閉包作用素

同義語：閉包演算子closure operator

概要

閉包作用素（closure operator）とは、半順序集合 $P$ 上の写像 $C$ で、任意の $x,y\in P$ について $x\le C(x)$、$x\le y$ なら $C(x)\le C(y)$、$C(C(x))=C(x)$ を満たすものである。位相空間の閉包、部分群や部分空間の生成、凸包、二項関係の推移閉包は、どれも冪集合上の閉包作用素である。閉包作用素は $C(x)=x$ となる閉元の全体で決まり、閉元の全体になりうるのは、各元についてそれ以上の閉元のうち最小のものがある部分集合であり、冪集合では任意個の共通部分で閉じた部分集合族である。完備束上の閉包作用素の閉元は完備束をなし、半順序集合の間の随伴から閉包作用素が得られる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 半順序集合, 冪集合, 閉包

半順序集合 $P$ 上の閉包作用素（closure operator）とは、写像 $C\colon P\to P$ で、元を大きくし（$x\le C(x)$）、大小を保ち、2 回施しても 1 回と変わらない（$C(C(x))=C(x)$）ものである。最もよく使われるのは集合 $X$ の冪集合 $\mathcal{P}(X)$ 上の場合で、位相空間の閉包、群の部分集合が生成する部分群、ベクトル空間の部分集合が張る部分空間、$\mathbb{R}^n$ の部分集合の凸包、二項関係の推移閉包（推移閉包(二項関係)）は、どれも「$A$ を含み、ある性質をもつ最小の集合」を返す閉包作用素である。
閉包作用素 $C$ は、$C(x)=x$ となる元（閉元）の全体によって決まる。閉元の全体はちょうど「どの元 $x$ についても、$x$ 以上の閉元のうち最小のものがある」部分集合であり、$P$ が完備束なら「任意個の下限で閉じた部分集合」、冪集合なら「任意個の共通部分で閉じた部分集合族」である。また半順序集合の間の随伴（Galois 接続）$f\dashv g$ があれば $g\circ f$ は閉包作用素であり、逆にどの閉包作用素もこの形に書ける。部分群の生成のように有限個の元から決まる集合上の閉包作用素は、閉集合が有向な合併で閉じていることで特徴づけられる。

結果内容
prop-clop-criterion閉包作用素の 1 つの同値による言い換えと、閉元による $C(x)$ の表示
thm-clop-closed-elements閉包作用素と、閉元の全体になりうる部分集合の一対一対応
thm-clop-complete-lattice完備束上の閉包作用素の閉元は完備束をなす
thm-clop-adjunction随伴から閉包作用素が得られ、すべての閉包作用素がそうして得られる
thm-clop-algebraic有限的な閉包作用素は、閉集合が有向な合併で閉じているものである

定義

以下、$(P,\le)$ は半順序集合とする。集合 $X$ の部分集合全体 $\mathcal{P}(X)$ は包含 $\subseteq$ で半順序集合とみなす。

閉包作用素と閉元

写像 $C\colon P\to P$ が $P$ 上の閉包作用素であるとは、任意の $x,y\in P$ について次の 3 条件を満たすことをいう。

  1. $x\le C(x)$（拡大性）。
  2. $x\le y$ ならば $C(x)\le C(y)$（単調性）。
  3. $C(C(x))=C(x)$（冪等性）。
    $C(x)=x$ となる $x$ を $C$ の閉元といい、閉元の全体を $\mathcal{C}_C$ と書く。$P=\mathcal{P}(X)$ のとき、$C$ を集合 $X$ 上の閉包作用素、閉元を閉集合という。

集合上の閉包作用素の定義は BS12 I §5 Definition 5.1（p. 18）と同じである。位相空間の閉包はこの意味の閉包作用素であり、さらに $\overline{\emptyset}=\emptyset$ と $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ を満たす（閉包 の命題「閉包作用素の性質」）。一般の閉包作用素にはこの 2 条件を課さない。部分群の生成では空集合の閉包は単位元だけからなる部分群 $\{e\}$ であり、2 つの部分群の合併は一般に部分群でない。
拡大性の不等号を逆にした写像、すなわち $I(x)\le x$・単調・冪等な $I\colon P\to P$ は内部作用素（核作用素）と呼ばれる。位相空間の内部や実数の床関数がその例である。$P$ の順序を逆にすれば内部作用素は閉包作用素になるので、以下の結果は双対をとって内部作用素にも当てはまる。

基本性質

閉包作用素の判定と閉元

写像 $C\colon P\to P$ について、次が成り立つ。

  1. $C$ が閉包作用素であることと、任意の $x,y\in P$ について
    $$ x\le C(y)\quad\Longleftrightarrow\quad C(x)\le C(y) $$
    が成り立つことは同値である。
  2. $C$ が閉包作用素なら、各 $x\in P$ について $C(x)$ は閉元であり、$x$ 以上の閉元のうち最小のものである：$C(x)=\min\{q\in\mathcal{C}_C\mid x\le q\}$。とくに $C$ は閉元の全体 $\mathcal{C}_C$ だけで決まる。

1. $C$ を閉包作用素とする。$x\le C(y)$ なら、単調性と冪等性から $C(x)\le C(C(y))=C(y)$ である。$C(x)\le C(y)$ なら、拡大性から $x\le C(x)\le C(y)$ である。
逆に同値が成り立つとする。$y=x$ とおくと、右辺 $C(x)\le C(x)$ が成り立つので $x\le C(x)$ であり、拡大性が従う。$x\le y$ なら、拡大性から $x\le y\le C(y)$ なので $C(x)\le C(y)$ であり、単調性が従う。$x$ を $C(y)$ に替えると、$C(y)\le C(y)$ から $C(C(y))\le C(y)$ を得る。拡大性から $C(y)\le C(C(y))$ でもあるので、反対称律により $C(C(y))=C(y)$ である。
2. 冪等性から $C(x)\in\mathcal{C}_C$ であり、拡大性から $x\le C(x)$ である。$q\in\mathcal{C}_C$ が $x\le q$ を満たせば、単調性から $C(x)\le C(q)=q$ である。よって $C(x)$ は集合 $\{q\in\mathcal{C}_C\mid x\le q\}$ の最小元である。この右辺は $\mathcal{C}_C$ だけで決まる。$\square$

2 から、閉包作用素を与えることと、閉元の全体を与えることは同じ情報である。次の定理は、どんな部分集合が閉元の全体になりうるかを答える。

閉包作用素と閉元の全体の対応

部分集合 $Q\subseteq P$ が閉包系であるとは、各 $x\in P$ について集合 $Q_x:=\{q\in Q\mid x\le q\}$ が最小元をもつことをいう。

  1. $C$ が閉包作用素なら、$\mathcal{C}_C$ は閉包系である。
  2. $Q$ が閉包系なら、$C_Q(x):=\min Q_x$ で定まる $C_Q\colon P\to P$ は閉包作用素であり、その閉元の全体は $Q$ である。
  3. $C\mapsto\mathcal{C}_C$ と $Q\mapsto C_Q$ は、$P$ 上の閉包作用素の全体と $P$ の閉包系の全体の間の、互いに逆な全単射である。
  4. $P$ が完備束なら、$Q\subseteq P$ が閉包系であることと、$Q$ が $P$ の任意の部分集合の下限で閉じていること（$S\subseteq Q$ なら $\bigwedge S\in Q$。$S=\emptyset$ を含むので、とくに $P$ の最大元 $\top$ が $Q$ に属する）は同値である。このとき $C_Q(x)=\bigwedge Q_x$ である。

1 は prop-clop-criterion の 2 そのものである。
2. 定義から $C_Q(x)\in Q_x$ なので $x\le C_Q(x)$ である。$x\le y$ なら $Q_y\subseteq Q_x$（$y$ 以上の元は $x$ 以上である）なので、$Q_x$ の最小元は $Q_y$ の各元以下であり、$C_Q(x)\le C_Q(y)$ である。$q\in Q$ なら $q\in Q_q$ で $Q_q$ の元はすべて $q$ 以上なので $C_Q(q)=q$ である。$C_Q(x)\in Q$ なので、これから $C_Q(C_Q(x))=C_Q(x)$ が従う。閉元については、いま見たとおり $Q$ の元は閉元であり、逆に $C_Q(x)=x$ なら $x=C_Q(x)\in Q$ である。
3. 2 は $\mathcal{C}_{C_Q}=Q$ を述べている。閉包作用素 $C$ については、prop-clop-criterion の 2 により $C(x)=\min(\mathcal{C}_C)_x=C_{\mathcal{C}_C}(x)$ である。
4. $Q$ を閉包系とし、$S\subseteq Q$、$m:=\bigwedge S$ とおく。$q:=C_Q(m)$ とすると $m\le q$ である。$s\in S$ は $Q$ の元で $m\le s$ を満たすので $s\in Q_m$、したがって $q\le s$ である。よって $q$ は $S$ の下界であり、$q\le m$ となる。反対称律から $m=q\in Q$ である（$S=\emptyset$ のときも $m=\top$ で同じ議論が通る）。
逆に $Q$ が下限で閉じているとし、$x\in P$ をとる。$m:=\bigwedge Q_x$ は仮定から $Q$ に属し、$Q_x$ の各元が $x$ 以上なので $x\le m$、すなわち $m\in Q_x$ である。$m$ は $Q_x$ の下界でもあるので、$Q_x$ の最小元である。$\square$

$P=\mathcal{P}(X)$ では下限は共通部分なので、4 は「$\mathcal{Q}\subseteq\mathcal{P}(X)$ が閉包系であることと、$\mathcal{Q}$ が任意個の共通部分で閉じていること（空な族の共通部分 $X$ を含む）は同値で、そのとき $C_{\mathcal{Q}}(A)=\bigcap\{M\in\mathcal{Q}\mid A\subseteq M\}$」となる。共通部分で閉じた集合族を閉包系（Moore 族）と呼ぶ 完備束 の定義「閉包系」と、ここでの定義はこの意味で一致する。

閉元の完備束

$P$ を完備束、$C$ を $P$ 上の閉包作用素とする。閉元の全体 $\mathcal{C}_C$ は $P$ の順序について完備束であり、$S\subseteq\mathcal{C}_C$ の $\mathcal{C}_C$ における下限と上限は
$$ \bigwedge S\ (P\text{ での下限}),\qquad C\Bigl(\bigvee S\Bigr)\ (\bigvee S\text{ は }P\text{ での上限}) $$
で与えられる。とくに集合 $X$ 上の閉包作用素の閉集合の全体は、共通部分を下限、$C\bigl(\bigcup_iA_i\bigr)$ を上限とする完備束である。

thm-clop-closed-elements の 4 により $\bigwedge S\in\mathcal{C}_C$ である。$\bigwedge S$ は $P$ の中で $S$ の最大の下界なので、$\mathcal{C}_C$ の中でも最大の下界である。
$u:=C\bigl(\bigvee S\bigr)$ は冪等性から閉元である。$s\in S$ について $s\le\bigvee S\le u$ なので、$u$ は $S$ の上界である。$q\in\mathcal{C}_C$ が $S$ の上界なら $\bigvee S\le q$ なので、単調性から $u\le C(q)=q$ である。よって $u$ は $\mathcal{C}_C$ の中での $S$ の最小の上界である。$\square$

集合の場合のこの定理は BS12 I §5 Theorem 5.2（p. 18）である。上限は合併そのものとは限らない。群 $\mathbb{Z}$ の部分群 $2\mathbb{Z}$ と $3\mathbb{Z}$ の合併は $2+3=5$ を含まないので部分群でなく、部分群の全体の中での上限は合併が生成する部分群 $\mathbb{Z}$ である。逆に、どの完備束も、ある集合上の閉包作用素の閉集合の完備束と同型である（完備束 の定理「完備束は閉包系として表される」）。

随伴から作る閉包作用素

半順序集合 $P,Q$ の間の写像の組 $f\colon P\to Q$、$g\colon Q\to P$ が随伴（Galois 接続）であるとは、任意の $x\in P$、$y\in Q$ について $f(x)\le y\Leftrightarrow x\le g(y)$ が成り立つことをいう（単調写像 の定義「随伴（Galois 接続）」）。このとき $f,g$ は単調で、$f\circ g\circ f=f$、$g\circ f\circ g=g$ が成り立つ（単調写像 の定理「随伴の基本性質」の 1・3）。

随伴と閉包作用素
  1. $f\colon P\to Q$、$g\colon Q\to P$ が随伴なら、$C:=g\circ f$ は $P$ 上の閉包作用素であり、その閉元の全体は $g$ の像 $g[Q]$ である。
  2. 逆に $C$ を $P$ 上の閉包作用素とし、$f\colon P\to\mathcal{C}_C$ を $f(x):=C(x)$、$g\colon\mathcal{C}_C\to P$ を包含写像とする（$\mathcal{C}_C$ には $P$ の順序を入れる）。このとき $f,g$ は随伴であり、$g\circ f=C$ である。

1. prop-clop-criterion の 1 の同値を確かめる。$x,y\in P$ について、随伴の同値を $f(y)\in Q$ に当てはめると
$$ x\le g(f(y))\iff f(x)\le f(y) $$
である。同じく $g(f(x))\le g(f(y))$ は $f\bigl(g(f(x))\bigr)\le f(y)$ と同値であり、$f\circ g\circ f=f$ からこれは $f(x)\le f(y)$ と同値である。よって $x\le C(y)\Leftrightarrow C(x)\le C(y)$ であり、$C$ は閉包作用素である。$C(x)=x$ なら $x=g(f(x))\in g[Q]$ であり、逆に $y\in Q$ について $C(g(y))=g(f(g(y)))=g(y)$ である。
2. $x\in P$、$q\in\mathcal{C}_C$ について $C(x)\le q\Leftrightarrow x\le q$ を示せばよい。$C(x)\le q$ なら拡大性から $x\le C(x)\le q$ である。$x\le q$ なら単調性から $C(x)\le C(q)=q$ である。$g\circ f=C$ は定義から明らかである。$\square$

反単調な写像の組からも閉包作用素ができる。集合 $X,Y$ と関係 $R\subseteq X\times Y$ について、$A\subseteq X$、$B\subseteq Y$ に対し
$$ u(A):=\{y\in Y\mid \text{すべての }x\in A\text{ で }x\,R\,y\},\qquad \ell(B):=\{x\in X\mid \text{すべての }y\in B\text{ で }x\,R\,y\} $$
とおくと、$B\subseteq u(A)$ と $A\subseteq\ell(B)$ はともに「すべての $x\in A$、$y\in B$ で $x\,R\,y$」と同値である。$\mathcal{P}(Y)$ の順序を逆にした半順序集合を $\mathcal{P}(Y)^{\mathrm{op}}$ とすると、これは $u\colon\mathcal{P}(X)\to\mathcal{P}(Y)^{\mathrm{op}}$ と $\ell$ が随伴であることを意味する。したがって thm-clop-adjunction の 1 により、$A\mapsto\ell(u(A))$ は $X$ 上の閉包作用素で、閉集合は $\ell(B)$ の形の集合である。

  • 半順序集合 $P$ で $R$ を $\le$ とすると、$u(A)$ は $A$ の上界の全体、$\ell(B)$ は $B$ の下界の全体であり、$A\mapsto\ell(u(A))$ の閉集合から Dedekind–MacNeille完備化 が作られる。
  • 体 $k$ について $X=k^n$、$Y=k[x_1,\dots,x_n]$ とし、$a\,R\,f$ を $f(a)=0$ とすると、$u(S)$ は $S$ 上で消える多項式の全体、$\ell(T)$ は $T$ の共通零点の集合である。$\ell(u(S))$ は $S$ を含む最小の共通零点集合であり、閉集合は Zariski位相 の閉集合である。

有限的な閉包作用素

部分群の生成では、$\langle A\rangle$ の元は $A$ の有限個の元とその逆元の積なので、$\langle A\rangle$ は $A$ の有限部分集合が生成する部分群の合併である。この性質を抜き出したものが有限的な閉包作用素である。

有限的な閉包作用素

集合 $X$ 上の閉包作用素 $C$ が有限的（algebraic、finitary）であるとは、任意の $A\subseteq X$ について
$$ C(A)=\bigcup\{C(F)\mid F\subseteq A,\ F\text{ は有限集合}\} $$
が成り立つことをいう。すなわち、$x\in C(A)$ なら $x\in C(F)$ となる有限集合 $F\subseteq A$ がある。

この定義は BS12 I §5 Definition 5.4（p. 19）の algebraic closure operator と同じである。集合族 $\mathcal{D}$ が有向であるとは、空でなく、任意の $D_1,D_2\in\mathcal{D}$ について $D_1\cup D_2\subseteq D_3$ となる $D_3\in\mathcal{D}$ があることをいう。包含について全順序な空でない族（鎖）は有向である。

有限性と有向な合併

集合 $X$ 上の閉包作用素 $C$ について、次は同値である。

  1. $C$ は有限的である。
  2. 閉集合からなる任意の有向な族 $\mathcal{D}$ について、合併 $\bigcup\mathcal{D}$ は閉集合である。

1 ⇒ 2. $U:=\bigcup\mathcal{D}$ とし、$F\subseteq U$ を有限集合とする。$F$ の各元はある $\mathcal{D}$ の元に属し、$\mathcal{D}$ は有向なので、有限回 $D_3$ をとることで $F\subseteq D$ となる $D\in\mathcal{D}$ がある（$F=\emptyset$ なら $\mathcal{D}$ が空でないので任意の $D$ でよい）。単調性から $C(F)\subseteq C(D)=D\subseteq U$ である。1 から $C(U)$ はこのような $C(F)$ の合併なので $C(U)\subseteq U$ であり、拡大性と合わせて $C(U)=U$ である。
2 ⇒ 1. $A\subseteq X$ をとり、$\mathcal{D}:=\{C(F)\mid F\subseteq A\text{ は有限集合}\}$、$V:=\bigcup\mathcal{D}$ とおく。$\mathcal{D}$ は $C(\emptyset)$ を含むので空でなく、$C(F_1)\cup C(F_2)\subseteq C(F_1\cup F_2)$（単調性）なので有向である。2 から $V$ は閉集合である。$a\in A$ なら $a\in C(\{a\})\subseteq V$ なので $A\subseteq V$ であり、prop-clop-criterion の 2 から $C(A)\subseteq V$ である。逆に $F\subseteq A$ なら $C(F)\subseteq C(A)$ なので $V\subseteq C(A)$ である。よって $C(A)=V$ であり、$C$ は有限的である。$\square$

有限的な閉包作用素の閉集合の完備束は代数的束であり、そのコンパクト元はちょうど有限集合の閉包 $C(F)$ である。逆に、どの代数的束もある有限的な閉包作用素の閉集合の束と同型である（BS12 I §5 Theorem 5.5・Theorem 5.8、pp. 19–20。この記事では証明しない）。

例

閉包作用素の例
  1. 生成される部分構造：群 $G$ の部分集合 $A$ に、$A$ を含む最小の部分群 $\langle A\rangle$（$A$ を含む部分群すべての共通部分）を対応させると、$G$ 上の閉包作用素で、閉集合は部分群である。$\langle A\rangle$ の元は $A$ の元とその逆元の有限個の積（空の積は単位元）なので、有限的である。ベクトル空間の部分集合の線形包、環の部分集合が生成するイデアルも同様で、閉集合はそれぞれ部分空間、イデアルである。
  2. 凸包：$A\subseteq\mathbb{R}^n$ に凸包 $\operatorname{conv}(A)$ を対応させると閉包作用素で、閉集合は凸集合である。$\operatorname{conv}(A)$ は $A$ の有限個の点の凸結合の全体なので、有限的である。
  3. 位相的閉包：位相空間 $X$ の部分集合にその閉包を対応させると閉包作用素で、その閉集合は位相空間としての閉集合と一致する。これは一般に有限的でない（ex-clop-counterexamples の 4）。
  4. 推移閉包：集合 $A$ 上の二項関係 $R\subseteq A\times A$ に、$R$ を含む最小の推移的関係 $R^{+}$ を対応させると、集合 $A\times A$ 上の閉包作用素で、閉集合は推移的関係である（推移閉包(二項関係)）。$a\,R^{+}\,b$ は $R$ の有限個の組をつないだ列で与えられるので、有限的である。
  5. 上方集合の生成：前順序集合 $(P,\lesssim)$ の部分集合 $A$ に ${\uparrow}A:=\{y\in P\mid x\lesssim y\text{ となる }x\in A\text{ がある}\}$ を対応させると閉包作用素で、閉集合は上方集合である（上方集合と下方集合）。${\uparrow}A=\bigcup_{a\in A}{\uparrow}\{a\}$ なので有限的であり、さらに合併を保つ。
  6. 冪集合でない例：実数の天井関数 $x\mapsto\lceil x\rceil$（$x$ 以上の最小の整数）は $(\mathbb{R},\le)$ 上の閉包作用素で、閉元の全体は $\mathbb{Z}$ である。正の整数全体に整除の順序 $m\mid n$ を入れたとき、$n\mapsto\operatorname{lcm}(n,6)$ は閉包作用素で、閉元は $6$ の倍数である。一般に束 $L$ の元 $a$ について $x\mapsto x\vee a$ は閉包作用素で、閉元の全体は ${\uparrow}\{a\}=\{x\mid a\le x\}$ である。

1 の「共通部分」による記述は thm-clop-closed-elements の 4 の $C_{\mathcal{Q}}$ そのものであり、部分群の任意個の共通部分が部分群であることから閉包作用素であることが従う。6 の天井関数では $\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}$ の最小元が $\lceil x\rceil$ なので、$\mathbb{Z}$ は $(\mathbb{R},\le)$ の閉包系であり、$\lceil\cdot\rceil=C_{\mathbb{Z}}$ である。$x\mapsto x\vee a$ では、$x\le y$ なら $x\vee a\le y\vee a$、$(x\vee a)\vee a=x\vee a$ であり、$x\vee a$ は $x$ と $a$ の両方以上の最小の元なので ${\uparrow}\{a\}$ の中で $x$ 以上の最小の元である。整除の例は $L=(\mathbb{Z}_{>0},\mid)$ で上限が最小公倍数、$a=6$ の場合である。

反例

反例：条件を 1 つ外した写像
  1. 冪等性を外す：$\mathbb{Z}$ の部分集合 $A$ に $N(A):=A\cup\{a\pm1\mid a\in A\}$ を対応させる。$N$ は拡大的で単調だが、$N(\{0\})=\{-1,0,1\}$、$N(N(\{0\}))=\{-2,-1,0,1,2\}$ なので冪等でない。「1 歩で届く点を足す」操作は、繰り返さないと閉じない。
  2. 拡大性を外す：$\mathbb{R}$ の部分集合にその内部を対応させる写像は単調で冪等だが、$\{0\}$ の内部は $\emptyset$ で $\{0\}\not\subseteq\emptyset$ である。これは内部作用素の例である。
  3. 単調性を外す：$X=\{1,2,3\}$ と族 $\mathcal{Q}=\{X,\{1,2\},\{2,3\}\}$ をとる。$\{2\}$ を含む $\mathcal{Q}$ の元のうち極小なものは $\{1,2\}$ と $\{2,3\}$ の 2 つで、最小のものはない。そこで $C(\emptyset)=C(\{1\})=C(\{2\})=C(\{1,2\})=\{1,2\}$、$C(\{3\})=C(\{2,3\})=\{2,3\}$、$C(\{1,3\})=C(X)=X$ と選ぶと、$C$ は拡大的で冪等だが、$\{2\}\subseteq\{2,3\}$ なのに $C(\{2\})=\{1,2\}\not\subseteq\{2,3\}=C(\{2,3\})$ であり単調でない。$\mathcal{Q}$ は共通部分 $\{2\}$ を含まないので閉包系でなく、thm-clop-closed-elements により $\mathcal{Q}$ を閉集合の全体とする閉包作用素は存在しない。
  4. 有限性を外す：$\mathbb{R}$ の閉包は有限的でない。$A=(0,1)$ について $0\in\overline{A}$ だが、有限集合 $F\subseteq A$ は閉集合なので $\overline{F}=F\not\ni0$ である。thm-clop-algebraic に対応して、閉集合の鎖 $[1/n,1]$（$n\ge1$）の合併 $(0,1]$ は閉集合でない。
  5. 閉包系の条件を外す：$(\mathbb{R},\le)$ の部分集合 $\mathbb{Q}$ は閉包系でない。$x=\sqrt2$ 以上の有理数の全体は最小元をもたないからである。したがって、閉元の全体がちょうど $\mathbb{Q}$ となる $\mathbb{R}$ 上の閉包作用素はない。
外す条件反例成り立たなくなること
冪等性$\mathbb{Z}$ 上の $N(A)=A\cup\{a\pm1\}$$C(x)$ が閉元であること
拡大性位相空間の内部$x\le C(x)$、$C(x)$ が $x$ 以上の最小の閉元であること
単調性共通部分で閉じない族から選んだ写像閉元の全体から $C$ が決まること
有限性$\mathbb{R}$ の閉包閉集合の有向な合併が閉集合であること
閉包系であること$\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$その部分集合を閉元の全体とする閉包作用素の存在
合併で閉じること（一般には課さない）$\mathbb{Z}$ の部分群 $2\mathbb{Z}$、$3\mathbb{Z}$閉元の上限が合併に等しいこと

関連項目

参考文献

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