閉埋め込み

1．$Z$ の開集合 $W$ は、ある $X$ の開集合 $V$ によって $W=i^{-1}(V)$ と書ける。実際、$i$ は像への同相写像なので $i(W)$ は $i(Z)$ の相対位相で開であり、$i(W)=i(Z)\cap V$ となる開集合 $V\subset X$ がある。$i$ は単射なので $i^{-1}(V)=i^{-1}(i(W))=W$ である。したがって、$V$ が $i(z)$ の開近傍全体を動くとき、$i^{-1}(V)$ は $z$ の開近傍全体を動く。茎は開近傍についての帰納極限なので

$$(i_*\mathcal{F})_{i(z)}=\varinjlim_{V\ni i(z)}\mathcal{F}(i^{-1}(V))=\varinjlim_{W\ni z}\mathcal{F}(W)=\mathcal{F}_z$$

であり、この同一視が主張の写像である。

2．$i(Z)$ は閉集合なので $V:=X\setminus i(Z)$ は $x$ の開近傍で、$i^{-1}(V)=\emptyset$ である。$V$ に含まれる $x$ の開近傍 $V'$ について $(i_*\mathcal{F})(V')=\mathcal{F}(\emptyset)=0$ であり、茎は $0$ である。

最後の主張：$x=i(z)$ での $i^\sharp$ の茎の写像 $\mathcal{O}_{X,i(z)}\to(i_*\mathcal{O}_Z)_{i(z)}$ に 1 の同型を合成したものが $i^\sharp_z$ である。$x\notin i(Z)$ では 2 により行き先が $0$ なので、全射は自動的に成り立つ。

準連接層 の記事の補題「アフィンスキームの射による押し出し」により $j_*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec}A/I}\cong\widetilde{A/I}$（$A/I$ を $A$ 加群とみる）であり、$j^\sharp$ は $\pi$ に付随する射 $\widetilde{\pi}\colon\widetilde{A}\to\widetilde{A/I}$ である。$M\mapsto\widetilde{M}$ は完全関手（同記事の命題「付随する層をとる関手の性質」）なので、核は $\widetilde{I}$ である。一般の全射 $\varphi$ は、同型 $A/\ker\varphi\cong B$ を通して $\pi\colon A\to A/\ker\varphi$ と同一視でき、スキームの同型は閉埋め込みで、閉埋め込みに同型を合成したものは閉埋め込みなので、上の議論がそのまま使える。

$V=\operatorname{Spec}A'$ を $X$ のアフィン開集合とし、$C:=i(Z)\cap V$ とおく。$i$ は $i^{-1}(V)$ から $C$ への同相写像を与える。$C$ は準コンパクトな空間 $V$ の閉集合なので準コンパクトであり、$i^{-1}(V)$ も準コンパクトである。次に、$C$ の準コンパクトな開集合 $O$ は、$V$ の基本開集合の有限個の和 $W$ によって $O=C\cap W$ と書ける（$O=C\cap W_0$ となる開集合 $W_0$ を基本開集合 $D(f)$ で覆うと、$O$ は $C\cap D(f)$ たちで覆われるので、その有限個を選んで $W$ とする）。もう 1 つ $O'=C\cap W'$ をとると、$D(f)\cap D(g)=D(fg)$ より $W\cap W'$ も基本開集合 $D(f_ag_b)$ の有限個の和であり、各 $C\cap D(f_ag_b)$ は準コンパクトな $D(f_ag_b)\cong\operatorname{Spec}A'_{f_ag_b}$ の閉集合なので準コンパクトである。よって $O\cap O'$ は準コンパクトである。$i^{-1}(V)$ のアフィン開集合 $U,U'$ は準コンパクトなので、$i(U),i(U')$ は $C$ の準コンパクトな開集合であり、$U\cap U'$ は $i(U)\cap i(U')$ と同相だから準コンパクトである。

$j^\sharp_{\mathfrak{q}}\colon A_{\mathfrak{p}}\to(A/I)_{\mathfrak{q}}=A_{\mathfrak{p}}/I_{\mathfrak{p}}$ は標準的な全射である。$i^\sharp_z$ は、第 3 段の同一視 $(i_*\mathcal{O}_Z)_{\mathfrak{p}}\cong A_{\mathfrak{p}}/I_{\mathfrak{p}}$ と lem-closed-immersion-stalk の同型 $(i_*\mathcal{O}_Z)_{\mathfrak{p}}\cong\mathcal{O}_{Z,z}$ を通して標準的な全射 $A_{\mathfrak{p}}\to A_{\mathfrak{p}}/I_{\mathfrak{p}}$ に当たるので、核が $I_{\mathfrak{p}}$ の全射である。$i^\sharp_z$ が全射なので $h^\sharp_z$ は全射である。$h^\sharp_z(j^\sharp_{\mathfrak{q}}(a))=0$ なら $i^\sharp_z(a)=0$、すなわち $a\in I_{\mathfrak{p}}$ で $j^\sharp_{\mathfrak{q}}(a)=0$ となるから、$h^\sharp_z$ は単射でもある。

(i) ⇒ (ii)：開集合 $U\subset X$ について、制限 $i_U\colon i^{-1}(U)\to U$ は $U$ の閉集合 $i(Z)\cap U$ への同相写像であり、$(i_U)_*\mathcal{O}_{i^{-1}(U)}=(i_*\mathcal{O}_Z)|_U$ で $i_U^\sharp=i^\sharp|_U$ は全射であるから、閉埋め込みである。$U$ がアフィンなら thm-closed-immersion-affine の 1 と 3 を $i_U$ に使えばよい。

(ii) ⇒ (iii)：$X$ の任意のアフィン開被覆 $\{U_\alpha\}$ をとる。$B_\alpha:=\Gamma(i^{-1}(U_\alpha),\mathcal{O}_Z)$ とすると $A_\alpha\to B_\alpha$ は全射で、核を $I_\alpha$ とすれば $A_\alpha/I_\alpha\cong B_\alpha$ である。$i^{-1}(U_\alpha)$ はアフィンなので $\operatorname{Spec}B_\alpha$ と同型であり、スキーム の記事の命題「アフィンスキームへの射と大域切断」により $i^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha$ は大域切断の写像 $A_\alpha\to B_\alpha$ で決まる。よって $i^{-1}(U_\alpha)\cong\operatorname{Spec}B_\alpha\cong\operatorname{Spec}A_\alpha/I_\alpha$ は $U_\alpha$ への射と両立する。

(iii) ⇒ (iv)：prop-closed-immersion-quotient により $\operatorname{Spec}A_\alpha/I_\alpha\to U_\alpha$ は閉埋め込みであり、同型との合成も閉埋め込みである。

(iv) ⇒ (i)：$i$ が単射であることは、各 $U_\alpha$ の上で単射であることから従う。閉集合 $F\subset Z$ に対し $i(F)\cap U_\alpha=i_\alpha(F\cap i^{-1}(U_\alpha))$ は $U_\alpha$ の閉集合なので、$i(F)$ は $X$ の閉集合である。とくに $i$ は閉写像で像 $i(Z)$ は閉集合であり、条件 (i) がみたされる。$x\in U_\alpha$ での茎は $(i_*\mathcal{O}_Z)_x=((i_\alpha)_*\mathcal{O}_{i^{-1}(U_\alpha)})_x$ で、$i^\sharp$ の茎の写像は $i_\alpha^\sharp$ の茎の写像に等しいから全射である。

$X$ をアフィン開集合 $U_\alpha=\operatorname{Spec}A_\alpha$ で覆い、各 $g^{-1}(U_\alpha)$ をアフィン開集合 $U'_{\alpha\beta}=\operatorname{Spec}A'_{\alpha\beta}$ で覆う。$\{U'_{\alpha\beta}\}$ は $X'$ のアフィン開被覆である。$i'^{-1}(U'_{\alpha\beta})$ の点は $g'$ で $i^{-1}(U_\alpha)$ に写るので、スキーム の記事の定理「ファイバー積の存在」の後半により、$i'^{-1}(U'_{\alpha\beta})$ は $Z'$ の開部分スキーム $i^{-1}(U_\alpha)\times_{U_\alpha}U'_{\alpha\beta}$ である。thm-closed-immersion-affine により $i^{-1}(U_\alpha)\cong\operatorname{Spec}A_\alpha/I_\alpha$ なので、アフィンの場合から $i'^{-1}(U'_{\alpha\beta})\to U'_{\alpha\beta}$ は $\operatorname{Spec}A'_{\alpha\beta}/I_\alpha A'_{\alpha\beta}\to\operatorname{Spec}A'_{\alpha\beta}$ と同一視される。