エピ射

同義語：epimorphism全射(圏論)epi

概要

前提知識: 圏, 写像, 全射, モノ射, 環準同型

定義

エピ射は、集合の間の全射という性質を、元を用いずに圏の射の合成だけで言い表したものであり、モノ射の双対概念である。

エピ射

$\mathcal{C}$ を圏とする。$\mathcal{C}$ の射 $f\colon A\to B$ がエピ射（epimorphism、epi）であるとは、任意の対象 $Z$ と任意の射 $u,v\colon B\to Z$ について
$$ u\circ f=v\circ f\ \Longrightarrow\ u=v $$
が成り立つことをいう。すなわち $f$ は合成において右から簡約できる（右簡約可能）。$f$ がエピ射であることを $f\colon A\twoheadrightarrow B$ と書き表す。圏論の文脈では、エピ射を単に「全射」あるいは epic とよぶこともある。

$\mathcal{C}$ が局所小ならば、$f$ がエピ射であることは、すべての対象 $Z$ について前合成 $f^*\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(B,Z)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(A,Z)$、$u\mapsto u\circ f$ が単射であることと同じである。また $f$ が $\mathcal{C}$ のエピ射であることと、$f$ が反対圏 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ のモノ射であることは同値である（双対原理）。

分裂エピ射と正則エピ射

圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon A\to B$ について、次の用語を用いる。

$f$ が分裂エピ射（split epimorphism）であるとは、$f\circ s=\mathrm{id}_B$ を満たす射 $s\colon B\to A$ が存在することをいう。このような $s$ を $f$ の切断（section）という。
$f$ が正則エピ射（regular epimorphism）であるとは、ある平行な射 $a,b\colon X\to A$ が存在して、$f$ が $a$ と $b$ の余等化子になっていることをいう。

分裂エピ射はエピ射である。実際 $u\circ f=v\circ f$ ならば $u=u\circ f\circ s=v\circ f\circ s=v$ である。さらに、分裂エピ射は正則エピ射であり、正則エピ射はエピ射である。これらの含意の証明と、その間にある強エピ射・極エピ射の階層は正則エピ射の記事で扱う。逆はどちらも一般には成り立たない（ex-epimorphism-not-split。$\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$（prop-epimorphism-localization）はモノ射でもあり同型でないので正則エピ射でない。# 補足を参照）。

直感

集合の間の写像 $f\colon A\to B$ が全射でないと、$B$ の点で $f$ の値にならないものがあり、$f$ の後ろに合成する写像はその点での値を自由に変えられる。エピ射の条件は、$f$ の後ろの写像が「$f$ の像の上の値」だけで決まってしまうことを要求する。集合の圏ではこれは全射と同じだが（prop-epimorphism-set）、後ろの射に強い制約がある圏では、像が小さくても後ろの射が決まってしまうことがある。環準同型は可逆元の逆元まで決めてしまうので $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$ がエピ射になり（prop-epimorphism-localization）、Hausdorff 空間への連続写像は稠密な部分集合の上の値で決まるので、稠密な像をもつ連続写像がエピ射になる（ex-epimorphism-hausdorff）。エピ射は「像が全体である」ことではなく「像が後ろの射を決定する」ことを表す概念である。

例と反例

全射と一致する圏

次の圏では、射がエピ射であることと、下部の写像が全射であることは同値である。

集合の圏 $\mathbf{Set}$（prop-epimorphism-set）と群の圏 $\mathbf{Grp}$（prop-epimorphism-group）。
アーベル群の圏 $\mathbf{Ab}$、環 $R$ 上の加群の圏。全射準同型が右簡約可能であることは $\mathbf{Set}$ と同じ計算による。逆に $f\colon A\to B$ がエピ射なら、標準射影 $\pi\colon B\to B/f(A)$ と零写像 $0$ は $\pi\circ f=0=0\circ f$ を満たすので $\pi=0$、すなわち $B=f(A)$ である。
位相空間の圏 $\mathbf{Top}$。2 点集合 $\{0,1\}$ に密着位相を入れた空間への写像はすべて連続なので、prop-epimorphism-set の証明がそのまま通る。

Hausdorff空間の圏の稠密な像

Hausdorff空間と連続写像のなす圏 $\mathbf{Haus}$ において、包含 $\iota\colon\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R}$（通常の位相）はエピ射であるが全射でない。実際、Hausdorff 空間 $Z$ への連続写像 $u,v\colon\mathbb{R}\to Z$ が $u\circ\iota=v\circ\iota$、すなわち $\mathbb{Q}$ 上で一致するとする。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密であり、Hausdorff 空間への 2 つの連続写像の一致集合は閉集合なので（Hausdorff空間の記事の命題「連続写像の一致集合とグラフの閉性」）、一致集合は $\mathbb{Q}$ の閉包 $\mathbb{R}$ を含み、$u=v$ である。
同じ $\iota$ は $\mathbf{Top}$ ではエピ射でない（ex-epimorphism-concrete の 3）。密着位相の 2 点空間は Hausdorff でないので $\mathbf{Haus}$ では試験対象に使えず、そのぶんエピ射が増える。エピ射であるかどうかは射そのものではなく、どの圏で考えるかに依存する。

反例：分裂しないエピ射

$\mathbf{Ab}$ において標準射影 $\pi\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は全射なのでエピ射であり、$2\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ と $0$ の余等化子なので正則エピ射でもある。しかし分裂エピ射でない。準同型 $s\colon\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ は $2s(\bar1)=s(\bar0)=0$ より零写像に限り、$\pi\circ s=\mathrm{id}$ にならないからである。この例は「エピ射ならば分裂エピ射」という含意を破る。
$\mathbf{Set}$ では、「すべての全射が分裂する」という主張は選択公理と同値である。全射 $f\colon A\to B$ の切断 $s$ は、空でない集合の族 $(f^{-1}(b))_{b\in B}$ から一点ずつ選ぶ選択関数にほかならず、逆に空でない集合の族 $(X_i)_{i\in I}$ の選択関数は、全射 $\coprod_iX_i\to I$ の切断から得られるからである。

アーベル群の圏では $\mathbb{Q}$ への包含はエピ射でない

包含 $\iota\colon\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ は環の圏ではエピ射だが（prop-epimorphism-localization）、$\mathbf{Ab}$ ではエピ射でない。標準射影 $p\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ と零写像 $0$ は $\mathbb{Z}$ 上で一致する（$p\circ\iota=0=0\circ\iota$）が、$p(1/2)\ne0$ なので $p\ne0$ である。環準同型は積と単位元を保つので $1/n$ の行き先が $n$ の行き先で決まるが、群準同型にはその制約がない。

順序集合を圏とみたとき

順序集合を、$x\le y$ のときに限り射 $x\to y$ がただ一つある圏とみなすと、平行な射は高々一つなので、すべての射がエピ射であり、同時にモノ射でもある。同型射は恒等射だけである。$x< y$ となる元があれば（たとえば $\{0<1\}$）、射 $x\to y$ はモノ射かつエピ射だが同型射でない。この例は「モノ射かつエピ射ならば同型射である」という含意を破る。

性質

全射との関係

集合の圏のエピ射は全射

$\mathbf{Set}$ において、写像 $f\colon A\to B$ がエピ射であることと、$f$ が全射であることは同値である。

$f$ が全射とし、$u,v\colon B\to Z$ が $u\circ f=v\circ f$ を満たすとする。任意の $b\in B$ は $b=f(a)$ と書けるので $u(b)=u(f(a))=v(f(a))=v(b)$、よって $u=v$ である。
逆に $f$ がエピ射とする。$u,v\colon B\to\{0,1\}$ を、$u$ は像 $f(A)$ の特性関数（$b\in f(A)$ なら $1$、そうでなければ $0$）、$v$ は定値 $1$ の写像とする。任意の $a\in A$ で $u(f(a))=1=v(f(a))$ なので $u\circ f=v\circ f$ であり、$f$ がエピ射なので $u=v$ である。すなわちすべての $b\in B$ で $u(b)=1$、つまり $f(A)=B$ であり、$f$ は全射である。$\square$

群の圏のエピ射は全射

$\mathbf{Grp}$ において、群準同型 $f\colon G\to H$ がエピ射であることと、$f$ が全射であることは同値である。

全射な準同型がエピ射であることは prop-epimorphism-set と同じ計算による。逆に $f$ がエピ射とし、像 $K:=f(G)$（$H$ の部分群）が $H$ に等しいことを示す。
$H$ における $K$ の左剰余類の集合 $H/K$ に新しい一点 $\infty$ を加えた集合を $X:=H/K\sqcup\{\infty\}$ とし、$X$ の全単射のなす群（対称群）を $\mathrm{Sym}(X)$ とする。群準同型 $\varphi\colon H\to\mathrm{Sym}(X)$ を、左乗法 $\varphi(h)(xK):=hxK$ と $\varphi(h)(\infty):=\infty$ で定める。$\sigma\in\mathrm{Sym}(X)$ を、剰余類 $K$ と $\infty$ を入れ替え、他の点を動かさない互換とし（$\sigma^{-1}=\sigma$）、$\psi(h):=\sigma\circ\varphi(h)\circ\sigma$ とおく。$\psi$ も群準同型である。
$k\in K$ に対して $\psi(k)=\varphi(k)$ となることを確かめる。$\varphi(k)$ は $K$（$kK=K$ なので）と $\infty$ を固定し、$xK\ne K$ なる剰余類を $kxK\ne K$ に写す（$kxK=K$ なら $xK=k^{-1}K=K$）。よって $\varphi(k)$ は $\sigma$ が入れ替える 2 点をどちらも固定し、それ以外の点を $\sigma$ が固定する点に写すので、$\sigma\circ\varphi(k)\circ\sigma=\varphi(k)$ である。$f$ の値は $K$ に入るので $\varphi\circ f=\psi\circ f$ であり、$f$ がエピ射なので $\varphi=\psi$ である。
ここで $h\in H\setminus K$ があったとすると、$\varphi(h)(K)=hK\ne K$ である一方、$\psi(h)(K)=\sigma(\varphi(h)(\infty))=\sigma(\infty)=K$ となり、$\varphi(h)\ne\psi(h)$ で矛盾する。よって $K=H$、すなわち $f$ は全射である。$\square$

この証明は、$K$ の上では一致し $K$ の外では異なる 2 つの準同型を、剰余類への作用を一点で「ねじる」ことで作っている。$\mathbf{Ab}$ では商群 $B/f(A)$ への射影という簡単な試験射が使えたが（ex-epimorphism-concrete）、$\mathbf{Grp}$ では $K$ が正規部分群とは限らず商群がとれないので、このような工夫が要る。

環の圏：全射でないエピ射

環は単位元をもち、環準同型は単位元を保つとする。可換環 $A$ の積閉集合 $S$（$1\in S$ で積に閉じた部分集合）による局所化 $S^{-1}A$ は、分数 $a/s$（$a\in A$、$s\in S$）を、ある $t\in S$ について $t(as'-a's)=0$ となるとき $a/s=a'/s'$ と同一視して得られる環であり、標準写像 $\lambda\colon A\to S^{-1}A$、$a\mapsto a/1$ は環準同型である。$A=\mathbb{Z}$、$S=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ のとき $S^{-1}A=\mathbb{Q}$ で、$\lambda$ は包含 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ である。

局所化の標準写像はエピ射

可換環 $A$ と積閉集合 $S$ について、標準写像 $\lambda\colon A\to S^{-1}A$ は環の圏のエピ射である。特に包含 $\iota\colon\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ は環の圏のエピ射であるが、全射でない。

$C$ を環（可換とは限らない）、$g,h\colon S^{-1}A\to C$ を $g\circ\lambda=h\circ\lambda$ を満たす環準同型とする。$s\in S$ に対し、$S^{-1}A$ で $(s/1)(1/s)=(1/s)(s/1)=1$ なので、$g(1/s)$ は $C$ における $g(s/1)$ の両側逆元であり、同様に $h(1/s)$ は $h(s/1)=g(s/1)$ の両側逆元である。環の元の両側逆元は一意である（$y,y'$ がともに $x$ の逆元なら $y=y(xy')=(yx)y'=y'$）ので、$g(1/s)=h(1/s)$ である。任意の元は $a/s=(a/1)(1/s)$ と書けるので
$$ g(a/s)=g(a/1)\,g(1/s)=h(a/1)\,h(1/s)=h(a/s) $$
となり、$g=h$ である。よって $\lambda$ はエピ射である。$\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ の像は整数だけで $1/2$ を含まないので全射でない。$\square$

この命題は、$C$ が可換な場合には局所化の普遍性（$S$ の元を単元に写す準同型は $S^{-1}A$ を一意に経由する）の一意性の部分にあたる。包含 $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ は単射なので環の圏のモノ射でもあり（モノ射）、同型射でないモノ射かつエピ射の例になる。この例は「エピ射ならば全射」という含意を破り、また「モノ射かつエピ射ならば同型射」という含意も破る。一方、全射な環準同型、たとえば $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ はもちろんエピ射である。同じ種類の例として、モノイドの圏の包含 $\mathbb{N}\hookrightarrow\mathbb{Z}$（加法）も全射でないエピ射である（正則エピ射の記事の例）。

合成と押し出し

エピ射の合成

圏 $\mathcal{C}$ の射 $f\colon A\to B$、$g\colon B\to C$ について次が成り立つ。

$f$ と $g$ がエピ射ならば $g\circ f$ はエピ射である。
$g\circ f$ がエピ射ならば $g$ はエピ射である。
同型射はエピ射である。

1：$u\circ(g\circ f)=v\circ(g\circ f)$ ならば、結合律により $(u\circ g)\circ f=(v\circ g)\circ f$ で、$f$ がエピ射なので $u\circ g=v\circ g$、$g$ がエピ射なので $u=v$ である。
2：$u\circ g=v\circ g$ ならば $u\circ g\circ f=v\circ g\circ f$ であり、$g\circ f$ がエピ射なので $u=v$ である。
3：$f$ が逆射 $f^{-1}$ をもてば、$u\circ f=v\circ f$ の両辺に右から $f^{-1}$ を合成して $u=v$ を得る。$\square$

2 で $f$ はエピ射とは限らない（$\mathbf{Set}$ で $f\colon\{0\}\to\{0,1\}$ を包含、$g\colon\{0,1\}\to\{0\}$ とすると $g\circ f=\mathrm{id}$）。モノ射が引き戻しで保たれることの双対として、エピ射は押し出しで保たれる。すなわち、エピ射 $e\colon A\to B$ と射 $c\colon A\to C$ の押し出し $B\to P\leftarrow C$ が存在すれば、$C\to P$ はエピ射である。証明はモノ射の記事の命題「モノ射は引き戻しで保たれる」の矢印をすべて逆にすればよい。これに対し、エピ射が引き戻しで保たれるとは限らない。トポスや正則圏では（正則）エピ射の引き戻しがエピ射になることが、その圏の重要な性質として要請・証明される。

補足

正則エピ射との関係：集合・群・アーベル群・加群の圏では、エピ射はすべて正則エピ射であり、商への標準射影として実現される（正則エピ射の例）。環の圏の $\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$ は正則エピ射でない。正則エピ射でモノ射でもあるものは同型射だからである（正則エピ射の記事の系）。このように「全射らしさ」を正しく捉えるのは、多くの場面でエピ射ではなく正則エピ射である。
用語：エピ射を「全射」と訳す文献もあるが、prop-epimorphism-localization や ex-epimorphism-hausdorff のように下部写像の全射性と食い違う圏があるので、本記事では「エピ射」を用いる。基本は Mac98 I §5、Rie16 §1.2、Bor94a §1.8 にある。