積測度

$X$ を濃度が $\mathfrak{c}$ より大きい集合（たとえば $\mathcal{P}(\mathbb{R})$）とし、離散位相を入れる。$\mathcal{B}(X)=\mathcal{P}(X)$ である。直積位相も離散位相なので（1 点集合 $\{(x,y)\}=\{x\}\times\{y\}$ が開集合）、$\Delta\in\mathcal{B}(X\times X)$ である。しかし thm-pm-diagonal により $\Delta\notin\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(X)$ であり、prop-pm-borel の 1 の包含は真の包含になる。$X$ は非可算な離散空間なので第 2 可算公理をみたさない。満たさない性質は第 2 可算公理、破る含意は「$\mathcal{B}(X)\otimes\mathcal{B}(Y)=\mathcal{B}(X\times Y)$」である。

$\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度 $\#$（測度 の記事の例「数え上げ測度」）について、$\#\otimes\#$ は $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度である。実際、$\mathcal{P}(\mathbb{N})\otimes\mathcal{P}(\mathbb{N})$ は 1 点集合 $\{(m,n)\}=\{m\}\times\{n\}$ を含むので $\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ に等しく、$\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ 上の数え上げ測度は $\#(A\times B)=\#A\cdot\#B$ をみたすから、一意性により $\#\otimes\#$ に一致する。同様に、点 $a\in X$、$b\in Y$ の Dirac 測度について $\delta_a\otimes\delta_b=\delta_{(a,b)}$ である（$\delta_{(a,b)}(A\times B)=1$ となるのは $a\in A$ かつ $b\in B$ のときに限る）。

$\gamma(B):=\int_B(2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}\,dx$ を $\mathbb{R}$ 上の標準正規分布とする。prop-pm-density と $\lambda_1\otimes\lambda_1=\lambda_2$ により、$\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ の上で
$$ (\gamma\otimes\gamma)(E)=\frac1{2\pi}\int_Ee^{-(x^2+y^2)/2}\,d\lambda_2(x,y) $$
である。$\gamma\otimes\gamma$ は 2 次元の標準正規分布であり、密度 $(2\pi)^{-1}e^{-(x^2+y^2)/2}$ は原点からの距離だけで決まる。

確率空間 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上の実数値確率変数 $Z_1,Z_2$ の分布を $P_{Z_i}(B):=P(Z_i\in B)$ とする。$Z_1,Z_2$ が独立（独立性(確率論)）ならば、$(Z_1,Z_2)$ の分布 $P_{(Z_1,Z_2)}(E):=P((Z_1,Z_2)\in E)$（$E\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$）は $P_{Z_1}\otimes P_{Z_2}$ に等しい。実際、$(Z_1,Z_2)$ は prop-pm-measurable-map と prop-pm-borel により $\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)$ について可測で、$P_{(Z_1,Z_2)}(A\times B)=P(Z_1\in A,Z_2\in B)=P_{Z_1}(A)P_{Z_2}(B)$ だから、一意性により等しい。逆に同時分布が積測度なら、この式から $Z_1,Z_2$ は独立である。

$X=Y=[0,1]$ とし、$\mathcal{S}=\mathcal{T}=\mathcal{B}([0,1])$、$\lambda$ を Lebesgue 測度とする。測度 $\rho$ に対し $(\infty\cdot\rho)(E)$ を、$\rho(E)>0$ なら $\infty$、$\rho(E)=0$ なら $0$ と定めると、$\infty\cdot\rho$ も測度である（互いに交わらない和の測度が正であることと、どれかの項が正であることは同値）。$\mu=\nu:=\infty\cdot\lambda$ とおく。$\mu$ は σ-有限でない（測度有限な集合は $\lambda$-零集合で、その可算個の和も $\lambda$-零集合）。
$D(x):=(x,x)$ とし、$\mathcal{B}([0,1]^2)=\mathcal{S}\otimes\mathcal{T}$ の上の 2 つの測度
$$ \rho_1:=\infty\cdot\lambda_2,\qquad\rho_2:=\infty\cdot(\lambda_2+D_*\lambda) $$
を考える。$D_*\lambda(E):=\lambda(D^{-1}(E))$ は像測度である（測度 の記事の命題「制限・和・像測度」）。可測長方形について、$\lambda_2(A\times B)=\lambda(A)\lambda(B)$、$D_*\lambda(A\times B)=\lambda(A\cap B)$ であり、$\lambda(A\cap B)>0$ なら $\lambda(A)\lambda(B)>0$ なので、$\rho_1(A\times B)$ と $\rho_2(A\times B)$ はともに「$\lambda(A)\lambda(B)>0$ なら $\infty$、そうでなければ $0$」であり、$\mu(A)\nu(B)$ に等しい。一方、対角線 $\Delta$ について $\lambda_2(\Delta)=0$（Fubiniの定理 の記事の系「Euclid空間の零集合と切り口」）なので $\rho_1(\Delta)=0$ だが、$D^{-1}(\Delta)=[0,1]$ なので $\rho_2(\Delta)=\infty$ である。満たさない性質は $\mu,\nu$ の σ-有限性、破る含意は「可測長方形の上の値が積測度を決める」である。

$\mathcal{L}$ を $\mathbb{R}$ の Lebesgue 可測集合全体とし、$\lambda$ を $\mathcal{L}$ の上の Lebesgue 測度とする。$\lambda$ は完備で σ-有限である。$V\subset[0,1]$ を Lebesgue 可測でない集合とする（選択公理 の記事の例「Vitali集合の構成」）。$\mathbb{R}\times\{0\}$ は可測長方形で $(\lambda\otimes\lambda)(\mathbb{R}\times\{0\})=\infty\cdot0=0$ であり、$V\times\{0\}$ はその部分集合である。もし $V\times\{0\}\in\mathcal{L}\otimes\mathcal{L}$ なら、$y=0$ での切り口 $V$ は $\mathcal{L}$ に属するはずである（Fubiniの定理 の記事の補題「切り口の可測性」）。これは矛盾なので、$\lambda\otimes\lambda$ は完備でない。