一意化定理(Riemann面)

局所的な原始関数．座標で円板と双正則に写る連結な開集合 $U$ を座標円板と呼ぶ。座標円板 $U$ の上で $\omega=h(z)\,dz$ と書くと、$h$ は円板上の正則関数なので原始関数 $H$ をもつ（Cauchyの積分定理 の命題「円板上の原始関数の存在」）。$F_0:=H\circ z$ は $U$ 上で $dF_0=\omega$ を満たす。連結な開集合の上で $dF_1=dF_2=\omega$ なら、$F_1-F_2$ は定数である。

芽のなす被覆．点 $x\in X$ と、$x$ の近傍で $dF=\omega$ を満たす正則関数 $F$ の $x$ での芽 $[F]_x$ との組の全体を $E$ とし、$p(x,[F]_x):=x$ とおく。開集合 $V$ とその上で $dF=\omega$ を満たす $F$ について $N(V,F):=\{(y,[F]_y)\mid y\in V\}$ を開基として $E$ に位相を入れる。座標円板 $U$ とその上の原始関数 $F_0$ をとると、$U$ の点の芽はどれも $F_0+c$（$c\in\mathbb{C}$）の芽であり、$c\neq c'$ なら値がどの点でも違うので芽も違う。よって $p^{-1}(U)$ は $N(U,F_0+c)$（$c\in\mathbb{C}$）の交わらない和で、各 $N(U,F_0+c)$ は $p$ により $U$ と同相に写る。したがって $p$ は被覆写像である。$E$ は Hausdorff である：同じ点の上の 2 点は交わらない $N(U,F_0+c)$ と $N(U,F_0+c')$ で、違う点の上の 2 点は $X$ の交わらない近傍の逆像で分かれる。

大域的な原始関数．$E$ の弧状連結成分 $E_0$ を 1 つとる。$X$ は局所弧状連結なので、弧状連結な均一被覆近傍のシートは $E_0$ に含まれるか交わらず、$p|_{E_0}\colon E_0\to X$ も被覆写像である。$X$ は単連結なので恒等写像 $X\to X$ は普遍被覆であり、普遍被覆 の定理「普遍被覆の普遍性」により、被覆写像（とくに全射）$s\colon X\to E_0$ で $p\circ s=\mathrm{id}_X$ を満たすものがある。よって $p|_{E_0}$ は全単射の被覆写像、すなわち同相写像である。$f(x)$ を芽 $s(x)$ の $x$ での値と定める。座標円板 $U$ の上で $s(U)$ は連結なので 1 つのシート $N(U,F_0+c)$ に含まれ、$U$ 上で $f=F_0+c$ である。よって $f$ は正則で $df=\omega$ である。$\square$

1：複素構造は 被覆空間 の命題「被覆によるRiemann面構造の持ち上げ」による。$\tilde X$ は普遍被覆なので連結であり、Hausdorff でもある（同じ点の上の 2 点は交わらない 2 つのシートで、違う点の上の 2 点は $X$ の交わらない近傍の逆像で分かれる）。第 2 可算性は、$\tilde X$ がコンパクトなら有限個の座標近傍で覆われるので明らかである。コンパクトでなければ、AS21 Theorem 1 は第 2 可算性を仮定しないので $\tilde X$ に使え、$\tilde X$ が $\mathbb{C}$ の領域と双正則になることから従う。

2：$\sigma\in G$ は $p\circ\sigma=p$ を満たすので、シート $V$ の上で $\sigma|_V=(p|_{\sigma(V)})^{-1}\circ p|_V$ と書け、正則である。$\sigma^{-1}\in G$ も同様なので $\sigma$ は自己同型である。作用が被覆空間作用であることは 被覆変換群 の命題「被覆変換群の作用は被覆空間作用」による。被覆空間作用では、単位元以外の元 $\sigma$ は各点に $\sigma W\cap W=\emptyset$ となる近傍 $W$ をもつので、不動点をもたない。

3：普遍被覆は正則被覆なので（被覆変換群 の系「普遍被覆の被覆変換群」）、$\tilde X/G\to X$ が同相写像であることは同記事の命題「被覆変換群の作用は被覆空間作用」の後半による。$\tilde X/G$ の座標は商写像のシートへの制限の逆と $\tilde X$ の座標の合成で、座標変換は $G$ の元と $\tilde X$ の座標変換の合成なので正則である。誘導される写像はこの座標で $p$ のシートへの制限なので局所双正則であり、全単射なので双正則である。$\square$

$\Gamma$ の相異なる 2 元の差は絶対値が $\varepsilon$ 以上なので、有界な集合に含まれる $\Gamma$ の元は有限個である。$\Gamma\neq\{0\}$ とし、$\Gamma\setminus\{0\}$ の元で絶対値が最小のもの $\omega_1$ をとる。$t\omega_1\in\Gamma$ とし、$n$ を $t$ に最も近い整数とすると $(t-n)\omega_1\in\Gamma$ で $\lvert t-n\rvert\le1/2$ なので、最小性から $t=n$ である。よって $\Gamma\cap\mathbb{R}\omega_1=\mathbb{Z}\omega_1$ で、$\Gamma\subset\mathbb{R}\omega_1$ なら $\Gamma=\mathbb{Z}\omega_1$ である。

そうでないとき、$\Gamma\setminus\mathbb{R}\omega_1$ の元で絶対値が最小のもの $\omega_2$ をとる。$\gamma\in\Gamma$ を $\gamma=a\omega_1+b\omega_2$（$a,b\in\mathbb{R}$）と書き、$a,b$ に最も近い整数 $m,n$ について $\gamma':=\gamma-m\omega_1-n\omega_2=a'\omega_1+b'\omega_2$（$\lvert a'\rvert,\lvert b'\rvert\le1/2$）とおく。$b'\neq0$ とすると $\gamma'\notin\mathbb{R}\omega_1$ である。$a'\neq0$ なら $a'\omega_1$ と $b'\omega_2$ は正の実数倍で結ばれないので $\lvert\gamma'\rvert< \lvert a'\rvert\lvert\omega_1\rvert+\lvert b'\rvert\lvert\omega_2\rvert\le\lvert\omega_2\rvert$、$a'=0$ なら $\lvert\gamma'\rvert\le\lvert\omega_2\rvert/2$ で、どちらも $\omega_2$ の最小性に反する。よって $b'=0$ で、$\gamma'\in\mathbb{Z}\omega_1$ と $\lvert a'\rvert\le1/2$ から $a'=0$ である。したがって $\Gamma=\mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2$ である。$\square$

$Y$ はコンパクトでないので楕円型でない。放物型なら thm-unif-classification の 2 により $Y$ は $\mathbb{C}$・$\mathbb{C}^\times$・複素トーラスのどれかと双正則で、トーラスはコンパクトなので除かれる。$Z\in\{\mathbb{C},\mathbb{C}^\times\}$ と双正則写像 $\varphi\colon Y\to Z$ があったとして矛盾を導く。

$\hat{\mathbb{C}}$ への延長：$\varphi$ は $0$ と $1$ のまわりの穴あき円板の上で単射なので、Casorati–Weierstrassの定理 の命題「単射な関数は真性特異点をもたない」により、$0$ と $1$ は除去可能特異点か 1 位の極である。$w\mapsto\varphi(1/w)$ に同じ命題を使うと $\infty$ も同様である。よって $\varphi$ は正則写像 $\Phi\colon\hat{\mathbb{C}}\to\hat{\mathbb{C}}$ に延びる。

3 点の行き先：$a\in\{0,1,\infty\}$ について $\Phi(a)=\varphi(x)$（$x\in Y$）とする。$a$ の連結な近傍 $U_a$ で $0,1,\infty$ のうち $a$ しか含まないものと、$x$ の近傍 $U_x\subset Y$ を交わらないようにとる。$\varphi(U_x)$ は $\Phi(a)$ の開近傍（開写像定理(複素解析)）で、$\Phi(U_a\setminus\{a\})$ は $\Phi(a)$ にいくらでも近い点を含むので、$\varphi(u)=\varphi(v)$ となる $u\in U_a\setminus\{a\}$、$v\in U_x$ がある。$u\neq v$ なので単射性に反する。よって $\Phi^{-1}(Z)=Y$ である。

次数：$y\in Y$ について $\Phi^{-1}(\varphi(y))=\{y\}$ で、$\varphi$ は双正則なので局所次数は $1$ である。被覆次数 の命題「局所次数の和」により $\deg\Phi=1$ で、同記事の命題「次数 $1$ の写像は双正則」により $\Phi$ は $\hat{\mathbb{C}}$ の自己同型である。すると $\hat{\mathbb{C}}\setminus Z=\Phi(\{0,1,\infty\})$ はちょうど $3$ 点だが、$\hat{\mathbb{C}}\setminus\mathbb{C}=\{\infty\}$、$\hat{\mathbb{C}}\setminus\mathbb{C}^\times=\{0,\infty\}$ なので矛盾する。$\square$

$x\in X$ の連結な均一被覆近傍 $U$ と、その上の $\pi$ の局所的な逆 $s\colon U\to\mathbb{D}$ をとり、$U$ の上の計量を $s$ による $\lambda_{\mathbb{D}}\lvert dz\rvert$ の引き戻しと定める。別の局所的な逆 $s'$ は、ある $\gamma\in G$ によって $s'=\gamma\circ s$ と書ける。$\gamma$ は回転と $T_a(z)=(z-a)/(1-\bar az)$ の合成で、どちらも $\lambda_{\mathbb{D}}(\gamma(z))\lvert\gamma'(z)\rvert=\lambda_{\mathbb{D}}(z)$ を満たす（双曲計量 の命題「円板自己同型による不変性」。回転では明らか）ので、$s'$ から作った計量は $s$ から作ったものと一致する。$\pi$ を局所等長にする計量はこの形しかない。曲率は局所的な量で双正則写像による引き戻しで保たれるので、同記事の命題「双曲計量の曲率は $-4$」から $-4$ である。$\square$