有理同値

$Z_{n-1}(X)$ は余次元 $1$ の部分多様体（素因子）の形式和の群、すなわち Weil 因子の群 $\operatorname{Div}(X)$ である（Weil因子。$X$ が正規でないときは同記事の注意「条件を外した場合の定義」の意味で）。$X$ は既約なので $n$ 次元の部分多様体は $X$ 自身だけであり、$\operatorname{Rat}_{n-1}(X)$ は $r\in k(X)^\times$ に対する $\operatorname{div}(r)$ の和全体、すなわち $\operatorname{div}\colon k(X)^\times\to\operatorname{Div}(X)$ の像である。$\operatorname{div}$ は群準同型なので、像は $\operatorname{div}(r)$ の形の元全体に一致し、これが主因子の群である。よって $A_{n-1}(X)=\operatorname{Div}(X)/\{\text{主因子}\}=\operatorname{Cl}(X)$ である。$X$ が非特異なら $\operatorname{Cl}(X)\cong\operatorname{Pic}(X)$ であり（Har77 II, Corollary 6.16。証明は Chow環 の記事の定理「Picard群と余次元1のChow群」）、主張が従う。$\square$

$A$ が局所環であること。$x/t\in A$（$x\in S$、$t\in T$ は同じ次数の斉次元）が $\mathfrak{m}$ に属さないとは $x\notin\mathfrak{p}$ ということであり（$x/t=x'/t'$ かつ $x\in\mathfrak{p}$ なら、ある $t''\in T$ について $t''(xt'-x't)=0\in\mathfrak{p}$ だから $x't\in\mathfrak{p}$、$t\notin\mathfrak{p}$ より $x'\in\mathfrak{p}$。ゆえに「分子が $\mathfrak{p}$ に属する」ことは表し方によらない）、このとき $x\in T$ なので $t/x\in A$ が $x/t$ の逆元である。$\mathfrak{m}$ は $A$ のイデアルだから、$A\setminus\mathfrak{m}$ が単元全体であることから $A$ は $\mathfrak{m}$ を唯一の極大イデアルとする局所環である。
Laurent 多項式環による表示。$S_+\not\subset\mathfrak{p}$ なので 1 次の斉次元 $\ell\in S_1\setminus\mathfrak{p}$ がとれ、$\ell$ は $T^{-1}S$ の次数 $1$ の単元である。$A$ 上の Laurent 多項式環（Laurent多項式）からの環準同型 $\varphi\colon A[u,u^{-1}]\to T^{-1}S$ を $u\mapsto\ell$ で定めると、$\varphi$ は次数を保ち、次数 $e$ の部分 $Au^e\to(T^{-1}S)_e$ は全単射である。実際、次数 $e$ の元 $y\in T^{-1}S$ は $y=(y\ell^{-e})\ell^e$、$y\ell^{-e}\in A$ と書けるので全射であり、$\ell^e$ が単元だから $a\ell^e=0$ なら $a=0$ で単射である。ゆえに $\varphi$ は同型であり、同様に $T^{-1}M=\bigoplus_eN\ell^e$、すなわち $T^{-1}M\cong N\otimes_AA[u,u^{-1}]$ である。また $T^{-1}\mathfrak{p}$ の次数 $e$ の部分は $\mathfrak{m}\ell^e$ なので（$x/t\in(T^{-1}\mathfrak{p})_e$ は $(x/(t\ell^e))\ell^e$ と書け、$x/(t\ell^e)\in\mathfrak{m}$）、$\varphi$ のもとで $T^{-1}\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{m}A[u,u^{-1}]$ に対応する。これは剰余環が $(A/\mathfrak{m})[u,u^{-1}]$（整域）なので素イデアルである。
局所化の比較。$T\subset S\setminus\mathfrak{p}$ なので、$S_{\mathfrak{p}}$ は $T^{-1}S$ を素イデアル $T^{-1}\mathfrak{p}$ で局所化したものである。上の対応により
$$ S_{\mathfrak{p}}\cong A[u,u^{-1}]_{\mathfrak{m}A[u,u^{-1}]}=A[u]_{\mathfrak{m}A[u]}=:A(u) $$
である（$u\notin\mathfrak{m}A[u]$ なので $A[u]$ を $\mathfrak{m}A[u]$ で局所化すれば $u$ は自動的に可逆になる）。同様に $M_{\mathfrak{p}}\cong N\otimes_AA(u)$ である。
長さの比較。$A[u]$ は自由 $A$ 加群だから平坦加群であり、局所化は平坦なので $A\to A(u)$ は平坦である。$A(u)$ は極大イデアル $\mathfrak{m}A(u)$ をもつ局所環で、その剰余体は $(A/\mathfrak{m})[u]$ の商体 $\kappa(u)$（$\kappa:=A/\mathfrak{m}$）である。$N$ の組成列 $0=N_0\subsetneq N_1\subsetneq\cdots\subsetneq N_s=N$ をとると、各 $N_i/N_{i-1}$ は単純 $A$ 加群なので $\kappa$ に同型である。平坦性により $N_i\otimes_AA(u)$ は $N\otimes_AA(u)$ の部分加群の増大列をなし、その商は $\kappa\otimes_AA(u)=A(u)/\mathfrak{m}A(u)=\kappa(u)$、すなわち $A(u)$ の剰余体で、単純 $A(u)$ 加群である。ゆえにこれは $N\otimes_AA(u)$ の組成列であり、$\ell_{S_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}})=\ell_{A(u)}(N\otimes_AA(u))=s=\ell_A(N)$ である。$\square$

$R:=S/\mathfrak{p}_W$ を $W$ の斉次座標環、$\bar{\mathfrak{p}}:=\mathfrak{p}_Z/\mathfrak{p}_W$ とすると、$Z$ の生成点における $W$ の局所環は斉次局所化 $\mathcal{O}_{W,Z}=R_{(\bar{\mathfrak{p}})}$（$\bar{\mathfrak{p}}$ に属さない斉次元で割った分数のうち次数 $0$ のもの全体）である（Har77 II, Proposition 2.5）。$F\notin\mathfrak{p}_W$ で $R$ は整域なので $F/\ell^d$ は $\mathcal{O}_{W,Z}$ の零でない元であり、$\mathcal{O}_{W,Z}$ は $1$ 次元 Noether 局所整域だから $\mathcal{O}_{W,Z}/(F/\ell^d)$ は $0$ 次元 Noether 環で、$\operatorname{ord}_Z(F)=\ell(\mathcal{O}_{W,Z}/(F/\ell^d))$ は有限である。
1：$\operatorname{ord}_Z(F)\ne0$ であることは $F/\ell^d$ が $\mathcal{O}_{W,Z}$ の単元でないことと同値である。$\mathcal{O}_{W,Z}=R_{(\bar{\mathfrak{p}})}$ は $S_{(\mathfrak{p}_Z)}$ をその極大イデアル $\mathfrak{m}$（lem-rational-equivalence-homogeneous-localization の記号）に含まれるイデアル $(T^{-1}\mathfrak{p}_W)_0$ で割った局所環なので、$F/\ell^d$ が $\mathcal{O}_{W,Z}$ の単元でないことは $S_{(\mathfrak{p}_Z)}$ で $F/\ell^d\in\mathfrak{m}$ であることと同値で、同補題の証明の冒頭により、これは分子 $F$ が $\mathfrak{p}_Z$ に属すること、すなわち $Z\subset V(F)$ と同値である。$F\notin\mathfrak{p}_W$ なので $W\cap V(F)$ は既約な $W$ の真の閉部分集合であり、その既約成分は有限個で次元はいずれも $k$ 以下である（Har77 I, Exercise 1.10）。$k$ 次元の既約閉集合 $Z\subset W\cap V(F)$ はある既約成分に含まれ、次元の比較からそれに一致する。逆に $k$ 次元の既約成分は $V(F)$ に含まれる。
2：$M$ の極小素イデアルは $\operatorname{Ann}M=\mathfrak{p}_W+(F)$ を含む極小の素イデアル、すなわち $W\cap V(F)=Z(\mathfrak{p}_W+(F))$ の既約成分の斉次素イデアルであり、$\mathfrak{p}_Z$ はその 1 つである。lem-rational-equivalence-homogeneous-localization を $M$ と $\mathfrak{p}:=\mathfrak{p}_Z$ に適用する。$(T^{-1}M)_0=(T^{-1}S)_0/(T^{-1}(\mathfrak{p}_W+(F)))_0$ であり、$(T^{-1}(\mathfrak{p}_W+(F)))_0$ の元 $(x+Fy)/t$（$x\in\mathfrak{p}_W$、$y\in S$ は斉次）は $x/t+(F/\ell^d)\cdot(y\ell^d/t)$ と書けるので、$(T^{-1}M)_0=\mathcal{O}_{W,Z}/(F/\ell^d)$ である。これは有限の長さ $\operatorname{ord}_Z(F)$ をもつので、補題により $\mu_{\mathfrak{p}_Z}(M)=\ell_{S_{\mathfrak{p}_Z}}(M_{\mathfrak{p}_Z})=\operatorname{ord}_Z(F)$ である。
3：$R=S/\mathfrak{p}_W$ は整域で $F\notin\mathfrak{p}_W$ だから、$F$ 倍写像は単射であり、次数付き加群の短完全列
$$ 0\longrightarrow R(-d)\xrightarrow{\ F\ }R\longrightarrow M\longrightarrow0 $$
を得る。$\dim_k$ は加法的なので $P_M(z)=P_W(z)-P_W(z-d)$ である。$P_W(z)=\frac{\deg W}{(k+1)!}z^{k+1}+cz^k+(\text{低次})$ と書くと
$$ P_W(z)-P_W(z-d)=\frac{\deg W}{(k+1)!}\bigl((k+1)d\,z^k+(\text{低次})\bigr)=\frac{d\deg W}{k!}z^k+(\text{低次}) $$
である。他方、$M$ は次数付き部分加群の列 $0=M^0\subset M^1\subset\cdots\subset M^r=M$ で $M^i/M^{i-1}\cong(S/\mathfrak{p}_i)(l_i)$（$\mathfrak{p}_i$ は斉次素イデアル、$l_i\in\mathbb{Z}$）となるものをもち、$M$ の各極小素イデアル $\mathfrak{p}$ が $\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_r$ の中に現れる回数は $\mu_{\mathfrak{p}}(M)$ に等しい（Har77 I, Proposition 7.4）。Hilbert 多項式の加法性から $P_M(z)=\sum_iP_{S/\mathfrak{p}_i}(z+l_i)$ であり、$P_{S/\mathfrak{p}_i}$ の次数は $Z(\mathfrak{p}_i)$ の次元である。各 $\mathfrak{p}_i$ は $\operatorname{Ann}(M^i/M^{i-1})\supset\operatorname{Ann}M$ なので $Z(\mathfrak{p}_i)\subset W\cap V(F)$ であり、次元は $k$ 以下である。したがって $P_M$ の $z^k$ の係数には $\dim Z(\mathfrak{p}_i)=k$ となる $i$ だけが寄与し、その寄与は平行移動 $z\mapsto z+l_i$ で変わらないので $\deg Z(\mathfrak{p}_i)/k!$ である。$\dim Z(\mathfrak{p}_i)=k$ のとき、$\mathfrak{p}_i$ は $M$ のある極小素イデアル $\mathfrak{q}$ を含み、$Z(\mathfrak{q})\supset Z(\mathfrak{p}_i)$ は $W\cap V(F)$ に含まれる既約閉集合で次元が $k$ 以下だから $Z(\mathfrak{q})=Z(\mathfrak{p}_i)$、すなわち $\mathfrak{p}_i=\mathfrak{q}$ は $k$ 次元既約成分 $Z$ の斉次素イデアル $\mathfrak{p}_Z$ である。ゆえに
$$ \frac{d\deg W}{k!}=\sum_{Z}\mu_{\mathfrak{p}_Z}(M)\,\frac{\deg Z}{k!} $$
であり（和は $k$ 次元既約成分をわたる）、2 により $\mu_{\mathfrak{p}_Z}(M)=\operatorname{ord}_Z(F)$ なので主張を得る。$\square$

1：$\operatorname{Rat}_k(\mathbb{P}^n)$ は $\operatorname{div}(r)$（$W\subset\mathbb{P}^n$ は $(k+1)$ 次元部分多様体、$r\in k(W)^\times$）で生成されるので、$\deg\operatorname{div}(r)=0$ を示せばよい。$W$ の関数体は斉次座標環 $R=S/\mathfrak{p}_W$ の同じ次数の斉次元の比全体だから、$r=F/G$（$F,G\in S_d$、$F,G\notin\mathfrak{p}_W$）と書ける（$r\ne0$ なので $F\notin\mathfrak{p}_W$。$d=0$ なら $r$ は定数で $\operatorname{div}(r)=0$ だから $d\ge1$ としてよい）。$W$ の $k$ 次元部分多様体 $Z$ に対し、$Z$ 上で消えない 1 次形式 $\ell$ をとると $r=(F/\ell^d)/(G/\ell^d)$ は $\mathcal{O}_{W,Z}$ の零でない 2 元の比であり、def-rational-equivalence-div により
$$ \operatorname{ord}_Z(r)=\operatorname{ord}_Z(F/\ell^d)-\operatorname{ord}_Z(G/\ell^d)=\operatorname{ord}_Z(F)-\operatorname{ord}_Z(G) $$
である。lem-rational-equivalence-hypersurface-degree の 1 により両辺は有限個の $Z$ でしか $0$ でなく、
$$ \operatorname{div}(r)=\sum_Z\operatorname{ord}_Z(F)[Z]-\sum_Z\operatorname{ord}_Z(G)[Z] $$
である。次数をとると同補題の 3 により $\deg\operatorname{div}(r)=d\deg W-d\deg W=0$ である。
2：$A_k(\mathbb{P}^n)$ が $k$ 次元線型部分空間の類 $[L]$ で生成されることは Chow環 の記事の定理「射影空間のChow環」の証明の前半（局所化完全列と $A_k(\mathbb{A}^n)$ の計算による帰納法。Ful98 Example 1.9.3）による。$\deg L=1$ なので $\deg\colon A_k(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{Z}$ は全射であり、$A_k(\mathbb{P}^n)$ は $[L]$ が生成する巡回群だから、全射準同型 $\deg$ の核が $0$ でなければ $A_k(\mathbb{P}^n)$ は有限群で $\deg$ が全射になりえない。ゆえに $\deg$ は同型で、$[L]$ は自由生成元である。最後に $[V]=m[L]$ と書けば $\deg V=m\deg L=m$ である。$\square$

$E$ は既約な曲線なので、prop-rational-equivalence-codim-one により $\operatorname{Rat}_0(E)$ は主因子 $\operatorname{div}(f)$（$f\in k(E)^\times$）全体である。また $E$ は完備な非特異曲線なので $\deg\operatorname{div}(f)=0$ である（Har77 II, Corollary 6.10。thm-rational-equivalence-functoriality の 3）。
まず、$\deg D\ge1$ なる因子 $D$ について $\ell(D)=\deg D$ を示す。$\deg(K-D)=-\deg D<0$ である。$0\ne f\in L(K-D)$ があれば $\operatorname{div}(f)+K-D$ は有効因子なので次数は $0$ 以上だが、その次数は $\deg(K-D)<0$ であり矛盾する。ゆえに $\ell(K-D)=0$ で、Riemann–Roch により $\ell(D)=\deg D$ である。
1：$[P]-[Q]=\operatorname{div}(f)$（$f\in k(E)^\times$）とする。$\operatorname{div}(f)+[Q]=[P]\ge0$ なので $f\in L([Q])$ である。$\deg[Q]=1$ だから $\ell([Q])=1$ であり、零でない定数 $c\in k$ は $\operatorname{div}(c)=0$ を満たすので $k\subset L([Q])$、したがって $L([Q])=k$ である。ゆえに $f$ は零でない定数で $\operatorname{div}(f)=0$、すなわち $[P]=[Q]$ となり、$P\ne Q$ に反する。
2：存在。$D:=\alpha+[O]$ とおくと $\deg D=1$ なので $\ell(D)=1$ であり、$0\ne f\in L(D)$ がとれる。$\operatorname{div}(f)+D$ は有効な $0$ サイクルで、次数は $\deg\operatorname{div}(f)+\deg D=1$ である。$k$ は代数閉体なので各閉点の次数は $1$ であり、次数 $1$ の有効 $0$ サイクルは 1 つの閉点 $P$ の類 $[P]$ である。よって $\alpha=[P]-[O]-\operatorname{div}(f)\sim_{\mathrm{rat}}[P]-[O]$ である。一意性。$[P]-[O]\sim_{\mathrm{rat}}[P']-[O]$ なら $[P]-[P']\in\operatorname{Rat}_0(E)$ なので、1 により $P=P'$ である。
3：全射。$\alpha\in Z_0(E)$ に対し $m:=\deg\alpha$ とおくと $\alpha-m[O]$ は次数 $0$ なので、2 により $\alpha-m[O]\sim_{\mathrm{rat}}[P]-[O]$、すなわち $\alpha\sim_{\mathrm{rat}}(m-1)[O]+[P]$ となる $P$ がある。単射。$(m-1)[O]+[P]\sim_{\mathrm{rat}}(m'-1)[O]+[P']$ とすると、$\deg$ は有理同値で不変なので $m=m'$ であり、したがって $[P]-[O]\sim_{\mathrm{rat}}[P']-[O]$、2 の一意性により $P=P'$ である。像が $\ker\deg$ であることは $\deg([P]-[O])=0$ と全射性から従う。$\square$