$ の間にある。区間を半分にしていく計算（二分法）で $\theta_0\approx6.21^\circ$、3 本の中心線の交点は $Z\approx(2.872,\,1.174)$ である。4 点は $Z$ を中心とする、向かい合う辺の間隔 $6$ の正六角形に収まる。

ex-bor-hex の正六角形（$Z\approx(2.872,1.174)$、$\theta_0\approx6.21^\circ$）を 3 つの五角形に切ると、4 点は $\{C,D\}$、$\{A\}$、$\{B\}$ に分かれる（数値計算による）。各部分の直径は $CD=\sqrt5\approx2.24$、$0$、$0$ で、どれも $\dfrac{\sqrt3}2\cdot6=3\sqrt3\approx5.20$ 以下である。
この 4 点は、実は 2 つにも分けられる。直径 $6$ を与える組は $A$ と $B$ だけなので、$\{A,C,D\}$ と $\{B\}$ に分けると、$AC=\sqrt{20}\approx4.47$、$AD=\sqrt{13}$、$CD=\sqrt5$ で、各部分の直径は $6$ より小さい。この 4 点の Borsuk 数は $2$ である。thm-bor は「3 つで必ず足りる」ことを主張しており、2 つで足りる集まりも多い。

1. 正五角形の 5 頂点を $P_0,\dots,P_4$ とする（反時計回り）。隣り合わない 2 頂点を結ぶ対角線はどれも同じ長さで、辺より長く、これが直径 $d$ である。2 つの部分に分けると、ある部分に 3 頂点以上が入る（5 個を 2 つの箱に入れる。鳩の巣原理）。5 頂点のうち 3 つを選ぶと、その中に隣り合わない 2 頂点が必ずある（3 つがどれも互いに隣り合うことは、5 頂点が輪に並んでいるのでありえない）。その 2 頂点の距離は $d$ なので、2 つでは足りない。Borsuk 数は $3$ である（thm-bor）。
2. 正六角形の 6 頂点 $P_0,\dots,P_5$。直径は向かい合う頂点の距離（外接円の直径）である。続けて並んだ 3 頂点 $\{P_0,P_1,P_2\}$ と $\{P_3,P_4,P_5\}$ に分けると、各部分で最も遠いのは $P_0P_2$ と $P_3P_5$ で、外接円の半径を $R$ とすると $P_0P_2=P_3P_5=\sqrt3R<2R$ である。2 つで足りる。
   一般に、正 $n$ 角形の頂点の Borsuk 数は、$n$ が偶数なら $2$、奇数なら $3$ である。
   一般の $n$ の場合の証明を開く

   外接円の半径を $R$ とし、頂点を $P_0,\dots,P_{n-1}$ とする（添字は $n$ で割った余りで考える）。$P_i$ と $P_j$ の距離は、中心角 $\dfrac{360^\circ}n\times(\text{添字の差})$ の弦の長さで、中心角が $180^\circ$ に近いほど長い。

   $n$ が偶数のとき：直径は向かい合う頂点の距離 $2R$ である。続けて並んだ $\dfrac n2$ 頂点ずつの 2 つに分けると、各部分の中心角の最大は $\left(\dfrac n2-1\right)\dfrac{360^\circ}n=180^\circ-\dfrac{360^\circ}n<180^\circ$ なので、各部分の直径は $2R$ より小さい。

   $n=2k+1$ が奇数のとき：中心角が $180^\circ$ に最も近いのは添字の差が $k$ または $k+1$ のときで、直径 $d$ を与える組は $P_i$ と $P_{i+k}$（$i=0,\dots,n-1$）である。$P_0\to P_k\to P_{2k}\to\cdots$ と添字を $k$ ずつ進めると、$k$ と $2k+1$ は互いに素なので $n$ 回でちょうどすべての頂点を 1 回ずつ通って $P_0$ にもどり、隣どうしの距離がどれも $d$ である $n$ 頂点の輪ができる。2 つの部分に分けて各部分の直径を $d$ より小さくするには、輪の隣どうしを別の部分に入れる必要があり、部分は輪に沿って交互に入れ替わる。輪の長さ $n$ は奇数なので、1 周してもどったとき $P_0$ の部分が食い違う。したがって 2 つでは足りず、Borsuk 数は $3$ である。$n=5$ では輪は $P_0\to P_2\to P_4\to P_1\to P_3\to P_0$（星形）である。

直径 $d$ の円板（周と内部、無限個の点）を考える。無限個の点の集まりの直径は、2 点の距離の上限（最小の上界）とする。
(1) 3 つで足りる。円板は、同じ中心で向かい合う辺の間隔が $d$ の正六角形に収まる（円はその正六角形の内接円）。prop-bor-split の 3 つの五角形に切れば、各部分の直径は $\dfrac{\sqrt3}2d$ 以下である。
(2) 2 つでは足りない。円板を 2 つの部分 $K_1$、$K_2$ に分け、直径がどちらも $d$ より小さい $d_1$、$d_2$ だったとする。周に内接する正 $(2k+1)$ 角形の最長の対角線は $d\cos\dfrac{90^\circ}{2k+1}$ で、$k$ を大きくすると $d$ に近づくので、$d\cos\dfrac{90^\circ}{2k+1}>\max(d_1,d_2)$ となる $k$ がある（例えば $d_1,d_2\le0.99d$ なら $2k+1=11$ で $d\cos\dfrac{90^\circ}{11}\approx0.9898d$ は足りず、$2k+1=21$ で $\approx0.9972d$ が足りる）。この正多角形の頂点は $K_1$、$K_2$ に分かれ、各部分の 2 頂点の距離は $d_1$ か $d_2$ 以下なので最長の対角線より短い。これは頂点の集まりを直径を小さくする 2 つの部分に分けたことになり、ex-bor-polygon の奇数の場合に反する。

向かい合う辺の間隔が $d$ の正六角形を、$ZV_1$、$ZV_3$、$ZV_5$ で 3 つのひし形 $ZV_1V_2V_3$、$ZV_3V_4V_5$、$ZV_5V_6V_1$ に切る。ひし形 $ZV_1V_2V_3$ の対角線 $V_1V_3$ は、$Z$ からの距離 $\dfrac d{\sqrt3}$ の 2 点でなす角が $120^\circ$ なので
$$ V_1V_3^2=\frac{d^2}3+\frac{d^2}3-2\cdot\frac{d^2}3\cos120^\circ=d^2 $$
で、$V_1V_3=d$ である。各ひし形の直径は $d$ で、prf-bor の「各部分の直径は $d$ より小さい」が言えない。切る線を辺の中点に向けた prop-bor-split では、最も遠い 2 点が中点どうし（$Z$ からの距離 $\dfrac d2$）になり、$\dfrac{\sqrt3}2d$ まで下がる。

五角形 $ZM_1V_1V_2M_2$ の 5 本の辺の長さは $\dfrac d2$、$\dfrac d{2\sqrt3}$、$\dfrac d{\sqrt3}$、$\dfrac d{2\sqrt3}$、$\dfrac d2$ で、最大は $\dfrac d{\sqrt3}\approx0.577d$ である。しかし prf-bor-split のとおり、対角線 $M_1M_2$ は $\dfrac{\sqrt3}2d\approx0.866d$ で、辺より長い。多角形の直径は辺ではなく、対角線も含めたすべての頂点の組で測る（lem-bor-poly）。