Grothendieckの補題(Lp閉部分空間)
概要
Grothendieckの補題(Lp閉部分空間)（Grothendieck's lemma for closed subspaces of Lp）とは、有限測度空間上で、$1\le p<\infty$ とし、実 $L^p$ 空間の閉線形部分空間のすべての元が本質的に有界なら、その部分空間は有限次元であるという定理である。閉グラフ定理により包含から一様なノルム評価を得て、$L^2$ 正規直交系の点ごとの平方和を積分することで次元を抑える。有限測度、有限指数、$L^p$ での閉性のいずれも外せない。
有限測度空間では、有界な関数はすべての有限指数の $L^p$ に入る。しかし逆向きは一般には成り立たず、積分可能な関数は小さい集合の上でいくらでも高い値をとれる。Grothendieck の補題（$L^p$ 閉部分空間）は、この逆向きの包含を、閉じた線形部分空間のすべての元について要求すると、その空間は有限次元でなければならないという定理である。
重要なのは「各関数はそれぞれ本質的に有界」という定性的な条件から出発する点にある。最初からすべての関数に共通する上界を仮定するのではない。閉グラフ定理を使うとノルムの一様な比較が生まれ、さらに $L^2$ の直交性を使うと次元が制限される。この記事ではその二つの段階を分け、有限測度、有限指数、閉部分空間という各仮定の役割も確認する。
主張と包含の意味
$(X,\mathcal A,\mu)$ を測度空間とし、この記事では関数も線形空間も実数値で考える。$L^p(X)$ の元は、ほとんど至る所等しい関数を同一視した同値類である。$1\le p<\infty$ に対し
$$
\|f\|_p=\left(\int_X|f|^p\,d\mu\right)^{1/p},\qquad
\|f\|_\infty=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}|f(x)|
$$
と書く。$L^\infty$ 所属とは、ある有限な $B$ があって $|f|\le B$ がほとんど至る所成り立つことである。例外的な零集合の上で代表関数の値が大きくても、$L^\infty$ ノルムには影響しない。
$1\le p<\infty$ とする。$E$ が $L^p(X)$ の閉線形部分空間であるとは、線形部分空間であり、$E$ 内の列が $L^p$ ノルムで収束すると、その極限も $E$ に属することをいう。
$E\subset L^\infty(X)$ という条件は、$E$ の各元が本質的に有界であることを意味する。この段階では、$\|f\|_\infty$ と $\|f\|_p$ の比が $E$ 全体で有界であるとは仮定しない。
$\mu(X)<\infty$、$1\le p<\infty$ とする。$E$ が $L^p(X)$ の閉線形部分空間であり、$E\subset L^\infty(X)$ を満たすなら、$E$ は有限次元である。Bre11 Exercise 5.29、pp. 154–155。
$\mu(X)=0$ なら、すべての関数がほとんど至る所零と等しく、$L^p(X)=\{0\}$ だから結論は自明である。以後は
$$
0< m:=\mu(X)<\infty
$$
とする。確率空間なら $m=1$ である。$X$ の位相やコンパクト性は仮定しない。原子をもつ測度でも、原子をもたない測度でも同じ定理が成り立つ。
有限測度から Hölder の不等式によって
$$
\|f\|_p\le m^{1/p}\|f\|_\infty
$$
が成り立つ。したがって $L^\infty(X)\subset L^p(X)$ は連続な包含である。補題の仮定は、$E$ の上でだけ、その逆向きの集合としての包含が成り立つというものだ。$E$ の閉性を使ってこの逆向きも連続にし、最終的に有限次元性へ結びつける。
二つの異なる「有界」
たとえば $f\in E$ ごとに $B_f<\infty$ があって $|f|\le B_f$ がほとんど至る所成り立つことと、ある $C$ があって $\|f\|_\infty\le C\|f\|_p$ がすべての $f\in E$ に成り立つことは、最初は別の条件である。前者の $B_f$ は関数ごとに自由に変わる。後者は $L^p$ の単位球全体の高さを一つの定数で抑える。
線形空間において、すべての関数の $L^\infty$ ノルムが同じ定数以下という条件を課すと、非零の関数をスカラー倍するだけで矛盾する。ここで一様に制御するのは全空間そのものの高さではなく、$\|f\|_p\le1$ に正規化した関数の高さである。
閉性から一様なノルム評価へ
主定理の仮定のもとで、ある $C>0$ が存在し、
$$
\|f\|_\infty\le C\|f\|_p\qquad(f\in E)
$$
が成り立つ。
$E$ は Banach 空間 $L^p(X)$ の閉部分空間なので、$L^p$ ノルムについて Banach 空間である。$L^\infty(X)$ も Banach 空間である。包含写像
$$
J\colon (E,\|\cdot\|_p)\longrightarrow L^\infty(X),\qquad Jf=f
$$
は仮定により全 $E$ 上で定義された線形写像である。
この写像のグラフが閉じていることを示す。$f_j\in E$ が $f_j\to f$ in $L^p$、かつ $Jf_j\to g$ in $L^\infty$ を満たすとする。有限測度の評価によって
$$
\|f_j-g\|_p\le m^{1/p}\|f_j-g\|_\infty\longrightarrow0.
$$
$L^p$ での極限の一意性により $f=g$ がほとんど至る所成り立つ。よって $(f,g)$ も $J$ のグラフに入り、グラフは閉じている。
閉グラフ定理 の定理「閉グラフ定理」を、この二つの Banach 空間の間の $J$ に適用する。$J$ は連続なので、求める定数 $C$ が得られる。$E=\{0\}$ の場合も、任意の正の $C$ を選べばよい。$\square$
ここで用いた閉グラフ定理は、線形写像のグラフの閉性から連続性を導く一般定理である。その一般証明は参照先に置き、この記事では包含写像のグラフが実際に閉じることを確かめた。$E$ が閉じていなければ、定義域が Banach 空間とは限らないので、この適用はできない。
次は直交系を使えるように、$p$ とは異なる指数 $2$ のノルムで評価し直す段階である。$E\subset L^\infty$ と有限測度から、$E$ の各元は既に $L^2$ にも入る。ただし $L^p$ の場合と $L^2$ の場合で、どちらのノルムが大きいかは $p$ によって変わる。
prop-glp-inclusion の定数を $C$ とする。すべての $f\in E$ について
$$
\|f\|_\infty\le M\|f\|_2
$$
となる $M>0$ が存在する。具体的に
$$
M=\begin{cases}
C m^{1/p-1/2},&1\le p\le2,\\
C^{p/2},&2< p<\infty
\end{cases}
$$
と選べる。
$1\le p\le2$ なら、有限測度上の Hölder の不等式により $\|f\|_p\le m^{1/p-1/2}\|f\|_2$ である。これを prop-glp-inclusion に代入すればよい。
$p>2$ なら
$$
\|f\|_p^p=\int|f|^{p-2}|f|^2\,d\mu\le\|f\|_\infty^{p-2}\|f\|_2^2.
$$
従って
$$
\|f\|_\infty\le C\|f\|_p\le C\|f\|_\infty^{1-2/p}\|f\|_2^{2/p}.
$$
$\|f\|_\infty=0$ なら自明であり、正ならその $1-2/p$ 乗で割ると $\|f\|_\infty^{2/p}\le C\|f\|_2^{2/p}$。両辺を $p/2$ 乗して結論を得る。$\square$
この補題では、$p>2$ の場合にも $\|f\|_p\le\text{定数}\cdot\|f\|_2$ を最初から仮定していない。$L^\infty$ 評価を一度挟み、同じ $\|f\|_\infty$ の因子を吸収している。任意の $L^2$ 関数には通用しない操作だが、$E$ の各元については有限な $L^\infty$ ノルムがあるので合法である。
主定理の仮定のもとで $E$ は $L^2(X)$ の閉線形部分空間でもあり、$L^2$ の内積を入れると Hilbert 空間になる。
$f_j\in E$ が $L^2$ で $f$ に収束するとする。差 $f_j-f_k\in E$ に lem-glp-two を使うと
$$
\|f_j-f_k\|_\infty\le M\|f_j-f_k\|_2\longrightarrow0.
$$
$L^\infty$ の完備性から、ある $g\in L^\infty$ に $f_j\to g$ in $L^\infty$ である。有限測度なので $\|f_j-g\|_2\le m^{1/2}\|f_j-g\|_\infty\to0$、従って $f=g$ がほとんど至る所成り立つ。同様に $\|f_j-g\|_p\le m^{1/p}\|f_j-g\|_\infty\to0$。$E$ は $L^p$ で閉じているから $g\in E$、よって $f\in E$ となる。$L^2$ の閉部分空間の完備性から最後の結論も従う。$\square$
極限 $f$ が $E$ に属することを証明する前に、$f$ 自身へ lem-glp-two を適用してはいけない。上の証明ではその評価を $E$ 内の差だけへ使い、$L^\infty$ の極限を経由して所属を回収している。
直交性から次元を抑える
高さの評価と次元を結びつけるのは、有限個の正規直交関数の平方和である。ここでは $E$ の可分性や無限の正規直交基底を仮定する必要はない。必要な大きさの有限直交系だけを考える。
$E\subset L^2(X)\cap L^\infty(X)$ を実線形空間とし、すべての $f\in E$ について $\|f\|_\infty\le M\|f\|_2$ とする。$e_1,\ldots,e_N\in E$ が $L^2$ で正規直交なら
$$
\sum_{j=1}^N e_j(x)^2\le M^2\quad\text{ほとんど至る所},\qquad
N\le M^2\mu(X).
$$
各 $e_j$ の可測な代表を選ぶ。有理係数ベクトル $a=(a_1,\ldots,a_N)\in\mathbb Q^N$ ごとに、ノルム評価と正規直交性から
$$
\left|\sum_{j=1}^Na_je_j(x)\right|\le M\left(\sum_{j=1}^Na_j^2\right)^{1/2}
$$
がほとんど至る所成り立つ。この段階の例外零集合は $a$ に依存してよい。$\mathbb Q^N$ は可算なので、それらの零集合の合併も零集合である。さらに各 $e_j$ が有限値でない零集合を取り除き、得られる一つの例外集合を $Z$ とする。
$x\notin Z$ を固定すると、上の不等式はすべての有理係数 $a$ に同時に成り立つ。両辺は $a\in\mathbb R^N$ の連続関数なので、有理係数による近似からすべての実係数にも成り立つ。そこでこの $x$ に対して
$$
a_j=e_j(x),\qquad S(x)=\sum_{j=1}^Ne_j(x)^2
$$
と選ぶことができる。$S(x)\le M\sqrt{S(x)}$ となり、$S(x)=0$ の場合と正の場合を分ければ $S(x)\le M^2$ を得る。
これを積分すると、各 $e_j$ の $L^2$ ノルムが $1$ であることから
$$
N=\sum_{j=1}^N\int_Xe_j^2\,d\mu=\int_XS\,d\mu\le M^2\mu(X).
$$
以上で二つの結論が得られた。$\square$
この証明では、ほとんど至る所の不等式に、点 $x$ に依存する係数を代入している。それを可能にするのが共通の例外零集合 $Z$ である。各実係数に対して別々の零集合しか取っていない段階で、いきなり $a_j=e_j(x)$ と置くのは正当ではない。可算な有理係数で共通化してから連続性で全実係数へ広げる順序が必要になる。
thm-glp-main を証明する。測度零の空間は既に扱ったので $m>0$ とする。prop-glp-inclusion と lem-glp-two により、すべての $f\in E$ に $\|f\|_\infty\le M\|f\|_2$ となる定数がある。
もし $E$ が無限次元なら、任意の正整数 $N$ に対して $N$ 個の線形独立な元を選べる。有限回の Gram–Schmidt の直交化を $L^2$ 内積に関して行えば、$E$ に属する $N$ 個の正規直交関数が得られる。すると lem-glp-diagonal により $N\le M^2m$。しかし $M^2m$ より大きい整数 $N$ も選べるので矛盾する。従って $E$ は有限次元である。実際、有限次元になった後にその正規直交基底へ同じ補題を使えば
$$
\boxed{\dim E\le M^2m}
$$
という定量的な結論も得られる。$\square$
最後の背理法自体には $E$ が $L^2$ で閉じることまでは必要ない。有限個の独立な関数を直交化できれば足りる。一方 prop-glp-ltwo-closed は、どの空間構造を保って $L^2$ へ移ったかを明らかにする。$L^p$、$L^2$、$L^\infty$ の三つを通る証明で、所属と閉性を混同しないために有用である。
例と次元上界の読み方
$X=A_1\sqcup\cdots\sqcup A_N$ を、各 $\mu(A_j)=m_j>0$ となる有限可測分割とする。
$$
E=\left\{\sum_{j=1}^Nc_j1_{A_j}:c_j\in\mathbb R\right\}
$$
は $N$ 次元で、各元は有界である。$L^p$ で閉じていることも直接分かる。実際、
$$
\left\|\sum_jc_j1_{A_j}\right\|_p^p=\sum_jm_j|c_j|^p
$$
だから、$E$ 内の $L^p$ Cauchy 列では各係数が Cauchy となり、その極限も同じ形で表される。
$L^2$ 正規直交基底は $e_j=1_{A_j}/\sqrt{m_j}$ である。このとき最小の $L^2$ から $L^\infty$ への評価定数は
$$
M=\max_jm_j^{-1/2}.
$$
上からの評価は $m_j|c_j|^2\le\|f\|_2^2$、下からの評価は一つの $A_j$ の上だけで非零の関数を選べば分かる。すべての分割片が同じ測度 $m/N$ なら $M^2=N/m$ であり、主定理の定量評価 $N\le M^2m$ は等号になる。
この例は、測度が小さい集合へ関数が集中できるほど、$L^2$ ノルムを一定に保ったまま高さを大きくできることを示す。同じ全測度 $m$ の中へ同じ大きさの直交方向を多数置くと、その数に応じて評価定数 $M$ も大きくしなければならない。
$0\ne h\in L^\infty(X)$ とし、$E=\mathbb Rh$ とする。有限測度なので $h\in L^p\cap L^2$ である。$E$ は有限次元ゆえ $L^p$ で閉じており、補題の仮定を満たす。この場合
$$
\|ch\|_\infty=\frac{\|h\|_\infty}{\|h\|_2}\|ch\|_2
$$
だから $M=\|h\|_\infty/\|h\|_2$ とできる。次元上界は
$$
1\le m\frac{\|h\|_\infty^2}{\|h\|_2^2}
$$
となり、これは $\int|h|^2\le m\|h\|_\infty^2$ と同じ内容である。定量評価は、1 次元では基本的な積分評価と一致する。
$X=(0,1)$ に Lebesgue 測度を入れ、$E_d$ を次数が $d$ 以下の実多項式の同値類全体とする。非零の多項式は零でない区間をもつので、$1,x,\ldots,x^d$ は $L^p$ の同値類としても線形独立である。$E_d$ は $d+1$ 次元の閉部分空間で、各多項式は $[0,1]$ 上連続なので有界である。
従ってある $M_d$ により $\|f\|_\infty\le M_d\|f\|_2$ が成り立つが、定量評価は $d+1\le M_d^2$ を要求する。すべての次数に共通する一つの $M$ は選べない。実際、$f(x)=x^d$ だけを見ても $\|f\|_\infty=1$、$\|f\|_2=(2d+1)^{-1/2}$ なので、$M_d\ge\sqrt{2d+1}$ となる。
次数を固定した空間についてのノルム同値と、すべての次数を集めた空間についての一様評価は異なる。各 $E_d$ に有限な定数が存在することから、それらの合併に共通の定数があるとは結論できない。この区別は、有限次元近似を使う場面でも必要になる。
閉部分空間の中に非有界関数が必ず現れる
主定理の対偶として、有限測度空間の $L^p$、$1\le p<\infty$ にある無限次元の閉線形部分空間は、少なくとも一つの本質的に非有界な関数を含む。$L^p$ の正規化された関数の高さをいくらでも大きくできる、というだけでなく、空間の一つの元として本質的非有界な関数が存在する。
これは、生成に使った関数がすべて有界である場合にも当てはまる。有界関数の有限線形結合が有界であることは自明だが、その $L^p$ 閉包のすべての元が有界とは限らない。有限線形結合の空間とその閉包を区別する必要がある。
仮定を外した反例
| 外す条件 | 保持する条件と例 | 成り立たなくなる結論 |
|---|---|---|
| $L^p$ で閉じていること | $[0,1]$ 上の連続関数を $(0,1)$ へ制限した空間は線形で全元が有界 | 有限次元とは限らない |
| 測度が有限であること | 計数測度上の $\ell^p$ は閉じており全元が有界 | 有限次元とは限らない |
| 指数 $p$ が有限であること | $(0,1)$ 上の $E=L^\infty$ 自身 | 閉性と全元の有界性から有限次元性は出ない |
| 全元が有界であること | $E=L^p(0,1)$ 自身 | 有限次元とは限らない |
$E$ を、$[0,1]$ 上の実連続関数を $(0,1)$ へ制限して得られる $L^p(0,1)$ の同値類全体とする。各元は有界であり、$1,x,x^2,\ldots$ が線形独立なので $E$ は無限次元である。
$E$ が $L^p$ で閉じていないことは、非有界な極限を具体的に作れば分かる。$a=1/(2p)$ とし、$f(x)=x^{-a}$、$f_N(x)=\min(N,x^{-a})$ とおく。$f_N(0)=N$ と定めれば $f_N$ は $[0,1]$ 上連続なので $E$ に入る。一方、
$$
\int_0^1|f|^p\,dx=\int_0^1x^{-1/2}\,dx=2
$$
であり、$f\in L^p$ だが本質的に非有界である。しかも差があるのは $0< x< N^{-2p}$ だけなので
$$
\|f-f_N\|_p^p\le\int_0^{N^{-2p}}x^{-1/2}\,dx=2N^{-p}\longrightarrow0.
$$
従って $f_N\to f$ in $L^p$、しかし $f\notin E$ である。有限測度、有限指数、線形性、全元の有界性を保持し、閉性だけを外した反例となる。
$X=\mathbb N$ に計数測度を入れると、$\mu(X)=\infty$、$L^p(X)=\ell^p$、$L^\infty(X)=\ell^\infty$ である。$1\le p<\infty$ に対し、$E=\ell^p$ は $L^p(X)$ 全体なので閉じており、
$$
|a_j|^p\le\sum_k|a_k|^p,\qquad \|a\|_\infty\le\|a\|_p
$$
からすべての元が有界である。しかし標準単位ベクトルは任意個数だけ線形独立なので $E$ は無限次元である。
特に $p=2$ では高さの評価を $M=1$ で満たすが、次元評価の右辺は $M^2\mu(X)=\infty$ となる。直交平方和の積分が次元の有限上界を与える段階で、有限測度性を失うことが分かる。
$X=(0,1)$ に Lebesgue 測度を入れ、$E=L^\infty(0,1)$ とする。全体として閉じた線形空間であり、各元が本質的に有界であることも定義どおりである。互いに素な正測度区間 $A_1,A_2,\ldots$ の指示関数は線形独立なので、$E$ は無限次元である。
包含写像の評価 $\|f\|_\infty\le C\|f\|_p$ は $p=\infty$、$C=1$ では何の制限にもならない。$L^2$ による高さの評価へ移る段階こそが失われる。実際、$A=(0,\varepsilon)$ の指示関数は $L^\infty$ ノルムが $1$、$L^2$ ノルムが $\sqrt\varepsilon$ なので、$\varepsilon\downarrow0$ に対して共通の $M$ は存在しない。
$E=L^p(0,1)$ とすると、$E$ は閉じた無限次元部分空間である。任意の $f\in E$ に対し
$$
f_N=\max(-N,\min(f,N))
$$
は有界で、$|f-f_N|^p\le |f|^p1_{\{|f|>N\}}$ から $f_N\to f$ in $L^p$ である。従って $E\cap L^\infty$ は $E$ で稠密である。しかし ex-glp-not-closed の $x^{-1/(2p)}$ は $E$ の本質的非有界な元であり、全元が有界という主定理の仮定は満たさない。
したがって「有界な関数が稠密にある」を「すべての元が有界である」に置き換えることはできない。閉包を取る操作と有界性の保存を、別々に検査する必要がある。
何が有限次元性を生むのか
この補題の結論は、単に二つのノルムが同値だから有限次元という論法ではない。無限次元の線形空間にも同値なノルムをいくつも入れられる。ここで使ったのは、関数空間としての高さと積分の関係に、有限測度と正規直交性を組み合わせた事実である。
直交系 $e_1,\ldots,e_N$ の各元は、積分した二乗の大きさを $1$ ずつ持つ。一方、高さの一様評価は、それらの任意の線形結合の点ごとの大きさを制御する。この全線形結合への制御から、一つの点における二乗和全体が $M^2$ 以下となる。有限の測度を積分すると、総量 $N$ に有限な上限が生まれる。個々の $e_j$ の高さを別々に抑えるだけでは、$N$ 個を足した平方和は $NM^2$ 以下にしかならず、次元を抑えられない。
| 段階 | 使う仮定 | 得るもの |
|---|---|---|
| 包含の閉グラフ | $L^p$ で閉、全元 $L^\infty$、有限測度 | $\|f\|_\infty\le C\|f\|_p$ |
| 指数の変更 | $p<\infty$、Hölder と積の評価 | $\|f\|_\infty\le M\|f\|_2$ |
| 共通例外集合 | 有限直交系、有理係数の可算性 | 全実係数の点ごとの評価 |
| 次元上界 | 有限測度と正規直交性 | $\dim E\le M^2\mu(X)$ |
またこの定理は、有限次元部分空間なら必ず有界関数だけからなるという逆命題を述べていない。たとえば $f=x^{-1/(2p)}$ が張る $L^p(0,1)$ の 1 次元部分空間は閉じているが、その非零元はすべて本質的非有界である。「全元有界」は有限次元性の十分条件を構成する一つの仮定であり、有限次元部分空間一般の特徴づけではない。
関連項目
参考文献
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