有理同値
概要
有理同値（rational equivalence）とは、代数多様体 $X$ 上の $k$ 次元の代数的サイクルの同値関係で、$(k+1)$ 次元の部分多様体上の有理関数の因子 $\operatorname{div}(r)$ の和を $0$ とみなす。$X\times\mathbb{P}^1$ の部分多様体の $0$ と $\infty$ 上のファイバーの差を $0$ とみなす関係でもあり、線型同値の一般化で、商 $A_k(X)$ が Chow 群である。代数閉体上で $\mathbb{P}^n$ のサイクルの類は次数で決まる（$A_k(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}$）が、楕円曲線 $E$ では $[P]-[Q]$（$P\ne Q$）は有理同値で $0$ でなく $A_0(E)\cong\mathbb{Z}\oplus E(k)$ である。代数的同値より細かい。
定義
以下、$k$ を体とし、代数多様体とは $k$ 上分離的で有限型のスキーム（構造射が分離射かつ有限型射）をいう。既約空間性や被約（被約スキーム）性は仮定しない。代数多様体 $X$ の部分多様体とは、既約かつ被約な閉部分スキーム（整スキームである閉部分スキーム）のことである。部分多様体 $V$ の関数体を $k(V)$、$V$ の生成点における $X$ の局所環を $\mathcal{O}_{X,V}$ と書く。$X$ の $k$ 次元部分多様体全体を基底とする自由アーベル群を $Z_k(X)$ と書き、その元を $X$ 上の $k$ 次元の代数的サイクルという（代数的サイクルの記事の定義「代数的サイクルの群」）。閉部分スキーム $W\subset X$ に対し、$W$ の各既約成分 $V$ における局所環の長さを係数とする $[W]:=\sum_V\ell(\mathcal{O}_{W,V})[V]$ を $W$ の基本サイクルという。
有理同値は、部分多様体の上の有理関数の零点と極を「同じもの」とみなす関係である。まず有理関数の因子を定める。
$V\subset X$ を $(k+1)$ 次元の部分多様体、$W\subset V$ を $k$ 次元の部分多様体（$V$ の余次元 $1$ の部分多様体）とし、$A:=\mathcal{O}_{V,W}$ とおく。$A$ は Krull次元 $1$ のNoether環である局所整域で、その商体は $k(V)$ である。零でない $a\in A$ に対し $\operatorname{ord}_W(a):=\ell_A(A/aA)$（$A/aA$ は $0$ 次元の Noether 環、すなわちArtin環なので長さは有限）、一般の $r=a/b\in k(V)^\times$（$a,b\in A\setminus\{0\}$）に対し
$$
\operatorname{ord}_W(r):=\operatorname{ord}_W(a)-\operatorname{ord}_W(b)
$$
と定め、これを $r$ の $W$ に沿う位数という。$r\in k(V)^\times$ の因子を
$$
\operatorname{div}(r):=\sum_{W}\operatorname{ord}_W(r)\,[W]\in Z_k(X)
$$
で定める。和は $V$ の余次元 $1$ の部分多様体すべてをわたる。
この定義が意味をもつためには、$\operatorname{ord}_W(r)$ が $r=a/b$ の表し方によらないこと、$\operatorname{ord}_W\colon k(V)^\times\to\mathbb{Z}$ が群準同型であること、そして $r$ を固定したとき $\operatorname{ord}_W(r)\ne0$ となる $W$ が有限個であることが要る。これらの証明は Chow環 の記事の命題「位数の加法性と有限性」に譲る（Ful98 Appendix A.3 も参照）。$V$ が $W$ の生成点で非特異（$A$ が正則局所環）なら $A$ は離散付値環で、$\operatorname{ord}_W$ はその付値に一致し、$\operatorname{div}(r)$ は Weil因子 の記事の主因子 $\operatorname{div}(r)$ そのものである。長さで定めることで、$V$ が特異点をもつ場合にも位数が定まる。準同型性から $\operatorname{div}(rs)=\operatorname{div}(r)+\operatorname{div}(s)$、$\operatorname{div}(r^{-1})=-\operatorname{div}(r)$ である。
$X$ を代数多様体、$k\ge0$ を整数とする（基礎体と次元の添字に同じ文字 $k$ を用いるが、文脈で区別できる）。$X$ の $(k+1)$ 次元部分多様体 $V$ と $r\in k(V)^\times$ から得られる因子 $\operatorname{div}(r)$ の全体が生成する $Z_k(X)$ の部分群を
$$
\operatorname{Rat}_k(X)\subset Z_k(X)
$$
と書く。すなわち $\operatorname{Rat}_k(X)$ の元は有限和 $\sum_i\operatorname{div}(r_i)$（$r_i\in k(V_i)^\times$、$V_i$ は $(k+1)$ 次元部分多様体）である。$\alpha\in\operatorname{Rat}_k(X)$ のとき $\alpha$ は有理同値で $0$ であるといい $\alpha\sim_{\mathrm{rat}}0$ と書く。2 つのサイクル $\alpha,\beta\in Z_k(X)$ は $\alpha-\beta\in\operatorname{Rat}_k(X)$ のとき有理同値（rationally equivalent）であるといい、$\alpha\sim_{\mathrm{rat}}\beta$ と書く。商群
$$
A_k(X):=Z_k(X)/\operatorname{Rat}_k(X)
$$
を $X$ の $k$ 次元の Chow群といい、$A_*(X):=\bigoplus_{k\ge0}A_k(X)$ とおく。サイクル $\alpha$ の $A_k(X)$ における像を $\alpha$ の有理同値類という。$X$ のすべての既約成分の次元が $n$ のとき、$A^i(X):=A_{n-i}(X)$ を余次元 $i$ の Chow 群という。
$A_k(X)$ は Ful98 の記法で、$CH_k(X)$ とも書く（Chow環）。Grothendieck は有理同値を線型同値（équivalence linéaire）とも呼び（Gro58 §4）、これは因子の線型同値の一般化であることを表している（prop-rational-equivalence-codim-one）。有理同値は $X$ が非特異でも完備（固有射）でもないときにも定まる。$k=\dim X$ のとき $(k+1)$ 次元の部分多様体は存在しないので $\operatorname{Rat}_k(X)=0$ であり、$A_{\dim X}(X)=Z_{\dim X}(X)$ である。
有理同値は、$\mathbb{P}^1$ をパラメータとする族の 2 つのファイバーを同一視する関係として言い換えられる。この言い換えが「有理」という名の由来（$\mathbb{P}^1$ は有理曲線である）であり、代数的同値への一般化の出発点である。
$\mathbb{P}^1=\mathbb{P}^1_k$ の座標を $t$ とし、$0,\infty\in\mathbb{P}^1$ を $t=0$、$t=\infty$ に対応する $k$ 有理点とする。$X\times\mathbb{P}^1$ の $(k+1)$ 次元部分多様体 $\mathcal{V}$ で第 2 射影 $\mathcal{V}\to\mathbb{P}^1$ が支配的（像が稠密）なものを $X$ 上の $k$ 次元サイクルの $\mathbb{P}^1$ 族という。$a\in\{0,\infty\}$ に対し、$a$ 上のファイバー、すなわち閉部分スキーム $\mathcal{V}\cap(X\times\{a\})$ を同型 $X\times\{a\}\cong X$ で $X$ に移したものを $\mathcal{V}(a)$ と書き、その基本サイクル $[\mathcal{V}(a)]\in Z_k(X)$ を考える。
$X$ を代数多様体、$\alpha\in Z_k(X)$ とする。$\alpha\sim_{\mathrm{rat}}0$ であることと、有限個の $\mathbb{P}^1$ 族 $\mathcal{V}_1,\dots,\mathcal{V}_m\subset X\times\mathbb{P}^1$ で
$$
\alpha=\sum_{i=1}^m\bigl([\mathcal{V}_i(0)]-[\mathcal{V}_i(\infty)]\bigr)
$$
となるものが存在することは同値である。
証明は 代数的サイクル の記事の命題「射影直線の族による有理同値の特徴づけ」および Ful98 Proposition 1.6 に譲る。筋は次のとおりである。$\mathbb{P}^1$ 族 $\mathcal{V}$ に対し、座標 $t$ を $k(\mathcal{V})$ の元とみると $\operatorname{div}_{\mathcal{V}}(t)=[\mathcal{V}\cap(X\times\{0\})]-[\mathcal{V}\cap(X\times\{\infty\})]$ であり、第 1 射影 $X\times\mathbb{P}^1\to X$ は固有射なので thm-rational-equivalence-functoriality の固有押し出しで $X$ に移すと $[\mathcal{V}(0)]-[\mathcal{V}(\infty)]\in\operatorname{Rat}_k(X)$ を得る。逆に $(k+1)$ 次元部分多様体 $V\subset X$ と $k$ 上超越的な $r\in k(V)^\times$ に対し、$r$ の定める有理写像 $V\dashrightarrow\mathbb{P}^1$ のグラフの閉包 $\mathcal{V}\subset X\times\mathbb{P}^1$ が $\mathbb{P}^1$ 族で、$\operatorname{div}(r)=[\mathcal{V}(0)]-[\mathcal{V}(\infty)]$ となる。$\mathbb{P}^1$ の自己同型 $t\mapsto1/t$ で $0$ と $\infty$ を入れ替えられるので、「生成する部分群」と「和として書ける元の全体」は一致する。
この特徴づけで $\mathbb{P}^1$ を非特異な連結代数曲線 $T$ に置き換え、$T$ の 2 つの閉点上のファイバーの差を $0$ とみなす関係が代数的同値である。$T=\mathbb{P}^1$ の場合が有理同値なので、有理同値ならば代数的同値である。逆は成り立たない（ex-rational-equivalence-elliptic）。
直感
余次元 $1$ のサイクル、すなわち因子については、有理関数 $r$ の零点因子と極因子を同一視する関係が線型同値であった。有理同値はこれをあらゆる次元のサイクルに広げたもので、「$X$ の中の $(k+1)$ 次元の部分多様体 $V$ を 1 つ選び、その上の有理関数の零点と極を同一視する」ことを、すべての $V$ について同時に行う。$\mathbb{P}^1$ 族による言い換えでは、これは「$k$ 次元の部分多様体を $\mathbb{P}^1$ という直線に沿って動かし、動かす前と後を同じとみなす」ことである。パラメータ空間を $\mathbb{P}^1$ に限るところが要で、種数が正の曲線に沿って動かすことを許せば粗い関係（代数的同値）になり、コホモロジー類だけを見ればさらに粗い関係になる。有理同値は、標準的な同値関係のうち最も細かく、したがって $A_*(X)$ は最も多くの情報をもつ。位相幾何学で $k$ 次元のサイクル（境界をもたない鎖）を境界で割って特異ホモロジーを得るのと同様に、$k$ 次元サイクルを有理同値で割って Chow 群を得るが、Chow 群はホモロジー群よりはるかに大きく、有限生成とも限らない（prop-rational-equivalence-elliptic、rem-rational-equivalence-mumford）。
例と反例
$C$ を $k$ 上の非特異で既約な代数曲線とする。$0$ 次元部分多様体は閉点なので $Z_0(C)$ は $C$ の因子群 $\operatorname{Div}(C)$ であり、$1$ 次元部分多様体は $C$ 自身だけなので $\operatorname{Rat}_0(C)$ は主因子の群である。ゆえに $A_0(C)$ は因子類群 $\operatorname{Cl}(C)$、$C$ が非特異だから Picard群 $\operatorname{Pic}(C)$ に一致する（prop-rational-equivalence-codim-one）。$C=\mathbb{P}^1$ では次数 $0$ の因子はすべて主因子なので $\deg\colon A_0(\mathbb{P}^1)\to\mathbb{Z}$ は同型である（Har77 II, Proposition 6.4。$k$ が代数閉体なら 射影空間のChow群 の定理「射影空間のChow群」の 3 の $n=1$ の場合）。
$S:=k[x_0,\dots,x_n]$、$\mathbb{P}^n=\operatorname{Proj}S$ とし、$F,G\in S$ を同じ次数 $d\ge1$ の斉次多項式とする（既約でなくてもよい）。超曲面 $V(F)$、$V(G)$ の基本サイクルは有理同値である：$[V(F)]\sim_{\mathrm{rat}}[V(G)]$。
証明。$r:=F/G$ は次数 $0$ の斉次分数なので $\mathbb{P}^n$ 上の有理関数、すなわち $k(\mathbb{P}^n)^\times$ の元である。$\mathbb{P}^n$ は非特異なので、余次元 $1$ の部分多様体 $W=V(P)$（$P$ は既約斉次多項式）に沿う局所環 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,W}$ は離散付値環で、その付値は「$P$ で割り切れる回数」である。したがって $\operatorname{ord}_W(F/G)$ は $F$ における $P$ の重複度から $G$ における $P$ の重複度を引いたものであり、他方、閉部分スキーム $V(F)$ の既約成分 $W$ における局所環は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,W}/(F/\ell^d)$（$\ell$ は $W$ 上で消えない 1 次形式）で、その長さは $F$ における $P$ の重複度に等しい（この計算の詳細は 代数的サイクル の記事の例「射影空間の線型部分空間と超曲面」）。ゆえに
$$
\operatorname{div}(F/G)=[V(F)]-[V(G)]
$$
であり、右辺は $\operatorname{Rat}_{n-1}(\mathbb{P}^n)$ に属する。$\square$
とくに $G=\ell^d$（$\ell$ は 1 次形式）とすれば $[V(F)]\sim_{\mathrm{rat}}d[H]$（$H:=V(\ell)$ は超平面）である。より一般に、基礎体が代数閉体なら、$\mathbb{P}^n$ の $k$ 次元部分多様体 $V$ はその次数 $\deg V$ 倍の $k$ 次元線型部分空間に有理同値である（射影空間のChow群 の定理「射影空間のChow群」の 2）。
$Q:=\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ を非特異 2 次曲面とし、$a\in\mathbb{P}^1$ を $k$ 有理点として $L_a:=\{a\}\times\mathbb{P}^1$、$M_a:=\mathbb{P}^1\times\{a\}$ とおく。$L_a$ たちと $M_a$ たちが $Q$ の 2 つの直線族である。
同じ族の 2 直線は有理同値である。実際、$a\ne a'$ を $k$ 有理点とし、第 1 因子の座標を $[x_0:x_1]$ として $a=[1:\alpha]$、$a'=[1:\alpha']$（$\alpha,\alpha'\in k$）と書けるとき、$r:=(x_1-\alpha x_0)/(x_1-\alpha'x_0)$ を第 1 射影で $Q$ に引き戻した有理関数を考える。$Q$ は非特異で、$L_a$ の生成点における局所環は離散付値環、$u:=x_1/x_0-\alpha$ がその一意化元（離散付値環）であり、$r=u/(u+\alpha-\alpha')$ の分母はそこで単元なので $\operatorname{ord}_{L_a}(r)=1$、同様に $\operatorname{ord}_{L_{a'}}(r)=-1$ であり、他の余次元 $1$ の部分多様体に沿っては $r$ は単元である。ゆえに $\operatorname{div}(r)=[L_a]-[L_{a'}]$ である（$a$ または $a'$ が $[0:1]$ のときは座標を取り替えればよい）。
異なる族の直線 $L_a$ と $M_b$ は有理同値でなく、代数的同値ですらない。有理同値でないことの証明は 代数的サイクル の記事の例「2次曲面の2つの直線族」（第 1 射影による押し出し）に、代数的同値でないことの証明は 代数的同値 の記事（交叉数 $[L_a]\cdot[L_a]=0$、$[L_a]\cdot[M_b]=1$）に譲る。$A^1(Q)=\operatorname{Pic}(Q)=\mathbb{Z}[L_a]\oplus\mathbb{Z}[M_b]$ である（Har77 II, Example 6.6.1）。
$k$ を代数閉体、$E$ を $k$ 上の楕円曲線、$P\ne Q$ を $E$ の閉点とする。$0$ サイクル $[P]-[Q]$ は代数的同値では $0$ である。実際、$E\times E$ の対角線を第 2 成分をパラメータとする族とみると $t\in E$ 上のファイバーは $\{t\}$ なので、$[P]-[Q]$ は $t=P$ と $t=Q$ のファイバーの差である（代数的同値 の記事の例）。しかし $[P]-[Q]$ は有理同値では $0$ でない（prop-rational-equivalence-elliptic の 1）。このサイクルは「代数的同値で $0$」という性質を満たすが「有理同値で $0$」という性質を満たさず、「代数的同値ならば有理同値」という含意を破る。すなわち prop-rational-equivalence-p1-family のパラメータ空間 $\mathbb{P}^1$ を種数 $1$ の曲線 $E$ に置き換えると、同値関係は真に粗くなる。$A_0(E)$ は $\mathbb{Z}\oplus E(k)$ と同一視され（prop-rational-equivalence-elliptic）、代数的同値類の群 $\mathbb{Z}$ より真に大きい。
アフィン空間 $\mathbb{A}^1=\operatorname{Spec}k[t]$ 上で、閉点 $P$ に対応する極大イデアルを $(p)$（$p$ は既約多項式）とすると、$k[t]$ は単項イデアル整域なので $\operatorname{div}(p)=[P]$ である。ゆえにすべての閉点は有理同値で $0$ であり、$A_0(\mathbb{A}^1)=0$ である。より一般に $A_k(\mathbb{A}^n)=0$（$k< n$）である（Chow環 の記事の系「アフィン空間のChow群の計算」、Ful98 Proposition 1.9）。完備な多様体では $0$ サイクルの次数 $\deg[P]=[\kappa(P):k]$ が有理同値で保たれる（thm-rational-equivalence-functoriality の 3）のに対し、この例は「完備」という仮定を落とすと次数が保たれないことを示している。
代数閉体 $k$ 上の非特異射影曲線 $C$ では、次数 $0$ の $0$ サイクルの有理同値類の群 $A_0(C)_0:=\ker(\deg\colon A_0(C)\to\mathbb{Z})$ は $\operatorname{Pic}^0(C)$、すなわちJacobi多様体の $k$ 有理点の群であり、有限次元の代数多様体でパラメータづけられる（Har77 IV §4）。曲面ではこれが破れる。Mumford は、$\mathbb{C}$ 上の非特異射影曲面 $S$ の幾何種数（有理曲線） $p_g=\dim H^0(S,\Omega^2_S)$ が正なら $A_0(S)_0$ が「無限次元」であること、すなわち、どんな $m$ に対しても対称積からの写像 $S^{(m)}\times S^{(m)}\to A_0(S)_0$、$(\sum[P_i],\sum[Q_i])\mapsto\sum[P_i]-\sum[Q_i]$ が全射でないことを示した（Mum68、Voi03 Chapter 10）。したがって $A_0(S)$ は有限生成でないばかりか、有限次元の多様体でパラメータづけることもできない。$p_g=0$ の曲面では逆に $A_0(S)_0$ が Albanese多様体の点の群に一致することが予想されており（Blochの予想）、$\mathbb{P}^2$ では $A_0(\mathbb{P}^2)_0=0$ である（射影空間のChow群 の定理「射影空間のChow群」の 3）。
性質
余次元1の場合
$X$ を $n$ 次元の既約かつ被約な代数多様体とする。このとき $\operatorname{Rat}_{n-1}(X)$ は主因子 $\operatorname{div}(r)$（$r\in k(X)^\times$）全体のなす群であり、$A_{n-1}(X)$ は Weil 因子類群 $\operatorname{Cl}(X)$ に一致する。$X$ が非特異ならさらに $A^1(X)=A_{n-1}(X)\cong\operatorname{Pic}(X)$ である。
$Z_{n-1}(X)$ は余次元 $1$ の部分多様体（素因子）の形式和の群、すなわち Weil 因子の群 $\operatorname{Div}(X)$ である（Weil因子。$X$ が正規でないときは同記事の注意「条件を外した場合の定義」の意味で）。$X$ は既約なので $n$ 次元の部分多様体は $X$ 自身だけであり、$\operatorname{Rat}_{n-1}(X)$ は $r\in k(X)^\times$ に対する $\operatorname{div}(r)$ の和全体、すなわち $\operatorname{div}\colon k(X)^\times\to\operatorname{Div}(X)$ の像である。$\operatorname{div}$ は群準同型なので、像は $\operatorname{div}(r)$ の形の元全体に一致し、これが主因子の群である。よって $A_{n-1}(X)=\operatorname{Div}(X)/\{\text{主因子}\}=\operatorname{Cl}(X)$ である。$X$ が非特異なら $\operatorname{Cl}(X)\cong\operatorname{Pic}(X)$ であり（Har77 II, Corollary 6.16。証明は Chow環 の記事の定理「Picard群と余次元1のChow群」）、主張が従う。$\square$
したがって Weil 因子に対する線型同値は有理同値の $k=n-1$ の場合であり、有理同値は線型同値を任意の次元のサイクルに拡張したものである。$X$ が特異点をもつと $\operatorname{Pic}(X)\to A_{n-1}(X)$ は同型とは限らない（Chow環 の記事の反例「特異多様体ではPicard群と $CH^1$ が異なる」）。
固有押し出しと平坦引き戻し
有理同値の基本的な性質は、固有射による押し出しと平坦射による引き戻しで保たれることである。
$f\colon X'\to X$ を代数多様体の射とする。
- $f$ が固有射のとき、$X'$ の $k$ 次元部分多様体 $V$ に対し $f(V)$ は $X$ の部分多様体であり、$f_*[V]:=[k(V):k(f(V))]\,[f(V)]$（$\dim f(V)=k$ のとき。$k(V)$ は $k(f(V))$ の有限次体の拡大）、$f_*[V]:=0$（$\dim f(V)< k$ のとき）で定めた $f_*\colon Z_k(X')\to Z_k(X)$ は $\operatorname{Rat}_k(X')$ を $\operatorname{Rat}_k(X)$ に写し、固有押し出し $f_*\colon A_k(X')\to A_k(X)$ を誘導する。
- $f$ が相対次元 $d$ の平坦射（空でないファイバーがすべて純 $d$ 次元）のとき、$f^*[V]:=[f^{-1}(V)]$（逆像スキームの基本サイクル）で定めた $f^*\colon Z_k(X)\to Z_{k+d}(X')$ は有理同値を保ち、平坦引き戻し $f^*\colon A_k(X)\to A_{k+d}(X')$ を誘導する。
- $X$ が $k$ 上完備（固有射）なら、閉点 $P$ に $\deg[P]:=[\kappa(P):k]$（$\kappa(P)$ は $P$ の剰余体）を対応させる $\deg\colon Z_0(X)\to\mathbb{Z}$ は有理同値で不変であり、次数写像 $\deg\colon A_0(X)\to\mathbb{Z}$ を誘導する。とくに完備な曲線 $X$ では任意の $r\in k(X)^\times$ に対し $\deg\operatorname{div}(r)=0$ である。
証明は サイクルの固有押し出しと平坦引き戻し にある：1 は定理「固有押し出しは有理同値を保つ」、2 は定理「平坦引き戻しは有理同値を保つ」、3 は 1 を構造射 $X\to\operatorname{Spec}k$ に適用した系「完備多様体の次数写像」と、補題「完備曲線上の主因子の次数」である（Ful98 Theorem 1.4・1.7 でもある）。「固有」の仮定を落とすと押し出しは有理同値を保たない（ex-rational-equivalence-affine-line）。
射影空間の場合
基礎体が代数閉体のとき、$0\le k\le n$ について、$\mathbb{P}^n$ の $k$ 次元サイクルの次数は有理同値で変わらず、次数写像 $A_k(\mathbb{P}^n)\to\mathbb{Z}$ は同型で、$k$ 次元線型部分空間の類が生成元である。ここで部分多様体の次数は斉次座標環の Hilbert多項式 で定めるもの（射影多様体の次数）で、サイクルの次数は各成分の次数を係数つきで足したものである。とくに $\mathbb{P}^n$ の $k$ 次元部分多様体 $V$ は、その次数 $\deg V$ 倍の $k$ 次元線型部分空間に有理同値である。証明と例は 射影空間のChow群 にある。
楕円曲線の0サイクルと他の同値関係との比較
$\mathbb{P}^n$ では有理同値類が次数で決まったが、種数が正の曲線ではそうでない。楕円曲線の場合を Riemann–Rochの定理で計算する。以下、$k$ を代数閉体、$E$ を $k$ 上の楕円曲線（種数 $1$ の非特異射影曲線）とし、$O\in E(k)$ を 1 つ固定する。$E$ 上の因子 $D$ に対し $L(D):=\{f\in k(E)^\times\mid\operatorname{div}(f)+D\ge0\}\cup\{0\}$、$\ell(D):=\dim_kL(D)$ とおく。Riemann–Roch の定理（Har77 IV, Theorem 1.3）は、標準因子 $K$ について $\ell(D)-\ell(K-D)=\deg D+1-g$ を主張し、$g=1$ では $\deg K=2g-2=0$ である。
- $P\ne Q$ を $E$ の閉点とすると、$[P]-[Q]\notin\operatorname{Rat}_0(E)$ である。
- 次数 $0$ の任意の $\alpha\in Z_0(E)$ に対し、$\alpha\sim_{\mathrm{rat}}[P]-[O]$ となる閉点 $P$ がただ 1 つ存在する。
- 写像 $\mathbb{Z}\times E(k)\to A_0(E)$、$(m,P)\mapsto(m-1)[O]+[P]$ の類、は全単射である。したがって $E(k)\to A_0(E)$、$P\mapsto[P]-[O]$ の類、は単射で、その像は $\ker(\deg\colon A_0(E)\to\mathbb{Z})$ に等しく、この全単射で $E(k)$ に移した群構造を入れれば $A_0(E)\cong\mathbb{Z}\oplus E(k)$ である。
$E$ は既約な曲線なので、prop-rational-equivalence-codim-one により $\operatorname{Rat}_0(E)$ は主因子 $\operatorname{div}(f)$（$f\in k(E)^\times$）全体である。また $E$ は完備な非特異曲線なので $\deg\operatorname{div}(f)=0$ である（Har77 II, Corollary 6.10。thm-rational-equivalence-functoriality の 3）。
まず、$\deg D\ge1$ なる因子 $D$ について $\ell(D)=\deg D$ を示す。$\deg(K-D)=-\deg D<0$ である。$0\ne f\in L(K-D)$ があれば $\operatorname{div}(f)+K-D$ は有効因子（因子）なので次数は $0$ 以上だが、その次数は $\deg(K-D)<0$ であり矛盾する。ゆえに $\ell(K-D)=0$ で、Riemann–Roch により $\ell(D)=\deg D$ である。
1：$[P]-[Q]=\operatorname{div}(f)$（$f\in k(E)^\times$）とする。$\operatorname{div}(f)+[Q]=[P]\ge0$ なので $f\in L([Q])$ である。$\deg[Q]=1$ だから $\ell([Q])=1$ であり、零でない定数 $c\in k$ は $\operatorname{div}(c)=0$ を満たすので $k\subset L([Q])$、したがって $L([Q])=k$ である。ゆえに $f$ は零でない定数で $\operatorname{div}(f)=0$、すなわち $[P]=[Q]$ となり、$P\ne Q$ に反する。
2：存在。$D:=\alpha+[O]$ とおくと $\deg D=1$ なので $\ell(D)=1$ であり、$0\ne f\in L(D)$ がとれる。$\operatorname{div}(f)+D$ は有効な $0$ サイクルで、次数は $\deg\operatorname{div}(f)+\deg D=1$ である。$k$ は代数閉体なので各閉点の次数は $1$ であり、次数 $1$ の有効 $0$ サイクルは 1 つの閉点 $P$ の類 $[P]$ である。よって $\alpha=[P]-[O]-\operatorname{div}(f)\sim_{\mathrm{rat}}[P]-[O]$ である。一意性。$[P]-[O]\sim_{\mathrm{rat}}[P']-[O]$ なら $[P]-[P']\in\operatorname{Rat}_0(E)$ なので、1 により $P=P'$ である。
3：全射。$\alpha\in Z_0(E)$ に対し $m:=\deg\alpha$ とおくと $\alpha-m[O]$ は次数 $0$ なので、2 により $\alpha-m[O]\sim_{\mathrm{rat}}[P]-[O]$、すなわち $\alpha\sim_{\mathrm{rat}}(m-1)[O]+[P]$ となる $P$ がある。単射。$(m-1)[O]+[P]\sim_{\mathrm{rat}}(m'-1)[O]+[P']$ とすると、$\deg$ は有理同値で不変なので $m=m'$ であり、したがって $[P]-[O]\sim_{\mathrm{rat}}[P']-[O]$、2 の一意性により $P=P'$ である。像が $\ker\deg$ であることは $\deg([P]-[O])=0$ と全射性から従う。$\square$
こうして $E(k)$ に移した群構造は、$O$ を単位元とする楕円曲線の幾何学的な加法（弦と接線による加法）に一致する（Sil09 III, Proposition 3.4、Har77 II, Example 6.10.2）。$k=\mathbb{C}$ のとき $E(\mathbb{C})\cong\mathbb{C}/\Lambda$ は非可算なので、$A_0(E)$ は有限生成でない。一般に、非特異射影曲線 $C$ に対し $\ker(\deg\colon A_0(C)\to\mathbb{Z})=\operatorname{Pic}^0(C)$ は $C$ の Jacobi 多様体（Jacobi多様体）の $k$ 有理点の群であり、$k$ が代数閉体で $g\ge1$ なら有限生成でない（Har77 IV §4）。
$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の純 $n$ 次元の非特異射影多様体とし、$\operatorname{Rat}^i(X)$、$\operatorname{Alg}^i(X)$、$\operatorname{Hom}^i(X)$、$\operatorname{Num}^i(X)$ をそれぞれ有理同値、代数的同値、（固定した Weilコホモロジー とサイクル類写像についての）ホモロジー同値（代数的サイクル）、数値的同値で $0$ となる余次元 $i$ のサイクルの群とする。このとき
$$
\operatorname{Rat}^i(X)\subset\operatorname{Alg}^i(X)\subset\operatorname{Hom}^i(X)\subset\operatorname{Num}^i(X)
$$
である。$i=1$ では $Z^1(X)/\operatorname{Alg}^1(X)$ は Néron–Severi群 $\operatorname{NS}(X)$ で有限生成であり、$A^1(X)=\operatorname{Pic}(X)$ は一般に有限生成でない。$i\ge2$ では $\operatorname{Alg}^i(X)\ne\operatorname{Hom}^i(X)$ となる $X$ が存在する（Griffiths）。
第 1 の包含は prop-rational-equivalence-p1-family から直ちに従う（$\mathbb{P}^1$ 族は非特異連結曲線 $T=\mathbb{P}^1$ による族である）。残りの証明と出典は 代数的同値 の定理「同値関係の階層」「余次元1の場合」と注意「階層の出典」（Griffiths の例は同記事の反例「ホモロジー同値だが代数的同値でないサイクル」）、Ful98 Chapter 19 に譲る。有理同値が代数的同値より真に細かいことは prop-rational-equivalence-elliptic（$i=1$、$X=E$）が示している。有理同値は 4 つの関係のうち最も細かく、そのぶん $A^*(X)$ は最も多くの情報をもつが、rem-rational-equivalence-mumford のとおり $\dim X\ge2$ では $A_0(X)$ が巨大になりうる。交叉積（Chow 環）、Chern類、サイクル類写像とその像を問う Hodge予想・Tate予想については Chow環・サイクル類写像 を参照。
関連項目
参考文献
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