単調収束定理

$a_n:=1-\frac1n$（$n\ge1$）は $\frac1n>\frac1{n+1}$ から狭義単調増加で、$1$ が上界である。定理により収束し、極限は $\sup\{a_n\}$ である。この上限は $1$ である。実際、$u<1$ が上界だとすると、すべての $n$ で $\frac1n\ge1-u>0$ となるが、Archimedes の性質（実数 の記事の定理「Archimedes性」）により $n>\frac1{1-u}$ となる $n$ があって矛盾する。よって $1-\frac1n\to1$ である。上限 $1$ はどの項とも等しくない。

$a_0=0$、$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ とする。すべての $n$ で
$$ 0\le a_n<2\quad\text{かつ}\quad a_n< a_{n+1} $$
であることを帰納法で示す。$0\le a_n<2$ ならば $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt4=2$ であり、$a_{n+1}\ge0$ である。また
$$ a_{n+1}^2-a_n^2=2+a_n-a_n^2=(2-a_n)(1+a_n)>0 $$
で、$a_n,a_{n+1}\ge0$ なので $a_{n+1}>a_n$ である。したがって $(a_n)$ は狭義単調増加で $2$ を上界にもち、定理により極限 $L$ をもつ。$L\ge a_1=\sqrt2>0$ である。漸化式を $a_{n+1}^2=2+a_n$ と書いて $n\to\infty$ とすると（数列の極限 の記事の命題「極限の四則演算」）、$L^2=2+L$、すなわち $(L-2)(L+1)=0$ となり、$L>0$ から $L=2$ である。
差 $2-a_n$ は $2,\ 0.586,\ 0.152,\ 0.038,\ 0.0096,\dots$ で、1 歩ごとにおよそ $\frac14$ 倍になる。

$x_0=2$、$x_{n+1}=\frac12\bigl(x_n+\frac2{x_n}\bigr)$ とする。$x_n>0$ ならば $x_{n+1}>0$ なので、すべての項は正で漸化式は意味をもつ。展開して整理すると
$$ x_{n+1}^2-2=\Bigl(\frac{x_n^2-2}{2x_n}\Bigr)^2\ge0,\qquad x_n-x_{n+1}=\frac{x_n^2-2}{2x_n} $$
である。1 つ目の式と $x_0^2=4$ からすべての $n$ で $x_n^2\ge2$、2 つ目の式から $x_n\ge x_{n+1}$ が分かる。よって $(x_n)$ は単調減少で $0$ を下界にもち、定理により極限 $L$ をもつ。$x_n^2\ge2>1$ と $x_n>0$ から $x_n\ge1$ なので $L\ge1$ であり、漸化式で $n\to\infty$ とすると $L=\frac12\bigl(L+\frac2L\bigr)$、すなわち $L^2=2$、$L=\sqrt2$ である。
項は $2,\ \frac32,\ \frac{17}{12},\ \frac{577}{408},\ \frac{665857}{470832},\dots$ で、$x_n^2-2$ は $2,\ \frac14,\ \frac1{144},\ \frac1{166464},\ \frac1{221682772224}$ と、1 つ目の式のとおり 1 歩ごとにおよそ 2 乗の速さで小さくなる。すべての項が有理数であることは、次の節の反例で使う。

部分和 $S_N:=\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}$ は項が正なので単調増加である。$n\ge2$ で $\frac1{n^2}<\frac1{(n-1)n}=\frac1{n-1}-\frac1n$ だから
$$ S_N\le1+\sum_{n=2}^N\Bigl(\frac1{n-1}-\frac1n\Bigr)=2-\frac1N<2 $$
であり、$(S_N)$ は上に有界である。定理により級数 $\sum_{n\ge1}\frac1{n^2}$ は収束し、和は $2$ 以下である。和が $\frac{\pi^2}6$ であることは Basel問題 の記事の定理「平方数の逆数の和」で証明されている。収束することと誤差の評価は同じ記事の命題「平方の逆数の和の収束と誤差」にある。値を知らなくても、単調性と上界だけで和の存在が先に分かる。

1. $a_n=\bigl(1+\frac1n\bigr)^n$ は狭義単調増加で $3$ を上界にもつ（(1+1/n)^nの極限 の記事の定理「$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ の単調性と有界性」）。単調収束定理によりこの数列は収束し、その極限をネイピア数 $e$ と定義する。$e$ という数の存在そのものが、この定理に支えられている。
2. $\sqrt2$ の連分数展開 $[1;2,2,2,\dots]$ の近似分数は $1,\ \frac32,\ \frac75,\ \frac{17}{12},\ \frac{41}{29},\ \frac{99}{70},\dots$ で、偶数番目 $1<\frac75<\frac{41}{29}<\cdots$ は単調増加、奇数番目 $\frac32>\frac{17}{12}>\frac{99}{70}>\cdots$ は単調減少であり、どの偶数番目もどの奇数番目より小さい。したがって両方とも単調収束定理で極限をもつ。2 つの極限が一致することは、隣り合う近似分数の差が $0$ に近づくことから分かる（一般の無限単純連分数について 連分数 の記事の定理「無限単純連分数の収束」）。

1. 有理数の中で考える：ex-mct-newton の漸化式は有理数を有理数に移すので、すべての $x_n$ は有理数であり、$(x_n)$ は有理数の中で単調減少で $1$ を下界にもつ。この数列が有理数 $r$ に収束したとすると、ex-mct-newton と同じ計算で $r\ge1$、$r^2=2$ となるが、$r^2=2$ となる有理数はない（$r=\frac pq$ を既約分数とすると $p^2=2q^2$ から $p$ が偶数、次に $q$ も偶数となり矛盾する）。よって「単調で有界」を満たすが「有理数の中で収束する」を満たさず、上限性質のない数の範囲では定理の含意が破れる。$\sqrt2$ の小数近似 $1,\ 1.4,\ 1.41,\dots$ でも同じことが起きる（極限とε-δ の記事の例「反例：有理数では単調有界数列が収束しない」）。
2. 有界性を外す：$H_n$ は単調増加であり、$H_{2^m}\ge1+\frac m2$ から上に有界でない（調和級数 の記事の定理「調和級数の発散」）。prop-mct-extended により $H_n\to+\infty$ である。「単調」を満たし「収束する」を満たさない。$H_n$ は $n=10^6$ でもおよそ $14.4$ にすぎず、有界でないことは数値を眺めても分からない。上界があるかどうかの判定には証明が要る（Leb26 Example 2.1.12 も同じ注意をしている）。
3. 単調性を外す：$(-1)^n$ は $\lvert(-1)^n\rvert\le1$ で有界だが、$1$ と $-1$ を交互にとるので収束しない（点列 の記事の注意「反例：単調性と有界性の一方だけでは収束しない」）。「有界」を満たし「収束する」を満たさない。ただし cor-mct-bounded-subsequence のとおり、収束する部分列（たとえば偶数番目の $1,1,1,\dots$）はもつ。

$b_0=2$、$b_{n+1}=b_n^2$ とする。極限 $L$ があると仮定すれば $L=L^2$ から $L\in\{0,1\}$ となるが、$b_n=2^{2^n}$ は単調増加で上に有界でなく、$+\infty$ に発散する。「極限 $L$ があれば $L$ は方程式を満たす」は正しいが、その逆「方程式の解があれば数列はそこに収束する」は成り立たない。ex-mct-sqrt-recursion と ex-mct-newton では、先に単調収束定理で極限の存在を示してから方程式を解いたので、値まで決まった。