アフィン空間

前提知識: 可換環, 多項式環, スキーム, アフィンスキーム

座標を自由に動かせる代数的な空間

アフィン空間（affine space）は、代数幾何では多項式環のスペクトルとして作る基本的なスキームである。体 $k$ 上の $n$ 次元アフィン空間は
$$ \mathbb A^n_k=\operatorname{Spec}k[T_1,\ldots,T_n] $$
と書く。$k$ 値の点は $n$ 個の座標を持つので $k^n$ と対応するが、スキームとしての $\mathbb A^n_k$ は素イデアルに対応する非閉点や構造層も持つ。そのため、点集合 $k^n$ とアフィン空間というスキームを同一視する際は、何を忘れているかに注意する。
アフィン空間は方程式で切り出す図形の周囲の空間であり、多項式写像を記述する舞台でもある。射影空間の標準的な各座標領域もアフィン空間になる。一方、線形代数や古典的なアフィン幾何では「原点を指定しないベクトル空間のような点集合」をアフィン空間と呼ぶ。本記事ではまずスキームとしての定義と性質を証明し、最後にこの別の用法と複素数体上での見方を区別する。

定義：多項式環のスペクトル

$R$ を単位元を持つ可換環とし、$n\ge0$ とする。$T_1,\ldots,T_n$ を独立な不定元として、多項式環 $R[T_1,\ldots,T_n]$ を作る。$n=0$ のときは不定元がなく、環は $R$ 自身である。

$R$ が体 $k$ のとき通常 $\mathbb A^n_k$ と書き、特に $\mathbb A^n_{\mathbb C}$ を複素アフィン $n$ 空間という。$R=\mathbb Z$ も許される。定義は体に限られず、基底の各点で異なる剰余体を持つ場合も同じ記法で扱える（StacksAffSpace Definition 27.5.1）。
基底 $S$ がアフィンとは限らない場合には、各アフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}R\subset S$ の上で $\mathbb A^n_R$ を作り、重なりの座標変換を一致させて貼り合わせる。これは相対スペクトルを使って
$$ \mathbb A^n_S=\operatorname{Spec}_S(\mathcal O_S[T_1,\ldots,T_n]) $$
と書ける。$S=\operatorname{Spec}R$ のとき前の定義に戻り、$n=0$ では $\mathbb A^0_S=S$ となる。各変数を零に送ることで零切断 $S\to\mathbb A^n_S$ も定まる。これらは座標を固定した標準模型としてのアフィン空間の性質であり、後で述べる原点を選ばない古典的なアフィン空間とは区別する。
点 $(a_1,\ldots,a_n)\in k^n$ は、評価写像 $k[T_1,\ldots,T_n]\to k$、$T_i\mapsto a_i$ の核 $(T_1-a_1,\ldots,T_n-a_n)$ に対応する $k$ 値の点を与える。しかし $k$ 値の点だけがスキームの全点ではない。例えば $\mathbb A^1_k$ には零イデアル $(0)$ に対応する生成点があり、$k$ が代数閉でなければ剰余体が $k$ より大きい閉点もある。$k=\mathbb R$ なら $(T^2+1)$ は閉点だが実数 $a$ を代入して得られる点ではなく、剰余体は $\mathbb C$ である。
この違いを無視すると、射のファイバーや閉包について誤解が生じる。例えば生成点はどの空でないザリスキー開集合にも入り、通常のユークリッド空間の点には似ていない。アフィン空間の座標図は有用だが、スキームの位相は単に $k^n$ のユークリッド位相を採用したものではない。
有限体 $k=\mathbb F_q$ では、$k^1$ という点集合は $q$ 個の元しか持たない。一方 $\mathbb A^1_k=\operatorname{Spec}k[T]$ は $q$ 個の $k$ 値の閉点に加え、$(0)$ という生成点や、高次の既約多項式に対応する閉点を持つ。例えば $\mathbb F_2[T]$ の $(T^2+T+1)$ は剰余体 $\mathbb F_4$ を持つ閉点で、$\mathbb F_2$ の二つの値のどちらにも対応しない。アフィン空間を $k^n$ とだけ書く説明は、$k$ 値の点を見ているという限定の下で読む。

普遍性：座標関数を指定すると射が決まる

アフィン空間への射は座標の値で記述できる。$X$ を $R$ 上のスキームとすると、$\mathbb A^n_R$ への $R$ 上の射は $X$ の大域的な正則関数 $n$ 個と同じデータである。$X$ がアフィンでなくても成立する点が大切である。

$X=\operatorname{Spec}B$ なら $\Gamma(X,\mathcal O_X)=B$ なので、$\mathbb A^n_R(B)$ と呼ばれる $B$ 値の点は $B^n$ になる。$B=k$ とした場合に $k^n$ が現れる理由はこの普遍性である。点集合としての等号を定義に採用するより、すべての $R$ 代数 $B$ にわたって座標の振る舞いを見た方がスキームの情報を保持する。
この対応を使うと、方程式も「任意の環に値を取る点」を通じて読むことができる。例えば体 $k$ 上の $\mathbb A^1_k$ の閉部分スキーム $\operatorname{Spec}k[T]/(T^2)$ の $k$ 代数 $B$ に値を取る点は、$b\in B$ で $b^2=0$ を満たすものに対応する。$B$ が体なら $b=0$ しかないが、$B=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ では非零の $\varepsilon$ も解になる。体に値を取る点だけを見ると失われる冪零構造が、試験環 $B$ を変えると現れる。
例として $X=\mathbb A^1_k$ から $\mathbb A^2_k$ への射は二つの多項式 $f(T),g(T)\in k[T]$ で決まる。$k$ 値の点では $a\mapsto(f(a),g(a))$ になるが、射は生成点にも作用し、構造層上の環準同型まで指定している。単に $k$ 値の点の間の任意の集合写像を与えただけでは、スキームの射を定めたことにならない。

多項式写像と直積

同じ議論を $X=\mathbb A^n_R$ に適用すると、$\mathbb A^n_R\to\mathbb A^m_R$ の $R$ 上の射は $n$ 変数多項式 $m$ 個で指定される。環の向きでは
$$ R[U_1,\ldots,U_m]\longrightarrow R[T_1,\ldots,T_n],\qquad U_j\longmapsto F_j(T_1,\ldots,T_n) $$
となる。幾何学的な写像の向きと環準同型の向きが逆になるので、どちらの座標が定義域に属するかを確認する。

たとえば $\mathbb A^1_k\times_k\mathbb A^1_k=\mathbb A^2_k$ であり、二つの直線の座標を $x,y$ とすると積の座標環は $k[x,y]$ になる。この意味でアフィン $n$ 空間は、アフィン直線を $n$ 回積にしたものでもある。$n=0$ の場合は基底 $\operatorname{Spec}R$ が積の単位に当たる。
係数環の準同型 $R\to R'$ で基底を変えると
$$ \mathbb A^n_R\times_{\operatorname{Spec}R}\operatorname{Spec}R'\cong\mathbb A^n_{R'} $$
となる。環の側では $R[T_1,\ldots,T_n]\otimes_RR'\cong R'[T_1,\ldots,T_n]$ だからである。この式により、整数上のアフィン空間から体上のアフィン空間へ移れる。各素数 $p$ で $\mathbb A^n_{\mathbb Z}$ のファイバーを取れば $\mathbb A^n_{\mathbb F_p}$、生成点で取れば $\mathbb A^n_{\mathbb Q}$ になる。

方程式と開集合

$k[T_1,\ldots,T_n]$ のイデアル $I$ で定義した閉部分スキーム
$$ V(I)=\operatorname{Spec}\bigl(k[T_1,\ldots,T_n]/I\bigr) $$
は、アフィン空間の中で多項式方程式を課したものである。$k$ 値の点は $I$ の全多項式を零にする組であるが、商環が冪零元を持つ場合には点集合だけでは閉部分スキームを区別できない。例えば $k[T]/(T)$ と $k[T]/(T^2)$ のスペクトルは同じ一点を台に持つが、後者には冪零元がある。
開集合では、$f\in k[T_1,\ldots,T_n]$ が零にならない部分 $D(f)$ が標準的で、
$$ D(f)\cong\operatorname{Spec}k[T_1,\ldots,T_n,1/f] $$
と書ける。これはアフィン開集合だが、元のアフィン空間と同型とは限らない。「アフィン」という語は何らかの環のスペクトルであることを意味し、必ず多項式環そのもののスペクトルであることまでは要求しない。

$n=2$ では、原点を除いた $\mathbb A^2_k\setminus\{(T_1,T_2)\}$ は $D(T_1)\cup D(T_2)$ と書けるが、一般にはアフィンでない。したがってアフィン空間の開部分スキームがいつもアフィンなわけでもない。この反例の証明はアフィン開集合で扱う。穴のあいた直線はアフィンだがアフィン直線と同型でなく、穴のあいた平面はそもそもアフィンでない、という二段階の違いに注意したい。

射影空間の座標領域

射影 $n$ 空間 $\mathbb P^n_k$ の標準開集合 $D_+(T_i)$ は、$T_i\ne0$ として第 $i$ 座標で割ることで $n$ 個の比 $T_j/T_i$ を座標に持つ。各 $D_+(T_i)$ は $\mathbb A^n_k$ と同型であり、$i=0,\ldots,n$ の $n+1$ 個で $\mathbb P^n_k$ を覆う（StacksProj Lemma 27.13.3）。

例えば $\mathbb P^1_k$ は二枚の $\mathbb A^1_k$ で覆われ、重なりは $\operatorname{Spec}k[T,T^{-1}]$ になる。しかし二枚がアフィン空間だからといって、貼り合わせた $\mathbb P^1_k$ 全体がアフィンになるわけではない。アフィン空間は局所座標の模型であり、全体のスキームがアフィンかどうかは別に判定する。
二枚の座標を $t=T_1/T_0$ と $u=T_0/T_1$ と書けば、重なりでは $u=1/t$ という変換が働く。各枚の座標環は多項式環 $k[t]$ と $k[u]$ だが、重なりの座標環は $k[t,t^{-1}]$ である。射影直線の大域正則関数が定数に限られることも、この重なりで多項式 $f(t)$ と $g(u)$ が $f(t)=g(1/t)$ を満たす条件から読み取れる。局所的なアフィン空間の座標は、貼り合わせ条件を通じて全体の性質へつながる。

古典的なアフィン幾何との関係

線形代数でいうアフィン空間は、ベクトル空間 $V$ が自由かつ推移的に作用する点集合 $E$ として定義できる。任意の二点 $P,Q\in E$ に対してただ一つのベクトル $v\in V$ があり、$Q=P+v$ となる。$E$ には初めから特別な原点がない。原点 $O\in E$ を選べば $P\mapsto\overrightarrow{OP}$ によって $E$ と $V$ を同一視できるが、選択を替えると座標は平行移動する。
$k$ 値の点としての $k^n$ は、この古典的なモデルとして使える。一方、$\mathbb A^n_k=\operatorname{Spec}k[T_1,\ldots,T_n]$ には表示で選んだ座標と零点 $(T_1,\ldots,T_n)$ がある。抽象的な原点を指定しないアフィン空間を座標化するには、原点と基底を選ぶ必要がある。この選択後に同じ式 $k^n$ が現れても、古典的な点集合とスキームは同一の対象ではない。
古典的なアフィン変換は $x\mapsto Mx+b$ という形で、$M$ が可逆なら逆変換を持つ。これは多項式写像なので $\mathbb A^n_k$ の自己同型を与える。ただしスキームの多項式自己同型は古典的なアフィン変換より多い。例えば $\mathbb A^2_k$ 上の $(x,y)\mapsto(x+y^2,y)$ は逆写像 $(u,v)\mapsto(u-v^2,v)$ を持つが、一般に一次式ではない。文脈がアフィン幾何の変換群か、スキームの自己同型全体かを見分ける必要がある。

複素数体上での見方

$k=\mathbb C$ のとき $\mathbb A^n_{\mathbb C}$ の $\mathbb C$ 値の点は $\mathbb C^n$ と対応する。代数的な正則関数は多項式 $\mathbb C[T_1,\ldots,T_n]$ の元である。他方、通常の複素解析で $\mathbb C^n$ 上に定義される正則関数には多項式以外もあり、例えば一変数の $e^z$ は整関数だが多項式ではない。実軸上の成長を見れば、$e^x$ がいかなる多項式とも一致しないことが分かる。
この差は、複素代数幾何と複素解析を結ぶ際の出発点になる。複素点の集合が同じ $\mathbb C^n$ でも、代数的な構造層と解析的な正則関数の層は異なる。代数的な多項式写像は複素解析的にも正則だが、解析的な正則写像が必ず代数的な多項式写像になるわけではない。局所的・大域的にどちらの構造を使うかを明示すると、方程式と解析的関数の役割を取り違えずに済む。
位相も異なる。$\mathbb A^1_{\mathbb C}$ のザリスキー閉集合は、全体を除けば有限個の点の集合である。零でない一変数多項式の根が有限個だからである。これに対し複素平面の通常の位相には、小円板のように代数的なザリスキー開集合ではない開集合がある。正則関数を比較するときには、同じ点の上でどちらの開集合を許すかも変わっている。

参照箇所

関連項目

• 前提: 多項式環, アフィンスキーム, スキーム
• 計算: アフィン開集合, ファイバー積, 剰余体
• 比較: 射影空間, 複素解析空間, 多項式写像