Leray–Hirschの定理

前提知識: ファイバー束, de Rhamコホモロジー, Mayer–Vietoris完全列, Künnethの公式

Leray–Hirsch の定理（Leray–Hirsch theorem）とは、ファイバー $F$ をもつファイバー束 $\pi\colon E\to M$ について、全空間 $E$ 上の大域的なコホモロジー類 $e_1,\dots,e_r$ で、どのファイバーに制限してもファイバーのコホモロジーの基底になるものがあれば、
$$ H^\bullet(E)\cong H^\bullet(M)\otimes\mathbb R\{e_1,\dots,e_r\}\cong H^\bullet(M)\otimes H^\bullet(F) $$
が成り立つ、すなわち $H^\bullet(E)$ は $H^\bullet(M)$ 上の自由加群で $e_1,\dots,e_r$ がその基底になる、という定理である。
積 $M\times F$ では、ファイバー $F$ への射影で $F$ の類を引き戻せば大域的な類が得られ、定理は Künnethの公式 になる。束がねじれていると大域的な類があるとは限らないが、あればコホモロジーは積と同じ大きさになる。複素ベクトル束の射影束では、トートロジー直線束の双対の第 1 Chern 類 $x$ の冪 $1,x,\dots,x^{n-1}$ が大域的な類を与え、$x^n$ を基底で展開した係数として Chern 類が定まる（Chern類 の定理「射影束のコホモロジー」）。
定理が与えるのは $H^\bullet(M)$ 加群としての同型であり、環の同型ではない。この記事では de Rham コホモロジーの場合に、良い被覆についての帰納法と 五項補題 による証明を完全に与え、射影空間の例で環構造が積と異なること、Hopf 束で大域的な類の仮定が外せないことを示す。

設定

多様体はすべて $C^\infty$ 級で、$H^\bullet$ は実係数の de Rham コホモロジー $H^\bullet_{dR}$ を表す。$C^\infty$ 級ファイバー束 $\pi\colon E\to M$ とは、多様体の間の $C^\infty$ 級写像で、$M$ の各点に開近傍 $U$ と微分同相 $\varphi\colon\pi^{-1}(U)\to U\times F$（$\pi$ を第 1 成分への射影に写すもの、局所自明化）があるものである（位相的な定義は ファイバー束）。開集合 $U\subset M$ について $E_U:=\pi^{-1}(U)$、点 $x$ のファイバーを $E_x:=\pi^{-1}(x)$ と書く。
$H^\bullet(E)$ は、$a\cdot c:=\pi^*a\wedge c$（$a\in H^\bullet(M)$、$c\in H^\bullet(E)$）によって次数付き $H^\bullet(M)$ 加群になる。

$\psi_U$ は矛盾なく定まる：$a$ が閉なら $\pi^*a\wedge e_j$ は閉で、$a=db$ なら $e_j$ が閉なので $\pi^*a\wedge e_j=d(\pi^*b\wedge e_j)$ である。$H^\bullet(E_x)\cong H^\bullet(F)$ なので、とくに $H^\bullet(F)$ は有限次元でなければならない。局所自明化 $E_U\cong U\times F$ の上では、連結な $U$ の 2 点 $x,y$ について $F\to U\times F$、$f\mapsto(x,f)$ と $f\mapsto(y,f)$ がホモトピックなので、基底であるという性質は $M$ の連結成分の上で一定である。したがって $M$ が連結なら 1 つのファイバーで確かめれば十分である。

定理と証明

これは BT82 Theorem 5.11（p. 50）である。同書は Mayer–Vietoris の議論で Künneth の公式 (5.9) を示し（pp. 47–50）、Leray–Hirsch の定理は同じ議論で得られるとしている。上の証明はその議論を束の場合に書き下したものである。

Künnethの公式 の記事は特異コホモロジーの Künneth の公式を体係数で扱っており、de Rhamの定理 によりこの系はその実係数の場合と一致する。

例

次の例は、Leray–Hirsch の定理が加群の同型しか与えないことを、証明付きで示す。

反例と注意

Hopf 束．$S^3\subset\mathbb C^2$ から $\mathbb{CP}^1\cong S^2$ への写像 $z\mapsto[z]$ は、ファイバーが円周 $S^1$ の $C^\infty$ 級ファイバー束である（$[w:1]$ の近くでは $([w:1],\lambda)\mapsto\lambda(w,1)/\sqrt{1+|w|^2}$（$|\lambda|=1$）が局所自明化を与え、$[1:w]$ の側も同様。Hat02 Example 4.45、p. 377）。$n\ge2$ なら $H^1(S^n)=0$ である：北極と南極を除いた 2 つの開集合 $U,U'$ はどちらも $\mathbb R^n$ と微分同相で、$U\cap U'\cong S^{n-1}\times\mathbb R$ は連結なので、Mayer–Vietoris 完全列 $H^0(U)\oplus H^0(U')\to H^0(U\cap U')\to H^1(S^n)\to H^1(U)\oplus H^1(U')=0$ の最初の写像は全射で、$H^1(S^n)=0$ となる。したがって $S^3$ 上の閉 1 形式は完全で、ファイバー $S^1$ への制限も完全であり、$H^1(S^1)=\mathbb R$ の基底を与える大域的な類は存在しない。実際、結論も成り立たない：$H^1(S^3)=0$ だが、$H^\bullet(S^2)\otimes H^\bullet(S^1)$ の次数 1 の部分は $H^0(S^2)\otimes H^1(S^1)=\mathbb R$ である。束がねじれていることが、ファイバーの 1 次の類を全空間へ延ばせないことに現れている。
有限性．$\mathbb Z$ を 0 次元の多様体とみると、$H^0(\mathbb Z)$ は $\mathbb Z$ 上の実数値関数全体 $\mathbb R^{\mathbb Z}$ で、$\psi_M\colon\mathbb R^{\mathbb Z}\otimes\mathbb R^{\mathbb Z}\to\mathbb R^{\mathbb Z\times\mathbb Z}$ は $a\otimes b\mapsto((i,j)\mapsto a(i)b(j))$ である。$N$ 個の項の和 $\sum_{k=1}^Na_k\otimes b_k$ の像は、階数が $N$ 以下の「行列」$(i,j)\mapsto\sum_ka_k(i)b_k(j)$ なので、対角成分だけが $1$ の関数 $(i,j)\mapsto\delta_{ij}$（階数が無限）は像に入らない。基底が有限個という仮定と、底空間の有限の良い被覆の仮定の両方が外れている。片方だけを外しても結論は崩れない：底空間が有限の良い被覆をもてば thm-lh-main の証明は $e_j$ が無限個でもそのまま通り、ファイバーのコホモロジーが有限次元なら（たとえば $F$ を有限集合に替えると $\mathbb R^{\mathbb Z}\otimes\mathbb R^F=\mathbb R^{\mathbb Z\times F}$）同型になる。
基底の取り方．同型 $\psi_M$ は $e_1,\dots,e_r$ の選び方による。正の次数の $a\in H^\bullet(M)$ について $\pi^*a$ のファイバーへの制限は $0$ なので（$\pi\circ i_x$ は定値写像）、$e_j$ に $\pi^*a$ の形の項を足してもファイバーの基底を与える。射影束の例で $x$ を $x+\pi^*a$（$a\in H^2(M)$）に替えると、$1,x,\dots,x^{n-1}$ の代わりの基底が得られ、関係式の係数も変わる。Chern 類の定義で $x=c_1(S^*)$ と決めているのはこのためである。
スペクトル系列．大域的な類がない束のコホモロジーは、一般には Lerayスペクトル系列 で調べる。底空間が単連結で良い被覆をもち、ファイバーのコホモロジーが有限生成の自由加群なら、その $E_2$ 項は $H^\bullet(M)\otimes H^\bullet(F)$ である（BT82 Theorem 15.11、p. 192）。Hopf 束はこの形の $E_2$ 項をもつが、$E_2$ から先の微分が $0$ でない例になっている。

関連項目

• 前提: ファイバー束, de Rhamコホモロジー, Mayer–Vietoris完全列, 五項補題
• 比較: Künnethの公式, 射影束, Chern類
• 直後に読む: Thom同型, Čech–de Rham複体
• 発展: Lerayスペクトル系列, Gysin写像, 分類空間