反射部分圏

反射部分圏なら、随伴の全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Lc,d)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,d)$ は $\bar g\mapsto\bar g\circ\eta_c$ で与えられる（随伴関手 の命題「随伴から単位・余単位を取り出す」）ので、$Rc=Lc$ が条件を満たす。
逆に条件が成り立つとする。$\mathcal C$ の射 $h\colon c\to c'$ に対し、$\eta_{c'}\circ h\colon c\to Rc'$ の行き先は $\mathcal D$ の対象なので、$\eta_{c'}\circ h=Rh\circ\eta_c$ となる $Rh\colon Rc\to Rc'$ がただ 1 つある。一意性から $R(\operatorname{id}_c)=\operatorname{id}_{Rc}$、$R(h'\circ h)=Rh'\circ Rh$ が従い（両辺とも $\eta_{c''}\circ h'\circ h$ を経由させる射である）、$R$ は関手 $\mathcal C\to\mathcal D$、$\eta$ は自然変換 $\operatorname{id}_{\mathcal C}\Rightarrow iR$ になる。写像 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Rc,d)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,d)$、$f\mapsto f\circ\eta_c$ は仮定により全単射であり、$c$ についての自然性は $\eta$ の自然性から、$d$ についての自然性は合成の結合律から従う。よって $R$ は $i$ の左随伴である。$\square$

1. 三角恒等式 $\varepsilon_{Lc}\circ L(\eta_c)=\operatorname{id}_{Lc}$ と $i(\varepsilon_d)\circ\eta_{id}=\operatorname{id}_{id}$（随伴関手 の命題「随伴から単位・余単位を取り出す」）を使う。$\varepsilon_{Lc}$ は同型射なので、第一式から $L(\eta_c)=\varepsilon_{Lc}^{-1}$ は同型射である。第二式で $d=Lc$ とおくと、$i(\varepsilon_{Lc})$ が同型射なので $\eta_{iLc}=i(\varepsilon_{Lc})^{-1}=i(\varepsilon_{Lc}^{-1})=iL(\eta_c)$ である。
2. $\eta_c$ が同型射なら $c\cong iLc$ である。逆に同型射 $\varphi\colon c\to id$（$d\in\mathcal D$）があるとする。第二の三角恒等式から $\eta_{id}=i(\varepsilon_d)^{-1}$ は同型射である。$\eta$ の自然性 $\eta_{id}\circ\varphi=iL(\varphi)\circ\eta_c$ より $\eta_c=iL(\varphi)^{-1}\circ\eta_{id}\circ\varphi$ であり、同型射の合成なので同型射である。$\square$

1. 各 $\pi_j\colon P\to K(j)$ の行き先は $\mathcal D$ の対象なので、prop-rs-universal-arrow により $\pi_j=r_j\circ\eta_P$ となる $r_j\colon LP\to K(j)$ がただ 1 つある。$J$ の射 $u\colon j\to k$ について、$K(u)\circ r_j$ と $r_k$ はともに $\pi_k=K(u)\circ\pi_j$ を $\eta_P$ に沿って経由させる射なので、一意性から等しい。よって $(LP,(r_j)_j)$ は $iK$ 上の錐であり、極限の普遍性から $\pi_j\circ r=r_j$ となる $r\colon iLP\to P$ がある。
   すると $\pi_j\circ(r\circ\eta_P)=r_j\circ\eta_P=\pi_j$ がすべての $j$ で成り立ち、極限の普遍性の一意性から $r\circ\eta_P=\operatorname{id}_P$ である。また $(\eta_P\circ r)\circ\eta_P=\eta_P=\operatorname{id}_{iLP}\circ\eta_P$ であり、$\eta_P$ を経由させる射の一意性（行き先 $iLP$ は $\mathcal D$ の対象）から $\eta_P\circ r=\operatorname{id}_{iLP}$ である。よって $\eta_P$ は同型射で $P\cong iLP$ である。$\mathcal D$ が同型で閉じていれば $P\in\mathcal D$ であり、$\mathcal D$ は充満なので、$\mathcal D$ の対象からの錐は $\mathcal C$ の錐と同じであり、$(P,\pi)$ は $\mathcal D$ でも極限錐である。
2. $\mathcal D$ の対象 $d$ と $K$ 上の余錐 $(\mu_j\colon K(j)\to d)_j$ をとる。これは $\mathcal C$ の余錐でもあるので、$g\circ\iota_j=\mu_j$ となる $g\colon Q\to d$ がただ 1 つあり、$g=\bar g\circ\eta_Q$ となる $\bar g\colon LQ\to d$ がただ 1 つある。このとき $\bar g\circ(\eta_Q\circ\iota_j)=\mu_j$ である。逆に $h\colon LQ\to d$ が $h\circ\eta_Q\circ\iota_j=\mu_j$ を満たせば、余極限の一意性から $h\circ\eta_Q=g$、反射の一意性から $h=\bar g$ である。また $(\eta_Q\circ\iota_j)_j$ が余錐であることは $(\iota_j)_j$ が余錐であることから従う。よって $(LQ,(\eta_Q\circ\iota_j)_j)$ は余極限錐である。$\square$

1. まず $x=id$（$d\in\mathcal D$）とする。$f\colon a\to b$ が $W$ に属するとき、随伴の全単射 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,id)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(L-,d)$ の自然性から、図式
   $$ \begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(b,id) & \xrightarrow{\ f^\ast\ } & \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(a,id)\\ \big\downarrow{\cong} & & \big\downarrow{\cong}\\ \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(Lb,d) & \xrightarrow{\ L(f)^\ast\ } & \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(La,d) \end{array} $$
   は可換である。$L(f)$ は同型射なので下の行は全単射であり、上の行も全単射である。$W$-局所的であることは同型で保たれるので、$\mathcal D$ の対象と同型な $x$ は $W$-局所的である。
   逆に $x$ が $W$-局所的だとする。$\eta_x\in W$ なので $\eta_x^\ast\colon\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(iLx,x)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(x,x)$ は全単射であり、$r\circ\eta_x=\operatorname{id}_x$ となる $r\colon iLx\to x$ がある。すると $(\eta_x\circ r)\circ\eta_x=\eta_x=\operatorname{id}_{iLx}\circ\eta_x$ であり、$iLx$ は $\mathcal D$ の対象なので、prop-rs-universal-arrow の一意性から $\eta_x\circ r=\operatorname{id}_{iLx}$ である。よって $\eta_x$ は同型射で、$x\cong iLx$ である。
2. $\eta_c\in W$ なので $F(\eta_c)\colon F(c)\to FiL(c)$ は同型射であり、$\eta$ の自然性から $F(\eta)\colon F\Rightarrow FiL$ は自然同型である。次に $G\circ L\cong F$ とすると、右から $i$ を合成して $G\circ L\circ i\cong F\circ i$ を得る。余単位 $\varepsilon\colon Li\Rightarrow\operatorname{id}_{\mathcal D}$ は自然同型なので $G\cong G\circ L\circ i\cong F\circ i$ である。$\square$

$L$ は $W$ を同型射に送るので、局所化の普遍性から $\bar L$ がただ 1 つある。$\bar L\circ(Q\circ i)=L\circ i\cong\operatorname{id}_{\mathcal D}$ である。逆向きには、自然同型 $Q(\eta)\colon Q\Rightarrow Q\circ i\circ L=(Q\circ i\circ\bar L)\circ Q$ をとる（$\eta_c\in W$ なので各成分は同型射）。命題「局所化の存在」の後半により、$Q$ との合成は自然変換の間の全単射を与え、逆射と合成もそれで対応するので、$Q(\eta)$ は自然同型 $\operatorname{id}\Rightarrow Q\circ i\circ\bar L$ から来る。よって $Q\circ i$ は $\bar L$ の擬逆であり、$\bar L$ は圏同値である。$\square$