埋め込み次元

同義語：埋入次元embedding dimension

概要

定義

埋め込み次元

$(A,\mathfrak m,k)$ を可換な局所環、すなわち $\mathfrak m$ を唯一の極大イデアル、$k:=A/\mathfrak m$ を剰余体とする局所環とする。$A$ の 埋め込み次元（embedding dimension）、または 埋入次元を
$$ \operatorname{edim}A:= \dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2 $$
で定める。この次元は無限基数でもよい。$k$-ベクトル空間 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は、代数幾何では閉点の Zariski余接空間と呼ばれ、その双対
$$ (\mathfrak m/\mathfrak m^2)^\vee =\operatorname{Hom}_k(\mathfrak m/\mathfrak m^2,k) $$
が Zariski接空間である。

正則局所環

$A$ が Noether環である局所環のとき、Krull 次元を $\dim A$ と書く。Noether 局所環 $A$ が 正則局所環（regular local ring）であるとは
$$ \dim A=\operatorname{edim}A $$
を満たすことをいう。

直感

$\mathfrak m$ の元は閉点で消える関数、$\mathfrak m^2$ の元はその積からできる「二次以上の微小量」とみなせる。したがって $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は、閉点の近くで独立に動ける一次方向を測る。埋め込み次元はその方向の数であり、Noether局所環では極大イデアルを生成するために必要な局所座標の最小数に一致する。
Krull 次元が局所空間そのものの次元を測るのに対し、埋め込み次元は接空間の次元を測る。滑らかな点では両者が一致する。特異点では接空間が実際の局所次元より大きくなり、その差
$$ \operatorname{edim}A-\dim A $$
は特異性の粗い指標になる。

極大イデアルの生成元との関係

局所形のNakayamaの補題

$(A,\mathfrak m)$ を局所環、$M$ を有限生成 $A$-加群とする。$\mathfrak mM=M$ なら $M=0$ である。

$M\neq0$ と仮定し、$M$ の生成元の個数が最小となる組 $u_1,\ldots,u_r$ を取る。このとき $r\geq1$ である。$M=\mathfrak mM$ だから
$$ u_r=a_1u_1+\cdots+a_ru_r \qquad(a_i\in\mathfrak m) $$
と書ける。したがって
$$ (1-a_r)u_r=a_1u_1+\cdots+a_{r-1}u_{r-1}. $$
$a_r\in\mathfrak m$ なので $1-a_r\notin\mathfrak m$ であり、局所環では極大イデアルに属さない元は単元である。ゆえに $u_r$ は $u_1,\ldots,u_{r-1}$ の一次結合になり、生成元の個数の最小性に矛盾する。従って $M=0$ である。

埋め込み次元は極大イデアルの最小生成元数である

$(A,\mathfrak m,k)$ を Noether 局所環とする。元 $x_1,\ldots,x_r\in\mathfrak m$ が $\mathfrak m$ を生成することと、その剰余類 $\overline{x}_1,\ldots,\overline{x}_r$ が $k$-ベクトル空間 $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ を生成することは同値である。特に
$$ \operatorname{edim}A =\text{$\mathfrak m$ の最小生成元数} $$
である。

$\mathfrak m=(x_1,\ldots,x_r)$ なら、剰余類が $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ を生成することは直ちに従う。
逆に剰余類が生成すると仮定し、$N:=\mathfrak m/(x_1,\ldots,x_r)$ とおく。仮定は
$$ \mathfrak m=(x_1,\ldots,x_r)+\mathfrak m^2 $$
を意味するので、商を取れば $N=\mathfrak mN$ である。$A$ は Noether 環だから $\mathfrak m$、従って $N$ は有限生成である。上で証明した Nakayama の補題より $N=0$、すなわち $\mathfrak m=(x_1,\ldots,x_r)$ である。
$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の基底を持ち上げれば $\mathfrak m$ の生成系が得られる。逆に任意の生成系の剰余類はこのベクトル空間を生成するので、生成元数はその次元以上である。よって最小生成元数は $\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2$ に等しい。

商環での計算

商による埋め込み次元

$(A,\mathfrak m,k)$ を局所環、$I\subset\mathfrak m$ をイデアルとする。このとき $A/I$ は極大イデアル $\mathfrak m/I$、剰余体 $k$ をもつ局所環であり、
$$ \operatorname{edim}(A/I) =\dim_k\frac{\mathfrak m}{\mathfrak m^2+I} $$
である。特に $I\subset\mathfrak m^2$ なら
$\operatorname{edim}(A/I)=\operatorname{edim}A$ である。

$A/I$ の極大イデアルの平方は
$$ (\mathfrak m/I)^2=(\mathfrak m^2+I)/I $$
である。従って第三同型定理により
$$ \frac{\mathfrak m/I}{(\mathfrak m/I)^2} \cong \frac{\mathfrak m/I}{(\mathfrak m^2+I)/I} \cong \frac{\mathfrak m}{\mathfrak m^2+I}. $$
両辺の $k$-次元を取れば公式を得る。$I\subset\mathfrak m^2$ の場合は分母が $\mathfrak m^2$ になる。

Krull次元と正則性

次元不等式と正則局所環

$(A,\mathfrak m,k)$ を Noether 局所環とする。このとき
$$ \dim A\leq\operatorname{edim}A $$
である。等号が成り立つことは $A$ が正則局所環であることと同値である。

出典と依存境界

不等式は $\mathfrak m$ の最小生成元数に対する Krull の高さ定理から従う。等号は正則局所環の標準的な特徴づけである。本記事では Nakayama の補題と最小生成元数の部分を証明し、高さ定理は Mat86 §13、AM69 Chapter 11 に委ねる。外部定理を本記事内で証明したものとして扱わない。

例

体と離散付値環

体 $k$ は極大イデアル $0$ をもつので $\operatorname{edim}k=0$ であり、$\dim k=0$ だから正則局所環である。
離散付値環 $(A,(\pi),k)$ では
$$ (\pi)/(\pi^2) $$
が $\overline\pi$ で生成される1次元 $k$-ベクトル空間なので $\operatorname{edim}A=1$ である。体でない離散付値環の Krull 次元は $1$ だから正則局所環である。

形式的冪級数環

$A=k[\![x_1,\ldots,x_d]\!]$ とし、$\mathfrak m=(x_1,\ldots,x_d)$ とする。任意の冪級数は定数項、一次項、二次以上の項の和に一意に分かれるので、$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は
$$ \overline{x}_1,\ldots,\overline{x}_d $$
を基底にもち、$\operatorname{edim}A=d$ である。また $\dim A=d$ だから $A$ は正則局所環である。

平面曲線の特異点

$A=k[\![x,y]\!]/(y^2-x^3)$ とする。$k[\![x,y]\!]$ の極大イデアルを $\mathfrak n=(x,y)$ とすると $y^2-x^3\in\mathfrak n^2$ だから、上の商公式により
$$ \operatorname{edim}A=2. $$
一方、$A$ は1次元の局所環である（例えば $x\mapsto t^2,y\mapsto t^3$ により $k[\![t^2,t^3]\!]$ と同一視でき、$k[\![t^2]\!]$ 上有限整であることから分かる）。従って $\dim A=1<2=\operatorname{edim}A$ であり、原点は正則でない。これは平面尖点の接空間が曲線自身より1次元大きいことを表す。

埋め込み次元が無限になる例

$R=k[x_1,x_2,\ldots]$、$\mathfrak m=(x_1,x_2,\ldots)$ とし、$A=R_{\mathfrak m}$ とする。$\mathfrak mA/(\mathfrak mA)^2$ では $x_i$ の剰余類が可算無限個の基底をなすため、$\operatorname{edim}A$ は可算無限である。この $A$ は Noether 環でない。従って「埋め込み次元は有限」という結論には Noether 性などの有限性仮定が必要である。

反例と注意

生成元数は環全体でなく極大イデアルについて測る

$A$ が1元生成の $k$-代数であることと、局所環 $A$ の埋め込み次元が1であることは別の主張である。埋め込み次元は $A$ の代数生成元数ではなく、選んだ局所点の極大イデアルの最小生成元数を測る。局所化する点が変われば値が変わり得る。

接空間の次元だけでは局所環を決められない

$k[\![x]\!]$ と $k[\![x]\!]/(x^2)$ はどちらも埋め込み次元1である。しかし前者は Krull 次元1の正則局所整域、後者は Krull 次元0で非零冪零元をもつ非正則局所環である。従って「埋め込み次元が等しいなら局所環が同型」という含意は成り立たない。埋め込み次元は一次近似だけを記録し、高次の関係式を忘れるからである。

学習の道筋

まず局所環と極大イデアル、剰余体を確認し、$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ が $k$-ベクトル空間になる理由を理解する。次に Nakayama の補題を通じて、余接空間の基底と極大イデアルの最小生成系が一致することを学ぶ。その後、Krull 次元との不等式を使って正則局所環を判定し、形式的冪級数環と曲線特異点を比較すると、代数的な定義と幾何学的な接空間の意味が結びつく。