正則素数

直接の計算．漸化式（Bernoulli数 の命題「漸化式・奇数番目・大きさ」）で計算すると
$$ B_{32}=-\frac{7709321041217}{510},\qquad 7709321041217=37\times208360028141 $$
である（有限計算。右の等式は掛け算で確かめられる）。
合同式による計算．大きな数を使わずに確かめる。$p=37$、$k=32$ は $36\nmid32$ をみたし、$a=2$ は法 $37$ の原始根である（$2^{18}\equiv-1$、$2^{12}\equiv26\not\equiv1\pmod{37}$）。Kummerの合同式 の定理「$B_k/k$ の法 $p$ での表示」により
$$ (2^{32}-1)\frac{B_{32}}{32}\equiv2^{31}\,T,\qquad T:=\sum_{j=1}^{36}j^{31}\Bigl\lfloor\frac{2j}{37}\Bigr\rfloor\pmod{37} $$
で、$2^{32}-1$ は $37$ と互いに素である。$\lfloor2j/37\rfloor$ は $j\ge19$ で $1$、$j\le18$ で $0$ なので $T=\sum_{j=19}^{36}j^{31}$ である。$j=37-i$（$1\le i\le18$）と書くと、$i^{36}\equiv1$ から $j^{31}\equiv(-i)^{31}\equiv-i^{-5}\pmod{37}$ で、$T\equiv-\sum_{i=1}^{18}i^{-5}$ である。$i^{-5}$ の法 $37$ での剰余は $i=1,\dots,18$ の順に
$$ 1,22,30,3,24,31,33,29,12,10,11,16,18,23,17,9,2,5 $$
で、和は $296=8\times37$ である。よって $T\equiv0$、$\frac{B_{32}}{32}\equiv0\pmod{37}$ で、$37\nmid32$ なので $37$ は $B_{32}$ の分子を割る。
$32\le37-3$ なので thm-rgp-kummer-criterion により $37$ は非正則である。ex-rgp-small により $31$ 以下の奇素数は正則なので、$37$ は最小の非正則素数である。$\square$

1．$\frac{1-\zeta^k}{1-\zeta}=1+\zeta+\dots+\zeta^{k-1}\in\mathcal O$ である。$kk'\equiv1\pmod p$ となる $k'>0$ をとると $\zeta=(\zeta^k)^{k'}$ なので、同様に $\frac{1-\zeta}{1-\zeta^k}\in\mathcal O$ である。
2．$\zeta$ の最小多項式 $1+X+\dots+X^{p-1}$ はモニックで次数 $p-1$ なので、$1,\zeta,\dots,\zeta^{p-2}$ は $\mathcal O=\mathbb Z[\zeta]$ の $\mathbb Z$ 基底である。$\zeta^j$ を除いた $p-1$ 個は、$\zeta^j=-\sum_{i\neq j}\zeta^i$ から $\mathcal O$ を生成する。$\mathbb Z^{p-1}$ から $\mathbb Z^{p-1}$ への全射な準同型は、$\mathbb Q$ 上に延ばすと全射な線形写像、したがって単射なので、それ自身も単射である。よってこの $p-1$ 個も基底である。$a_j=0$ なら $\alpha$ はこの基底で係数 $a_i$（$i\neq j$）をもつ。$\alpha=n\gamma$、$\gamma=\sum_{i\neq j}c_i\zeta^i$ と書くと、基底の係数を比べて $a_i=nc_i$ である。
3．$\beta=\sum_ic_i\zeta^i$（$c_i\in\mathbb Z$）と書く。$\mathcal O/p\mathcal O$ は標数 $p$ の環なので $p$ 乗は加法的で、$\beta^p\equiv\sum_ic_i^p\zeta^{ip}=\sum_ic_i^p\pmod{p\mathcal O}$ である。
4．$K\subset\mathbb C$ で、複素共役は $\zeta$ を $\bar\zeta=\zeta^{-1}\in K$ に移すので $K$ の自己同型 $\sigma_{-1}$ を引き起こし、$\mathcal O=\mathbb Z[\zeta]$ と $p\mathcal O$ を保つ。$\operatorname{Gal}(K/\mathbb Q)\cong(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$ は可換なので $\sigma\sigma_{-1}=\sigma_{-1}\sigma$ である。$\square$

$d:=[L:\mathbb Q]$ とする。正の整数 $k$ について $P_k(X):=\prod_{\sigma}(X-\sigma(\alpha)^k)$ は $\alpha^k$ の最小多項式の $[L:\mathbb Q(\alpha^k)]$ 乗で、$\alpha^k$ は代数的整数なので 代数的整数 の命題「最小多項式による判定」により $P_k\in\mathbb Z[X]$ である。根の絶対値はすべて $1$ なので、$X^{d-i}$ の係数の絶対値は $\binom di$ 以下である。そのような次数 $d$ の整数係数多項式は有限個しかなく、その根も有限個なので、$\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\dots$ の中に等しいもの $\alpha^k=\alpha^l$（$k< l$）がある。$\alpha\neq0$ なので $\alpha^{l-k}=1$ である。$\square$

1．$\eta\in K$ を $1$ の冪根とする。$-\zeta$ と $\eta$ が生成する $\mathbb C^\times$ の有限部分群は巡回群で（1の冪根 の命題「複素数の乗法群の有限部分群」）、その位数 $M$ は $-\zeta$ の位数 $2p$ の倍数である。生成元は $K$ に属する原始 $M$ 乗根なので、円分体 の定義の直後の段落により $\varphi(M)=[\mathbb Q(\zeta_M):\mathbb Q]\le[K:\mathbb Q]=p-1$ である。$M$ が $p^2$、$4$、$p$ 以外の奇素数 $q$ のどれかで割り切れれば、$\varphi$ の乗法性により $\varphi(M)$ は $p(p-1)$、$2(p-1)$、$(p-1)(q-1)$ のどれか以上になり、$p-1$ を超える。よって $M=2p$ で、$\eta$ は $-\zeta$ の冪、すなわち $\pm\zeta^a$ である。
2．$\bar\varepsilon$ も単元なので $\alpha:=\varepsilon/\bar\varepsilon\in\mathcal O$ である。lem-rgp-basic の 4 により $\lvert\sigma(\alpha)\rvert=\lvert\sigma(\varepsilon)\rvert/\lvert\overline{\sigma(\varepsilon)}\rvert=1$ なので、lem-rgp-kronecker と 1 により $\alpha=\pm\zeta^a$ である。
符号が $+$ であることを示す。$\varepsilon=\sum_ib_i\zeta^i$（$b_i\in\mathbb Z$）と書くと、$\zeta\equiv1\pmod{\lambda}$ から $\varepsilon\equiv\sum_ib_i$、$\bar\varepsilon=\sum_ib_i\zeta^{-i}\equiv\sum_ib_i\pmod\lambda$ で、$\varepsilon\equiv\bar\varepsilon\pmod\lambda$ である。$\alpha=-\zeta^a$ なら $\varepsilon=-\zeta^a\bar\varepsilon\equiv-\varepsilon\pmod\lambda$、すなわち $2\varepsilon\in\lambda\mathcal O$ である。$\lambda\mathcal O$ は素イデアルで、$2\notin\lambda\mathcal O$（$\lambda\mathcal O\cap\mathbb Z=p\mathbb Z$、$p$ は奇数）なので $\varepsilon\in\lambda\mathcal O$ となり、$\varepsilon$ が単元であることに反する。
よって $\alpha=\zeta^a$ である。$2r\equiv a\pmod p$ となる整数 $r$ をとり $\varepsilon_1:=\zeta^{-r}\varepsilon$ とおくと、$\bar\varepsilon_1=\zeta^r\bar\varepsilon=\zeta^{r-a}\varepsilon=\zeta^{-r}\varepsilon=\varepsilon_1$ である。$\square$

解 $(x,y,z)$ があるとして矛盾を導く。
段 0（整理）．$g:=\gcd(x,y)$ とすると $g^p\mid z^p$ から $g\mid z$ で、$(x/g,y/g,z/g)$ も $p\nmid xyz$ をみたす解である。よって $\gcd(x,y)=1$ としてよい。このとき $x,z$ に共通の素因数 $q$ があれば $q\mid y^p$ となるので $\gcd(x,z)=1$ である。
$p=3$ のとき：$3\nmid x$ なら $x\equiv\pm1,\pm2,\pm4\pmod9$ で、$x^3\equiv\pm1\pmod9$ である。よって $x^3+y^3\equiv-2,0,2$、$z^3\equiv\pm1\pmod9$ となり、等式は成り立たない。
以下 $p\ge5$ とする。Fermatの小定理 により $x^p\equiv x$ などが成り立ち、$x+y\equiv z\pmod p$ である。$x\equiv y\equiv-z\pmod p$ なら $-2z\equiv z$、すなわち $p\mid3z$ となり矛盾する。$x\equiv y\pmod p$ なら $x\not\equiv-z$ なので、$p$ が奇数であることを使って等式を $x^p+(-z)^p=(-y)^p$ と書き直し、$(x,y,z)$ を $(x,-z,-y)$ に取り替える。以上から $\gcd(x,y)=1$、$x\not\equiv y\pmod p$ と仮定してよい。
段 1（イデアルが互いに素）．$X^p+1=\prod_{i=0}^{p-1}(X+\zeta^i)$（右辺の根 $-\zeta^i$ は $X^p+1$ の相異なる根）から
$$ \prod_{i=0}^{p-1}(x+\zeta^iy)=x^p+y^p=z^p $$
である。$0\le i< j\le p-1$ とし、素イデアル $\mathfrak P$ が $x+\zeta^iy$ と $x+\zeta^jy$ をともに含むとする。$\mathfrak P$ は
$$ (x+\zeta^iy)-(x+\zeta^jy)=\zeta^i(1-\zeta^{j-i})\,y,\qquad \zeta^j(x+\zeta^iy)-\zeta^i(x+\zeta^jy)=\zeta^i(\zeta^{j-i}-1)\,x $$
を含み、lem-rgp-basic の 1 によりこれらは $\lambda y$、$\lambda x$ の単元倍である。$\lambda\notin\mathfrak P$ なら $x,y\in\mathfrak P$ で、$\gcd(x,y)=1$ から $1\in\mathfrak P$ となり矛盾する。よって $\lambda\in\mathfrak P$ で、$\lambda\mathcal O$ は極大なので $\mathfrak P=\lambda\mathcal O$ である。$\zeta\equiv1\pmod\lambda$ から $x+y\equiv x+\zeta^iy\equiv0\pmod\lambda$ で、$x+y\in\lambda\mathcal O\cap\mathbb Z=p\mathbb Z$ である。すると $z\equiv z^p=x^p+y^p\equiv x+y\equiv0\pmod p$ となり、$p\nmid z$ に反する。したがって、単項イデアル $(x+\zeta^iy)$ たちはどの 2 つも共通の素イデアルをもたない。
段 2（類数を使う）．$\mathcal O$ は Dedekind 整域で、$0$ でないイデアルは素イデアルの積にただ 1 通りに分解する（Dedekind整域）。各素イデアル $\mathfrak P$ について $\sum_iv_{\mathfrak P}(x+\zeta^iy)=p\,v_{\mathfrak P}(z)$ で、段 1 により左辺の項のうち $0$ でないのは高々 1 つなので、各 $v_{\mathfrak P}(x+\zeta^iy)$ は $p$ の倍数である。よって $(x+\zeta y)=\mathfrak A^p$ となるイデアル $\mathfrak A$ がある。イデアル類群で $[\mathfrak A]^p=1$ であり、$[\mathfrak A]$ の位数は $p$ と $h_p$ の両方を割る。$p$ は正則なので $p\nmid h_p$ で、$[\mathfrak A]=1$、すなわち $\mathfrak A=(\beta)$ は単項である。したがって $x+\zeta y=\varepsilon\beta^p$ となる単元 $\varepsilon$ がある。
段 3（複素共役と比べる）．prop-rgp-units により $\varepsilon=\zeta^r\varepsilon_1$、$\bar\varepsilon_1=\varepsilon_1$ と書け、lem-rgp-basic の 3 により $\beta^p\equiv b\pmod{p\mathcal O}$ となる $b\in\mathbb Z$ がある。よって
$$ x+\zeta y\equiv\zeta^r\varepsilon_1b\pmod{p\mathcal O} $$
である。複素共役をとると（lem-rgp-basic の 4）$x+\zeta^{-1}y\equiv\zeta^{-r}\varepsilon_1b\pmod{p\mathcal O}$ である。2 式から $\zeta^{-r}(x+\zeta y)\equiv\varepsilon_1b\equiv\zeta^r(x+\zeta^{-1}y)$ で、$\zeta^r$ を掛けて
$$ \alpha:=x+\zeta y-\zeta^{2r}x-\zeta^{2r-1}y\in p\mathcal O\qquad(*) $$
を得る。
段 4（係数を調べる）．$\zeta$ の指数を法 $p$ で見る。$\alpha$ は指数 $0,1,2r,2r-1$ の 4 項の和で、$0\not\equiv1$、$2r\not\equiv2r-1$ である。$p\ge5$ なので、どの場合も $\alpha$ を $\sum_{i=0}^{p-1}a_i\zeta^i$ と書いたとき $0$ になる係数がある。lem-rgp-basic の 2 を $n=p$ で使い、$(*)$ から $p$ がすべての $a_i$ を割ることを使う。

• $2r\not\equiv0,1,2$ のとき：4 つの指数は相異なり、$\zeta^0$ の係数は $x$ なので $p\mid x$ となり矛盾する。
• $2r\equiv0$ のとき：$\alpha=y\zeta-y\zeta^{p-1}$ で、$p\mid y$ となり矛盾する。
• $2r\equiv1$ のとき：$\alpha=(x-y)+(y-x)\zeta$ で、$p\mid x-y$ となり段 0 の仮定に反する。
• $2r\equiv2$ のとき：$\alpha=x-x\zeta^2$ で、$p\mid x$ となり矛盾する。
  いずれの場合も矛盾が生じるので、解は存在しない。$\square$