加群

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概要

前提知識: 環, 群, 写像
加群は、ベクトル空間の係数体を一般の環に置き換えた代数構造である。係数が体でなくなると、零でない元による割り算ができるとは限らず、基底を持たない加群も現れる。その一方で、部分空間、商空間、線形写像、生成系、直和といった線形代数の構成は、適切に左右を区別すれば加群にも残る。
以下、環は結合的で単位元を持つものとし、加群の作用では環の単位元が恒等的に作用すると約束する。環は可換とは限らない。また零環も許す。

定義

左加群と右加群

$R$ を環とする。群 $(M,+)$ が可換群であり、写像
$$ R\times M\longrightarrow M,\qquad (r,m)\longmapsto rm $$
があり、任意の $r,s\in R$ と $m,n\in M$ に対して
$$ (r+s)m=rm+sm,\qquad r(m+n)=rm+rn, $$
$$ (rs)m=r(sm),\qquad 1_Rm=m $$
を満たすとき、$M$ を 左 $R$-加群という。
同様に写像 $M\times R\to M$, $(m,r)\mapsto mr$ が加法について分配的で
$$ m(rs)=(mr)s,\qquad m1_R=m $$
を満たすとき、$M$ を 右 $R$-加群という。可換環上では左加群 $M$ に $mr=rm$ と置いて右作用も定められるが、非可換環上では左右を区別しなければならない。

零環では $1_R=0_R$ である。このとき単位的な加群では $m=1_Rm=0_Rm=0$ なので、零加群だけが存在する。
作用の公理は、環から加法的自己準同型の環への準同型としてまとめられる。$\operatorname{End}_{\mathbb Z}(M)$ はAbel群 $M$ の加法的自己準同型全体に、加法と写像の合成を入れた環を表す。

作用と構造準同型の対応

Abel群 $M$ 上の左 $R$-加群構造と、単位元を保つ環準同型
$$ \rho:R\longrightarrow\operatorname{End}_{\mathbb Z}(M) $$
は一対一に対応する。右 $R$-加群構造は、反対環 $R^{\mathrm{op}}$ から $\operatorname{End}_{\mathbb Z}(M)$ への単位元を保つ環準同型と一対一に対応する。

構造準同型との対応の証明

左作用が与えられたとする。各 $r\in R$ に対し $\rho(r):M\to M$ を $\rho(r)(m)=rm$ で定める。$r(m+n)=rm+rn$ より $\rho(r)$ は加法的である。また
$$ \rho(r+s)(m)=(r+s)m=rm+sm $$
なので $\rho(r+s)=\rho(r)+\rho(s)$ であり、
$$ \rho(rs)(m)=(rs)m=r(sm)=(\rho(r)\circ\rho(s))(m) $$
なので $\rho(rs)=\rho(r)\circ\rho(s)$ である。さらに $\rho(1_R)=\operatorname{id}_M$ である。従って $\rho$ は単位元を保つ環準同型である。
逆に、そのような $\rho$ が与えられたら $rm=\rho(r)(m)$ と定める。$\rho(r)$ の加法性、$\rho$ の加法性・乗法性・単位元保存性から左加群の四つの公理が従う。二つの構成は互いに逆である。
右作用に対しては $\rho(r)(m)=mr$ とすると
$$ \rho(rs)(m)=m(rs)=(mr)s=(\rho(s)\circ\rho(r))(m) $$
となり積の順序が逆転する。これはちょうど $R^{\mathrm{op}}$ からの環準同型であることを意味する。

加群準同型

$M,N$ を左 $R$-加群とする。加法的写像 $f:M\to N$ が
$$ f(rm)=rf(m)\qquad(r\in R,\ m\in M) $$
を満たすとき、$f$ を $R$-加群準同型または $R$-線形写像という。右加群の準同型では $f(mr)=f(m)r$ を要求する。全単射な加群準同型を加群同型という。

直感

ベクトル空間では、係数体の零でない元を常に逆数で打ち消せる。加群では係数環に逆元を持たない元があり、係数を割る操作が一般にはできない。この小さな違いから、非自由加群、零でない元が消去子で消える現象、生成元と関係式を用いる記述が現れる。
それでも加群が線形代数的な理論として働くのは、加法、スカラー倍、準同型、核、像、商、直和が同じ形式で組み立てられるからである。加群を「ベクトル空間の弱い版」とだけ見るのではなく、環の性質を線形的な対象に写し取る器と見ると、環論・表現論・代数幾何・ホモロジー代数に共通する役割が見える。

例と反例

ベクトル空間とAbel群

体 $k$ 上の左加群は、通常のベクトル空間にほかならない。また $\mathbb Z$-加群はAbel群と同じものである。実際、Abel群 $M$ に対して $n\geq0$ なら $nm$ を $m$ の $n$ 個の和、$n<0$ なら $nm=-((-n)m)$ と定めれば、一意な $\mathbb Z$-加群構造が得られる。

正則加群とイデアル

環 $R$ 自身は積によって左加群 ${}_RR$ にも右加群 $R_R$ にもなる。${}_RR$ の部分加群は左イデアルであり、$R_R$ の部分加群は右イデアルである。両者を同一視してよいのは可換環の場合などに限られる。両側イデアルは、左イデアルかつ右イデアルである加法部分群である。

関数からなる加群

集合 $X$ と左 $R$-加群 $M$ に対し、写像全体 $M^X$ は点ごとの演算
$$ (f+g)(x)=f(x)+g(x),\qquad (rf)(x)=r f(x) $$
によって左 $R$-加群になる。さらに $X$ が位相空間なら、実数値連続関数全体 $C(X,\mathbb R)$ は $\mathbb R$-ベクトル空間であり、点ごとの積を持つ環でもある。

これらは体上の線形空間から直接続く例である。一方、一般環上では「すべての加群が基底を持つ」「自由加群の基底数は常に一意である」という二つの含意が壊れる。前者は後の $\mathbb Z/n\mathbb Z$、後者は非IBN環の例で具体的に確認する。

基本構成

部分加群と商加群

部分加群

左 $R$-加群 $M$ の部分集合 $N$ が加法について部分群であり、すべての $r\in R$ と $n\in N$ に対して $rn\in N$ を満たすとき、$N$ を $M$ の 部分加群といい、$N\leq_R M$ と書く。

非空な部分集合 $N\subseteq M$ が部分加群であることは、任意の $x,y\in N$ と $r,s\in R$ に対して $rx+sy\in N$ となることと同値である。この判定法から、任意個の部分加群の共通部分が部分加群であることが直ちに分かる。

二つの部分加群の和

$N,L\leq_R M$ に対し
$$ N+L=\{n+\ell\mid n\in N,\ \ell\in L\} $$
は $N$ と $L$ を含む最小の部分加群である。

部分加群の和の証明

$0=0+0\in N+L$ である。$n_i+\ell_i\in N+L$ と $r,s\in R$ に対して
$$ r(n_1+\ell_1)+s(n_2+\ell_2) =(rn_1+sn_2)+(r\ell_1+s\ell_2) $$
であり、第一の括弧は $N$、第二の括弧は $L$ に属する。従って判定法により $N+L$ は部分加群である。$N\subseteq N+L$ と $L\subseteq N+L$ は $n=n+0$、$\ell=0+\ell$ から従う。$P$ が $N,L$ の両方を含む部分加群なら、加法について閉じているので全ての $n+\ell$ を含む。よって $N+L\subseteq P$ であり、最小性が示された。

商加群

$N\leq_R M$ とする。加法群の商 $M/N$ に
$$ r(m+N)=rm+N $$
と定めた左 $R$-加群を 商加群という。標準全射を $q:M\to M/N$, $m\mapsto m+N$ と書く。

商作用の定義可能性

上の作用は剰余類の代表元によらず定まり、$M/N$ を左 $R$-加群にする。

商作用の定義可能性の証明

$m+N=m'+N$ なら $m-m'\in N$ である。$N$ はスカラー倍で閉じているので
$$ rm-rm'=r(m-m')\in N, $$
従って $rm+N=rm'+N$ である。よって作用は代表元によらない。分配法則、結合法則、単位元の法則は $M$ における対応する等式を剰余類へ移せば得られる。

加群準同型 $f:M\to N$ に対して
$$ \ker f=\{m\in M\mid f(m)=0\},\qquad \operatorname{im}f=\{f(m)\mid m\in M\} $$
はそれぞれ $M,N$ の部分加群である。

加群の準同型定理

加群準同型 $f:M\to N$ は自然な同型
$$ M/\ker f\cong\operatorname{im}f $$
を誘導する。

加群の準同型定理の証明

$\overline f:M/\ker f\to\operatorname{im}f$ を
$$ \overline f(m+\ker f)=f(m) $$
で定める。$m+\ker f=m'+\ker f$ なら $m-m'\in\ker f$ なので $f(m)=f(m')$ であり、これは定義可能である。加法とスカラー倍を保つことは $f$ の線形性から従う。
$\overline f(m+\ker f)=0$ なら $f(m)=0$、すなわち $m\in\ker f$ なので $m+\ker f$ は零類である。従って $\overline f$ は単射である。また $\operatorname{im}f$ の任意の元は定義により $f(m)$ と書けるので、$\overline f$ は全射である。よって $\overline f$ は同型である。

生成と有限生成

部分集合 $S\subseteq M$ を含む部分加群すべての共通部分を、$S$ が 生成する部分加群といい、$\langle S\rangle_R$ と書く。$\langle S\rangle_R=M$ のとき $S$ を $M$ の生成系という。有限集合で生成される加群を 有限生成加群という。空集合が生成する部分加群は零部分加群である。

生成された部分加群の具体形

左 $R$-加群 $M$ の部分集合 $S$ に対して
$$ \langle S\rangle_R =\left\{\sum_{i=1}^n r_i s_i \mid n\geq0,\ r_i\in R,\ s_i\in S\right\} $$
である。$n=0$ の和は $0$ を表す。

生成された部分加群の具体形の証明

右辺を $P$ とする。空和により $0\in P$ である。$P$ の二元の和は二つの有限和を連結した有限和であり、加法逆元は各係数を $-r_i$ に置き換えれば得られる。さらに $a\in R$ に対して
$$ a\left(\sum_{i=1}^n r_is_i\right) =\sum_{i=1}^n (ar_i)s_i\in P $$
なので $P$ は部分加群である。各 $s\in S$ は $1_Rs$ と書けるから $S\subseteq P$ である。
一方、$S$ を含む任意の部分加群 $N$ は、スカラー倍と有限和について閉じているので $P\subseteq N$ を満たす。従って $P$ は $S$ を含む最小の部分加群であり、$P=\langle S\rangle_R$ である。

有限生成加群の商は有限生成である。実際、$M=\langle m_1,\ldots,m_n\rangle_R$ で $q:M\to M/N$ が標準全射なら、$M/N$ は $q(m_1),\ldots,q(m_n)$ で生成される。一方、有限生成加群の部分加群が有限生成とは限らない。この性質を全ての部分加群に要求する概念は Noether加群が扱う。

直和と自由加群

加群の直和

左 $R$-加群の族 $(M_i)_{i\in I}$ に対し、直積 $\prod_{i\in I}M_i$ のうち有限個を除く全ての成分が零である元からなる部分加群を
$$ \bigoplus_{i\in I}M_i $$
と書き、直和という。$I$ が有限なら直和と直積は同じ台集合を持つ。

自由加群と基底

左 $R$-加群 $F$ の部分集合 $B$ が基底であるとは、任意の $x\in F$ が一意に
$$ x=\sum_{b\in B}r_bb $$
と書けることをいう。ここで $r_b\in R$ であり、零でない係数は有限個だけである。基底を持つ加群を 自由加群という。
集合 $I$ に対し、各成分が正則左加群 ${}_RR$ である直和を
$$ R^{(I)}=\bigoplus_{i\in I}Re_i $$
と書く。これは $(e_i)_{i\in I}$ を基底とする自由左加群である。

自由加群の普遍性

集合 $I$、左 $R$-加群 $M$、集合写像 $u:I\to M$ に対し、$\widetilde u(e_i)=u(i)$ を満たす加群準同型
$$ \widetilde u:R^{(I)}\longrightarrow M $$
がただ一つ存在する。

自由加群の普遍性の証明

各元は一意な有限和 $x=\sum_i r_ie_i$ で表されるので
$$ \widetilde u(x)=\sum_i r_i u(i) $$
と定める。この式は基底表示の一意性により定義可能であり、有限和だけなので常に意味を持つ。係数ごとの計算から加法と左 $R$-作用を保ち、$\widetilde u(e_i)=u(i)$ である。
別の準同型 $g$ も $g(e_i)=u(i)$ を満たすなら、任意の有限和に対し
$$ g\left(\sum_i r_ie_i\right)=\sum_i r_ig(e_i) =\sum_i r_iu(i)=\widetilde u\left(\sum_i r_ie_i\right) $$
となる。従って $g=\widetilde u$ であり、一意性も示された。

任意の加群は自由加群の商である

任意の左 $R$-加群 $M$ に対し、ある自由左 $R$-加群 $F$ から $M$ への全射が存在する。特に $M$ が有限生成なら $F$ は有限基底を持つように選べる。

自由加群からの全射の証明

$M$ の台集合を添字集合として $F=R^{(M)}$ を取り、基底元 $e_m$ を $m\in M$ へ送る写像を自由加群の普遍性で延長する。得られる準同型
$$ \pi:F\longrightarrow M,\qquad \pi\left(\sum r_me_m\right)=\sum r_mm $$
は、各 $m\in M$ が $\pi(e_m)$ であるため全射である。$M$ が $m_1,\ldots,m_n$ で生成される場合は $F=R^{(\{1,\ldots,n\})}$ とし、$e_i\mapsto m_i$ とすればよい。準同型定理により $M\cong F/\ker\pi$ でもある。この構成は Stacks01D9 にも明記されている。

反例：加群は常に自由とは限らない

$n\geq2$ とする。$\mathbb Z/n\mathbb Z$ は $\mathbb Z$-加群だが自由ではない。実際、零でない剰余類 $\overline 1$ が $n\overline1=0$ を満たす。一方、自由 $\mathbb Z$-加群の元 $x=\sum_i a_ie_i$ が $nx=0$ を満たせば、基底表示の一意性から全ての $na_i=0$、従って全ての $a_i=0$ となり $x=0$ である。この反例は「体上のベクトル空間は全て自由である」という事実を、任意の環上の加群へそのまま拡張できるという含意を破る。

ベクトル空間との比較

観点	体 $k$ 上のベクトル空間	一般の環 $R$ 上の加群
スカラー	零でない元はすべて可逆	非可逆元、零因子、非可換性があり得る
基底	すべてのベクトル空間が持つ	基底を持たない加群がある
有限生成対象の部分対象	有限次元空間の部分空間は有限次元	$R$ がNoether的でなければ有限生成とは限らない
自由対象の基底数	次元として一意	IBNを持たない環では一意でないことがある
左右の区別	体が可換なら通常は意識しない	非可換環では左加群と右加群を区別する

比較表の上三つの差は、「係数で割れる」ことを使った線形代数の論法を一般環へ移すときの障害である。以下の左右と階数の注意は、その障害が実際に現れる場合を説明する。

左右と階数に関する注意

右 $R$-加群は左 $R^{\mathrm{op}}$-加群と同じデータである。この言い換えは左右を消すものではなく、作用する環を反対環へ替えて記録するものである。例えば左イデアルと右イデアルは一般には異なる。
零でない可除環 $D$ 上では、左加群にも右加群にもベクトル空間と同様の基底定理が成り立つ。従って全ての $D$-加群は自由であり、一つの加群の二つの基底は同じ濃度を持つ。左右の係数の置き場所は混同できないが、この結論は両側それぞれで正しい Eti08。
一般の環では、自由加群であっても基底の個数が一意とは限らない。

反例：一般の環では階数が一意とは限らない

$k$ を体、$V$ を可算無限次元 $k$-ベクトル空間とする。$V=V_0\oplus V_1$ と分解し、同型 $\alpha_i:V\to V_i$ と、その逆を $V_i$ 上で与え他方の直和成分上で零となる写像 $\beta_i:V\to V$ を取る。すると
$$ \beta_i\alpha_j=\delta_{ij}\operatorname{id}_V, \qquad \alpha_0\beta_0+\alpha_1\beta_1=\operatorname{id}_V $$
である。$R=\operatorname{End}_k(V)$ とし、積を写像の合成とする。写像
$$ \Phi:R_R\oplus R_R\longrightarrow R_R, \qquad \Phi(a,b)=\alpha_0\circ a+\alpha_1\circ b $$
は右 $R$-線形であり、逆写像は
$$ c\longmapsto(\beta_0\circ c,\beta_1\circ c) $$
である。上の恒等式から、これらが互いに逆であることが分かる。従って $R_R^2\cong R_R$ である。この反例は「自由加群なら基底の濃度が一意である」という含意を一般の環について破る。階数を一般に用いるには、環が invariant basis number（IBN）を持つなどの仮定が必要である。

分野ごとの使われ方

線形代数: ベクトル空間は体上の加群である。行列と線形写像の言語は自由加群へ移るが、基底が存在しない加群では座標を用いない記述が必要になる。
環論と表現論: 環 $R$ の左・右イデアルは正則加群の部分加群である。群 $G$ の線形表現も、群環 $k[G]$ 上の加群として一つの準同型論にまとめられる。
可換環論と代数幾何: 有限生成加群は環の局所的性質を調べる試験対象になる。可換環 $A$ と $A$-加群 $M$ に対し、基本開集 $D(f)\subseteq\operatorname{Spec}A$ 上の局所化 $M_f$ は互いに貼り合い、$\operatorname{Spec}A$ 上の準連接層を与える。自由加群は自由層のアフィン局所モデルになる。
ホモロジー代数: 任意の加群が自由加群の商になることから自由分解を作れる。環上の加群のホモロジー代数では、その分解にHomやテンソル積を適用してExt・Torを計算する。
学習順序としては、まず部分加群・商加群・準同型定理を確定し、次に生成と自由加群を学ぶ。その後、有限生成性を保つ条件を Noether加群で調べ、自由性を弱めた射影性を入射対象・射影対象で学ぶ。さらに複体とホモロジー、環上の加群のホモロジー代数、導来関手の順で、加群から高次の不変量へ進むのが一つの経路である。
この記事が所有するのは、一般加群の定義と、部分加群・商加群・準同型・生成・直和・自由加群という基礎構成である。Noether条件、射影性、複体、分解、Ext、Torの定義と証明は、上の後続記事に委ねる。