Schur多項式

1. $\sigma a_\alpha$ は行列 $(x_i^{\alpha_j})$ の行を $\sigma$ で並べ替えた行列式なので $\operatorname{sgn}(\sigma)a_\alpha$ に等しい。$\alpha_j=\alpha_k$（$j\ne k$）なら第 $j$ 列と第 $k$ 列が等しいので $a_\alpha=0$ である。
   まず補助的な事実を示す。$i\ne j$ とし、$f\in\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ が $x_i=x_j$ を代入すると $0$ になるなら、$f$ は $x_i-x_j$ で割り切れる。実際、$f$ を $x_i$ の多項式（係数は他の変数の多項式）とみて、モニック多項式 $x_i-x_j$ で割ると $f=(x_i-x_j)q+r$、$r$ は $x_i$ を含まない多項式となる。$x_i=x_j$ を代入すると $0=r$ である。
2. $a_\delta$ は (1) により $x_i=x_j$ の代入で $0$ になるので $x_1-x_2$ で割り切れる：$a_\delta=(x_1-x_2)q_1$。$(i,j)\ne(1,2)$ なる $i< j$ に対し $x_i=x_j$ を代入すると $0=(x_1-x_2)|_{x_i=x_j}\cdot q_1|_{x_i=x_j}$ で、$(x_1-x_2)|_{x_i=x_j}$ は $0$ でない多項式なので、整域 $\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]$ において $q_1|_{x_i=x_j}=0$ である。これを繰り返して $a_\delta=\prod_{i< j}(x_i-x_j)\cdot c$ を得る。両辺の次数はともに $n(n-1)/2$ なので $c$ は定数であり、単項式 $x_1^{n-1}x_2^{n-2}\cdots x_{n-1}$ の係数を比べると、左辺では対角成分の積（$\sigma=\mathrm{id}$）から $1$、右辺では各因子から $x_i$ を選んだ項から $c$ が得られるので $c=1$ である。
3. 交代多項式 $f$ は互換 $(i\,j)$ で $-f$ に写るので、$x_i=x_j$ を代入すると $f|_{x_i=x_j}=-f|_{x_i=x_j}$、すなわち $2f|_{x_i=x_j}=0$ となり、$\mathbb{Z}$ 係数なので $f|_{x_i=x_j}=0$ である。(2) と同じ議論により $f=a_\delta g$ となる $g$ が存在し、整域なので一意である。任意の $\sigma$ に対し $\operatorname{sgn}(\sigma)a_\delta g=\sigma f=(\sigma a_\delta)(\sigma g)=\operatorname{sgn}(\sigma)a_\delta(\sigma g)$ であり、$a_\delta\ne0$ を約して $\sigma g=g$ を得る。$\square$

交代多項式全体のなす $\mathbb{Z}$ 加群を $A_n$ とする。lem-schur-polynomial-alternating (3) により、写像 $g\mapsto a_\delta g$ は $\Lambda_n\to A_n$ の全射であり、整域なので単射でもある。したがって $\Lambda_n\cong A_n$ であり、$s_\lambda$ の全体が $\Lambda_n$ の基底であることは、$a_{\lambda+\delta}$（$\ell(\lambda)\le n$）の全体が $A_n$ の基底であることと同値である。
$f=\sum_\alpha c_\alpha x^\alpha\in A_n$ とする。$\sigma f=\operatorname{sgn}(\sigma)f$ を係数で読むと、$\alpha$ の成分を $\sigma$ で並べ替えた指数 $\sigma\alpha$ について $c_{\sigma\alpha}=\operatorname{sgn}(\sigma)c_\alpha$ である。$\alpha$ に等しい成分 $\alpha_i=\alpha_j$ があれば、互換 $\sigma=(i\,j)$ は $\alpha$ を固定するので $c_\alpha=-c_\alpha$、すなわち $c_\alpha=0$ である。よって $f$ に現れる指数は相異なる成分をもち、各指数はただ一つの狭義減少列 $\beta$ の並べ替えである。狭義減少列 $\beta$ にわたって
$$ f=\sum_\beta c_\beta\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)x^{\sigma\beta}=\sum_\beta c_\beta\,a_\beta $$
となる（$a_\beta=\sum_\sigma\operatorname{sgn}(\sigma)x_{\sigma(1)}^{\beta_1}\cdots x_{\sigma(n)}^{\beta_n}$ の項は $\beta$ の並べ替えを指数とする単項式をちょうど一度ずつ含む）。相異なる狭義減少列 $\beta$ に対する $a_\beta$ は共通の単項式をもたないので、この表示は一意であり、$a_\beta$ の全体は $A_n$ の基底である。狭義減少列 $\beta$ は長さ $n$ 以下の分割 $\lambda$ を用いて $\beta=\lambda+\delta$ と一意に書けるので、主張が従う。次数についての主張は、$a_{\lambda+\delta}$ が $|\lambda|+n(n-1)/2$ 次斉次であることから従う。$\square$

thm-schur-polynomial-tableau-formula により $s_\lambda$ の $x^\mu$ の係数は内容 $\mu$ の半標準盤の個数であり、$s_\lambda$ は対称なので、その係数は $\mu$ の並べ替えによらず、$m_\mu$ の係数 $K_{\lambda\mu}$ を与える。内容 $\lambda$ の半標準盤では、第1行の $\lambda_1$ 箱はすべて $1$ でなければならず（$1$ は列の先頭にしか置けず、$1$ が $\lambda_1$ 個あるので第1行を埋め尽くす）、以下帰納的に第 $i$ 行はすべて $i$ となるので $K_{\lambda\lambda}=1$ である。一般に半標準盤では列が狭義増加なので、$i$ 以下の成分は第 $i$ 行までにしか現れず、$\mu_1+\cdots+\mu_i\le\lambda_1+\cdots+\lambda_i$ である。最後の主張は、$m_\mu$ が $R[x_1,\dots,x_n]^{S_n}$ の $R$ 基底であり（対称多項式）、$s_\lambda$ から $m_\mu$ への変換行列が支配順序を細分した全順序について単三角（対角成分 $1$ の三角行列）であることから従う。$\square$

$n+1$ 変数での $\delta$ を $\delta^{\prime}=(n,n-1,\dots,0)$ とする。$\lambda_{n+1}=0$ なので $\lambda+\delta^{\prime}$ の最後の成分は $0$ であり、$x_{n+1}=0$ を代入した行列 $(x_i^{\lambda_j+n+1-j})$ の第 $n+1$ 行は $(0,\dots,0,1)$ になる。この行で展開すると $a_{\lambda+\delta^{\prime}}(x_1,\dots,x_n,0)=\det(x_i^{\lambda_j+n+1-j})_{1\le i,j\le n}=x_1\cdots x_n\,a_{\lambda+\delta}(x_1,\dots,x_n)$ である（各行から $x_i$ を括り出した）。$\lambda=0$ の場合が $a_{\delta^{\prime}}(x_1,\dots,x_n,0)=x_1\cdots x_n\,a_\delta$ を与えるので、比をとって主張を得る。$\square$

$x_i=q^{i-1}$ を代入すると、$a_\alpha$ の $(i,j)$ 成分は $q^{(i-1)\alpha_j}=y_j^{\,i-1}$（$y_j:=q^{\alpha_j}$）となる。lem-schur-polynomial-alternating (2) を転置し、行の順序を逆にすると、$\det(y_j^{\,i-1})_{i,j}=(-1)^{n(n-1)/2}\prod_{i< j}(y_i-y_j)$ である。この符号は $\alpha=\lambda+\delta$ と $\alpha=\delta$ で共通なので、$\mathbb{Z}[q]$ における等式
$$ s_\lambda(1,q,\dots,q^{n-1})\prod_{i< j}(q^{n-i}-q^{n-j})=\prod_{i< j}(q^{\lambda_i+n-i}-q^{\lambda_j+n-j}) $$
を得る。これが前半の式である。$a>b\ge0$ に対し $q^a-q^b=q^b(q-1)(1+q+\cdots+q^{a-b-1})$ と書けるので、両辺を $(q-1)^{n(n-1)/2}$ で割って（整域 $\mathbb{Z}[q]$ で約して）から $q=1$ を代入すると、$\prod_{i< j}(j-i)$ と $\prod_{i< j}(\lambda_i-\lambda_j+j-i)$ が現れ、後半の式を得る。最後の主張は thm-schur-polynomial-tableau-formula で $x_i=1$ とおけばよい。$\square$