素因数分解の一意性

素数の積として表せない $2$ 以上の整数があると仮定し、そのうち最小のものを $n$ とする（整列性）。$n$ 自身は素数ではない（素数は 1 個の素数の積である）ので、$n$ は $1< a< n$ である約数 $a$ をもち、$n=ab$、$1< b< n$ と書ける。$a,b$ は $n$ より小さい $2$ 以上の整数なので、$n$ の最小性により素数の積として表せる。それらを並べると $n$ も素数の積になり、矛盾する。$\square$

$p\mid ab$ とし、集合
$$ I:=\{x\in\mathbb{Z}\mid p\mid xb\} $$
を考える。$I$ は次の性質をもつ：$x,y\in I$ なら $x+y\in I$、$x\in I$ なら任意の整数 $k$ について $kx\in I$（$p\mid xb$、$p\mid yb$ なら $p\mid(x+y)b$、$p\mid kxb$）。また $p\in I$（$p\mid pb$）、$a\in I$（仮定 $p\mid ab$）である。
$p\in I$ なので $I$ は正の整数を含み、整列性により $I$ に属する最小の正の整数 $d$ がある。$x\in I$ を割り算の定理で $x=dq+r$（$0\le r< d$）と割ると、$r=x+(-q)d\in I$ であり、$r>0$ なら $d$ の最小性に反するので $r=0$ である。つまり $d$ は $I$ のすべての元を割り切る。特に $d\mid p$ かつ $d\mid a$ である。
$p$ は素数なので $d=1$ または $d=p$ である。$d=p$ なら $p\mid a$ である。$d=1$ なら $1\in I$、すなわち $p\mid b$ である。$\square$

$k=1$ は明らか。$p\mid(a_1\cdots a_{k-1})\,a_k$ に thm-upf-euclid-lemma を使うと、$p\mid a_k$ か $p\mid a_1\cdots a_{k-1}$ であり、後者なら帰納法の仮定により $p\mid a_j$（$j< k$）である。$a_j$ が素数なら、その正の約数は $1$ と $a_j$ だけで、$p\ge2$ なので $p=a_j$ である。$\square$

$r$ についての帰納法で示す。$r=0$（左辺が空の積 $1$）なら、素数は $2$ 以上なので右辺も空の積で $s=0$ である。$r\ge1$ とする。右辺は $p_r\ge2$ で割り切れるので $s\ge1$ であり、cor-upf-product により $p_r=q_j$ となる $j$ がある。$q_j$ を最後に並べ替えて $p_r=q_s$ とし、両辺を $p_r$ で割ると $p_1\cdots p_{r-1}=q_1\cdots q_{s-1}$ である。帰納法の仮定により $r-1=s-1$ であり、並べ替えると $p_j=q_j$（$j< r$）となる。$\square$

1：$N(\alpha\beta)=|\alpha\beta|^2=|\alpha|^2|\beta|^2=N(\alpha)N(\beta)$ である。後半は $a^2+5b^2$ の形から明らか。
2：$\alpha\eta=1$ なら $N(\alpha)N(\eta)=N(1)=1$ で、どちらも正の整数なので $N(\alpha)=1$ である。$a^2+5b^2=1$ なら $b=0$、$a=\pm1$ であり、$\pm1$ は実際に単元である。
3：$b\ne0$ なら $a^2+5b^2\ge5$、$b=0$ なら $a^2$ は平方数で $2,3$ にならない。$\square$

$(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})=1-(\sqrt{-5})^2=1+5=6$ である。
1：ノルムは $N(2)=4$、$N(3)=9$、$N(1\pm\sqrt{-5})=1+5=6$ である。これらのどれか $\pi$ が $\pi=\beta\gamma$ で $\beta,\gamma$ とも単元でないとすると、lem-upf-norm5 の 1・2 により $N(\beta),N(\gamma)\ge2$ かつ $N(\beta)N(\gamma)=N(\pi)\in\{4,9,6\}$ なので、$N(\beta)$ は $2$ か $3$ である。これは lem-upf-norm5 の 3 に反する。
2：単元は $\pm1$ だけなので、同伴な元はノルムが等しい。$N(2)=4$、$N(3)=9$ は $N(1\pm\sqrt{-5})=6$ と異なるので同伴でない。
3：$2\mid1+\sqrt{-5}$ なら $1+\sqrt{-5}=2(c+d\sqrt{-5})$ となる整数 $c,d$ があり、実部を比べて $2c=1$ となって矛盾する。$1-\sqrt{-5}$ も同様である。$\square$

1：$q=x+y\sqrt{-5}$ とすると $r=(1-2x)+(1-2y)\sqrt{-5}$ で、$1-2x$、$1-2y$ は奇数なので $N(r)=(1-2x)^2+5(1-2y)^2\ge1+5=6$ である。
2：$\xi=a+b\sqrt{-5}$、$\eta=c+d\sqrt{-5}$ とすると
$$ 2\xi+(1+\sqrt{-5})\eta=(2a+c-5d)+(2b+c+d)\sqrt{-5} $$
であり、実部と $\sqrt{-5}$ の係数の差 $2a-2b-6d$ はつねに偶数である。$1=1+0\sqrt{-5}$ では差が $1$ で奇数なので、$1\notin I$ である。$I$ がある $\delta$ の倍数全体だとすると、$2\in I$ と $1+\sqrt{-5}\in I$ から $\delta\mid2$、$\delta\mid1+\sqrt{-5}$ であり、ノルムをとると $N(\delta)$ は $4$ と $6$ を割り切るので $N(\delta)\in\{1,2\}$ である。lem-upf-norm5 により $N(\delta)=1$、$\delta=\pm1$ となり、$I$ が $1$ を含むことになって矛盾する。$\square$

複素数 $\alpha/\beta$ を $x+yi$（$x,y$ は実数）と書き、$x,y$ に最も近い整数を $m,n$ とすると $|x-m|\le\frac12$、$|y-n|\le\frac12$ である。$q:=m+ni$、$r:=\alpha-\beta q$ とおくと $q,r\in\mathbb{Z}[i]$ であり、
$$ N(r)=|\beta|^2\Bigl|\frac\alpha\beta-q\Bigr|^2=N(\beta)\bigl((x-m)^2+(y-n)^2\bigr)\le N(\beta)\Bigl(\frac14+\frac14\Bigr)< N(\beta) $$
である。$\square$

$I:=\{\xi\in\mathbb{Z}[i]\mid \pi\mid\xi\beta\}$ とおく。thm-upf-euclid-lemma の証明と同様に、$I$ は足し算と $\mathbb{Z}[i]$ の元を掛けることで閉じており、$\pi\in I$、$\alpha\in I$ である。$I$ の $0$ でない元のうちノルムが最小のもの $\delta$ をとる（ノルムは正の整数なので整列性が使える）。$\xi\in I$ を thm-upf-gauss-division で $\xi=\delta q+r$、$N(r)< N(\delta)$ と割ると $r=\xi-q\delta\in I$ であり、最小性から $r=0$ である。よって $\delta$ は $I$ のすべての元を割り切り、特に $\delta\mid\pi$、$\delta\mid\alpha$ である。
$\pi=\delta\gamma$ と書くと、$\pi$ は既約元なので $\delta$ か $\gamma$ が単元である。$\gamma$ が単元なら $\delta=\gamma^{-1}\pi$ なので、$\delta\mid\alpha$ から $\pi\mid\alpha$ である。$\delta$ が単元なら $1=\delta^{-1}\delta\in I$ なので $\pi\mid\beta$ である。$\square$

存在：$N(\alpha)$ についての帰納法で示す。$\alpha$ が既約元ならよい。そうでなければ $\alpha=\beta\gamma$（$\beta,\gamma$ は単元でない）と書け、$N(\beta),N(\gamma)\ge2$ なので $N(\beta),N(\gamma)< N(\alpha)$ である。帰納法の仮定により $\beta,\gamma$ は既約元の積に書け、並べると $\alpha$ も既約元の積になる。
一意性：$r$ についての帰納法で示す。$r=0$ なら左辺は $1$ であり、既約元はノルムが $2$ 以上なので右辺も空の積で $s=0$ である。$r\ge1$ なら、$\pi_r\mid\rho_1\cdots\rho_s$ なので $s\ge1$ であり、thm-upf-gauss-euclid を繰り返し使うと（cor-upf-product の証明と同じ）$\pi_r\mid\rho_j$ となる $j$ がある。$\rho_j=\pi_r\gamma$ と書くと、$\rho_j$ は既約元で $\pi_r$ は単元でないので $\gamma$ は単元であり、$\pi_r$ と $\rho_j$ は同伴である。$\rho_j$ を最後に並べ替え、両辺を $\pi_r$ で割ると $\pi_1\cdots\pi_{r-1}=(\gamma\rho_1)\rho_2\cdots\rho_{s-1}$ となる（$\gamma\rho_1$ は $\rho_1$ と同伴な既約元。$s=1$ なら右辺は単元 $\gamma$ で、$r-1=0$ でなければ左辺のノルムが $2$ 以上になって矛盾する）。帰納法の仮定により $r-1=s-1$ であり、並べ替えると残りも同伴どうしで対応する。$\square$

有限個の素数 $p_1,\dots,p_k$ が与えられたとき、それ以外の素数があることを示せばよい。$M:=p_1p_2\cdots p_k+1\ge2$ とおくと、thm-upf-existence により $M$ はある素数 $q$ で割り切れる。$q=p_j$ とすると、$q$ は $M$ と $p_1\cdots p_k$ を割り切るので差の $1$ を割り切り、$q\ge2$ に反する。よって $q$ は $p_1,\dots,p_k$ のどれとも異なる。$\square$

そのような分け方 $A,B$ があり、$A$ の数の積と $B$ の数の積が等しいとする。

1. 素数 $p\ge7$ が 6 数のどれか $x$ を割り切るとする。6 数の差は $5$ 以下なので、$p$ は他の 5 数を割り切らない。$x\in A$ とすると $p$ は $A$ の積を割り切るので $B$ の積も割り切り、cor-upf-product により $B$ のどれかの数を割り切る。これは矛盾なので、6 数の素因数は $2,3,5$ だけである。
2. 6 数のうち奇数はちょうど 3 つで、$u,\ u+2,\ u+4$ の形をしている。それらの素因数は $3,5$ だけである。$u,u+2,u+4$ を $3$ で割った余りは $u,u+2,u+1$ に対応してすべて異なるので、$3$ の倍数はちょうど 1 つである。差が $2,4$ なので、$5$ の倍数は多くとも 1 つである。したがって 3 つのうち少なくとも 1 つは $3$ でも $5$ でも割り切れず、その数は $1$ である。$u\ge1$ なので $u=1$ であり、6 数は $1,2,\dots,6$（$n=1$）である。
3. $n=1$ のとき、$5$ は 6 数のうち $5$ だけを割り切るので、1 と同じ議論で矛盾する。$\square$