Picardスキーム

任意のスキーム $S$ について、$\operatorname{Pic}_{\mathbb{P}^n_S/S}$ は定数群スキーム $\mathbb{Z}_S$ で表現され、$d \in \mathbb{Z}$ には $\mathcal{O}(d)$ の類が対応する（FGAex 第 9 章。本記事では証明しない）。体 $k$ 上では $\operatorname{Pic}_{\mathbb{P}^n/k}(k) = \operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n_k) \cong \mathbb{Z}$ であり（Picard群 の記事の射影空間の例）、$H^1(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}) = 0$ とprop-picard-scheme-tangent により接空間は $0$、すなわち $\operatorname{Pic}^0 = \operatorname{Spec} k$ である。

$k$ を体、$C$ を $k$ 上の射影的で滑らかな幾何的連結曲線で、種数 $g$、$C(k) \ne \emptyset$ となるものとする。$H^2(C, \mathcal{O}_C) = 0$ なので $\operatorname{Pic}_{C/k}$ は滑らかであり、cor-picard-scheme-dimension により $\dim \operatorname{Pic}^0_{C/k} = h^1(C, \mathcal{O}_C) = g$ である。次数は $\operatorname{Pic}_{C/k}$ 上の局所定数関数を与え、
$$ \operatorname{Pic}_{C/k} = \coprod_{d \in \mathbb{Z}} \operatorname{Pic}^d_{C/k} $$
と分かれる。$\operatorname{Pic}^0_{C/k}$ は $g$ 次元の アーベル多様体 であり、$C$ の Jacobi多様体 と呼ばれる（固有であることは本記事では証明しない。FGAex 第 9 章）。有理点 $P \in C(k)$ を選ぶと、$\mathcal{O}(-dP)$ とのテンソル積が同型 $\operatorname{Pic}^d_{C/k} \cong \operatorname{Pic}^0_{C/k}$ を与える。$g = 1$ で $C = E$ が楕円曲線なら、$\operatorname{Pic}^0_{E/k} \cong E$ である。

$k$ 上の $g$ 次元アーベル多様体 $A$ について、$\operatorname{Pic}^0_{A/k}$ は $g$ 次元のアーベル多様体であり、$A$ の 双対アーベル多様体 $A^{\vee}$ と呼ばれる。$h^1(A, \mathcal{O}_A) = g$ であることと合わせて、$\operatorname{Pic}_{A/k}$ は滑らかである（本記事では証明しない）。

$X = V(x^2 + y^2 + z^2) \subset \mathbb{P}^2_{\mathbb{R}}$ とする。実数の平方和は $0$ にならないので $X(\mathbb{R}) = \emptyset$ である。$X$ は幾何的に整な射影曲線で $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = \mathbb{R}$、$X_{\mathbb{C}} \cong \mathbb{P}^1_{\mathbb{C}}$ である。

1. $\operatorname{Pic}_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}$。$X_{\mathbb{C}}$ は有理点をもつので、prop-picard-scheme-section により $\operatorname{Pic}_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{C}) = \operatorname{Pic}(X_{\mathbb{C}}) \cong \mathbb{Z}$（次数）である。$\operatorname{Spec}\mathbb{C} \to \operatorname{Spec}\mathbb{R}$ は fppf 被覆で $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ だから、層の条件は $\operatorname{Pic}_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{R}) = \operatorname{Pic}_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{C})^{\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})}$ を与える。複素共役は次数を保つので $\mathbb{Z}$ に自明に作用し、$\operatorname{Pic}_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{Z}$ である。
2. $\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}(X_{\mathbb{C}})$ は単射。$\mathcal{L}_{\mathbb{C}}$ が自明なら、平坦底変換により $H^0(X, \mathcal{L}) \otimes \mathbb{C} = H^0(X_{\mathbb{C}}, \mathcal{L}_{\mathbb{C}}) \cong \mathbb{C}$ なので、$0$ でない $s \in H^0(X, \mathcal{L})$ がある。$s_{\mathbb{C}}$ は自明な直線束の $0$ でない切断だからどこでも消えず、$s$ もどこでも消えない。よって $\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X$ である。
3. 像は $2\mathbb{Z}$。$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)|_X$ の次数は $2$ である。次数 $1$ の $\mathcal{L}$ があったとすると、$h^0(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}(1)) = 2$ と平坦底変換から $H^0(X, \mathcal{L}) \ne 0$ であり、$0$ でない切断 $s$ の零スキーム $Z$ は $Z_{\mathbb{C}}$ が被約な $1$ 点となる。$Z = \operatorname{Spec} B$ とすると $B \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C}$ だから $B = \mathbb{R}$ であり、$Z$ は $X$ の $\mathbb{R}$ 有理点になって矛盾する。奇数次の $\mathcal{L}$ があれば、$\mathcal{O}(1)|_X$ の冪で割って次数 $1$ にできるので、これも無い。
   したがって $\operatorname{Pic}(X) \cong 2\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z} = \operatorname{Pic}_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{R})$ であり、prop-picard-scheme-section の「切断をもつ」という仮定を外すと、$\operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Pic}_{X/k}(k)$ は全射でなくなる。$\operatorname{Pic}_{X/\mathbb{R}}(\mathbb{R})$ の生成元は、$\mathbb{C}$ 上では直線束だが $\mathbb{R}$ 上には降りない「類」である。

$R$ を離散付値環、$\pi$ をその素元、$K$ を商体、$k$ を剰余体とし、$S = \operatorname{Spec} R$、$X = V(xy - \pi z^2) \subset \mathbb{P}^2_R$ とする。

• $X$ は整で $S$ を支配するので $S$ 上平坦であり、射影的である。生成ファイバーは滑らかな円錐曲線、閉ファイバーは 2 直線 $L_1 = V(x)$、$L_2 = V(y)$ の和で、2 直線は点 $p = [0:0:1]$ で交わる。幾何的ファイバーは被約かつ連結なので (C) が成り立つ。$[1:0:0]$ は $X$ の切断を与える。
• $X$ は正則である。$p$ の外では閉ファイバーが滑らかなので $X$ は $S$ 上滑らかであり、$p$ では局所環が $R[x, y]/(xy - \pi)$ の局所化で、$\pi = xy$ だから極大イデアルは $x, y$ で生成される $2$ 次元の正則局所環である。よって $X$ は局所分解的で、素因子 $C_1 := L_1$ の直線束 $\mathcal{O}_X(C_1)$ が定まる。$p$ の近傍では $C_1$ は $x$ で定義される。
• $C_1$ は生成ファイバーと交わらないので、$\mathcal{O}_X(C_1)|_{X_K} \cong \mathcal{O}_{X_K}$ である。一方、$L_2$ への制限は $C_1 \cap L_2 = \{p\}$ で、$L_2$ の座標 $x$ は $p$ で $1$ 位の零点をもつので、$\mathcal{O}_X(C_1)|_{L_2} \cong \mathcal{O}_{L_2}(1)$ となり、$\mathcal{O}_X(C_1)|_{X_k}$ は自明でない。
  (C) と切断があるので、prop-picard-scheme-section により $\xi := [\mathcal{O}_X(C_1)]$ と $0$ はともに $\operatorname{Pic}_{X/S}(S) = \operatorname{Pic}(X)$ の元であり、$K$ に制限すると一致するが、$k$ に制限すると異なる。もし $\operatorname{Pic}_{X/S,(\mathrm{fppf})}$ が $S$ 上分離的なスキーム $P$ で表現されるなら、二つの射 $S \to P$ が一致する部分は閉部分スキームで生成点を含むので、被約な $S$ 全体に一致し、矛盾する。したがって $P$ は（存在しても）分離的でない。thm-picard-scheme-grothendieck の「幾何的ファイバーが整」という仮定を外すと、分離性の結論が破れる。

標数 $0$ では $\dim \operatorname{Pic}^0_{X/k} = h^1(X, \mathcal{O}_X)$ が成り立つが、正標数ではこの等式が破れる。Igusa は、標数 $2$ の代数閉体上の滑らかな射影曲面で $\dim \operatorname{Pic}^0_{X/k} < h^1(X, \mathcal{O}_X)$ となるものを構成した（Igu55。本記事では確認していない）。cor-picard-scheme-dimension により、この曲面の Picard スキームは滑らかでなく、体が完全なので被約でもない。標数 $0$ という仮定（Cartier の定理）を外すと、滑らかさの結論が破れる。