Hadamard行列

同義語：アダマール行列Hadamard matrix

概要

前提知識: 行列式, 直交行列, 有限体, Hadamardの不等式(行列式)

成分がすべて $1$ か $-1$ の正方行列で、どの 2 つの行も直交するものを Hadamard 行列（Hadamard matrix）という。たとえば
$$ H_2=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad H_4=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix} $$
はどちらも Hadamard 行列である。$n$ 次の Hadamard 行列 $H$ は $HH^{\mathsf T}=nI$ をみたし、$H/\sqrt n$ は直交行列になる。
Hadamard 行列は、成分の絶対値が $1$ 以下の $n$ 次実正方行列のなかで行列式の絶対値を最大にする行列としても現れる。その上界 $n^{n/2}$ に達するのは Hadamard 行列だけであり、Hadamard 行列がない次数では最大値は $n^{n/2}$ より小さい。一方で、Hadamard 行列が存在する次数は強く制限され、$n\ge3$ なら $n$ は $4$ の倍数でなければならない。逆に $4$ の倍数のすべての次数に Hadamard 行列が存在するかどうかは Hadamard 予想 と呼ばれる未解決問題である。
この記事では、Hadamard 行列を定義し、次数が $1,2$ か $4$ の倍数であること（thm-hm-order）、行列式の上界とその等号（thm-hm-det）、Kronecker 積による Sylvester の構成（thm-hm-kron）、有限体の平方指標による Paley の 2 つの構成（thm-hm-paley1、thm-hm-paley2）、および正規化した Hadamard 行列と対称な 2-デザインの対応（thm-hm-design）を証明する。
以下、行列はすべて実行列とし、$I$ は単位行列、$J$ は成分がすべて $1$ の行列、$\mathbf 1$ は成分がすべて $1$ の列ベクトルとする（大きさは文脈で決める）。

定義と同値変形

Hadamard 行列

$n\ge1$ とする。$n$ 次正方行列 $H$ が Hadamard 行列 であるとは、$H$ の成分がすべて $1$ または $-1$ であり、
$$ HH^{\mathsf T}=nI $$
が成り立つことをいう。$n$ を $H$ の次数（位数）という。

$HH^{\mathsf T}$ の $(i,j)$ 成分は第 $i$ 行と第 $j$ 行の内積であり、成分が $\pm1$ なら各行の長さの 2 乗は $n$ である。よって $HH^{\mathsf T}=nI$ は「相異なる 2 行が直交する」と同じことである。

列も直交する

$H$ が $n$ 次の Hadamard 行列なら、$H^{\mathsf T}H=nI$ であり、$H^{\mathsf T}$ も Hadamard 行列である。$H$ の行を並べ替えたもの、列を並べ替えたもの、ある行やある列に $-1$ をかけたものも Hadamard 行列である。

$HH^{\mathsf T}=nI$ より $H$ は可逆で $H^{-1}=\frac1nH^{\mathsf T}$ である。よって $H^{\mathsf T}H=nH^{-1}H=nI$ となり、$H^{\mathsf T}$ も成分が $\pm1$ なので Hadamard 行列である。
置換行列 $P$ と、対角成分が $\pm1$ の対角行列 $D$ は $PP^{\mathsf T}=I$、$DD^{\mathsf T}=I$ をみたす。行の並べ替えと行への $-1$ の乗算は左から $P$ や $D$ をかけることで、$(PH)(PH)^{\mathsf T}=PHH^{\mathsf T}P^{\mathsf T}=nPP^{\mathsf T}=nI$ となる。$D$ でも同じである。列の操作は右からかけることで、$(HP)(HP)^{\mathsf T}=HPP^{\mathsf T}H^{\mathsf T}=HH^{\mathsf T}=nI$ となる。成分が $\pm1$ であることはどの操作でも保たれる。$\square$

prop-hm-transpose の操作で互いに移りあう 2 つの Hadamard 行列は同値であるという。各列に第 1 行の成分をかけて第 1 行をすべて $1$ にし、次に各行に第 1 列の成分をかけて第 1 列をすべて $1$ にすると（第 1 行は $1$ のまま）、第 1 行と第 1 列の成分がすべて $1$ の Hadamard 行列が得られる。このような Hadamard 行列を 正規化されている という。冒頭の $H_2$、$H_4$ は正規化されている。

小さい次数

次数 $1$：$(1)$ と $(-1)$ が Hadamard 行列である。
次数 $2$：$H_2$ が Hadamard 行列である。正規化された次数 $2$ の Hadamard 行列は $H_2$ だけである（第 2 行は第 1 行 $(1,1)$ と直交し第 1 成分が $1$ なので $(1,-1)$）。
次数 $3$：Hadamard 行列は存在しない。正規化された行列の第 2 行 $(1,a,b)$ が $(1,1,1)$ と直交するには $1+a+b=0$ が要るが、$a,b\in\{\pm1\}$ なら $1+a+b$ は奇数である。
次数 $4$：冒頭の $H_4$ のほか、$J-2I$（対角成分が $-1$、ほかが $1$）も Hadamard 行列である。実際 $(J-2I)^2=J^2-4J+4I=4J-4J+4I=4I$ である（$J^2=4J$）。

次数の条件

次数は 1, 2 か 4 の倍数

$n$ 次の Hadamard 行列が存在するなら、$n=1$、$n=2$、または $n$ は $4$ の倍数である。

3 つの行の符号の型を数える

$n\ge3$ とし、$H$ を $n$ 次の Hadamard 行列とする。prop-hm-transpose により $H$ は正規化されているとしてよい。第 1・2・3 行を並べた $3\times n$ 行列の各列は、第 1 成分が $1$ なので
$$ (1,1,1)^{\mathsf T},\quad(1,1,-1)^{\mathsf T},\quad(1,-1,1)^{\mathsf T},\quad(1,-1,-1)^{\mathsf T} $$
のどれかである。それぞれの型の列の個数を $a,b,c,d$ とすると、$a+b+c+d=n$ であり、3 つの行が互いに直交することから
$$ a+b-c-d=0,\qquad a-b+c-d=0,\qquad a-b-c+d=0 $$
である（順に第 1 行と第 2 行、第 1 行と第 3 行、第 2 行と第 3 行の内積）。4 つの式を足すと $4a=n$ となる。よって $n$ は $4$ の倍数である。$\square$

この証明は、次数 $n\ge3$ の Hadamard 行列では任意の 3 行について 4 つの型がそれぞれちょうど $n/4$ 列ずつ現れることも示している（4 つの式を解くと $a=b=c=d=n/4$）。

Hadamard 予想

thm-hm-order の逆、すなわち $4$ の倍数のすべての $n$ について $n$ 次の Hadamard 行列が存在する という主張を Hadamard 予想という（Sta13 §12.6, p. 240、BH11 §10.5, p. 157）。この予想は未解決である。下の Sylvester と Paley の構成とその積から多くの次数が得られるが、すべての $4$ の倍数を尽くす構成は知られていない。

行列式の最大値

Hadamard 行列は、成分の大きさを制限したときに行列式を最大にする行列として特徴づけられる。証明には Hadamardの不等式(行列式) の定理「Hadamardの不等式」（$\lvert\det A\rvert$ は列の長さの積以下で、列が $0$ でないとき等号は列が互いに直交するときに限る）を使う。

行列式の上界と等号

$A=(a_{ij})$ を $n$ 次の実正方行列とし、すべての成分が $\lvert a_{ij}\rvert\le1$ をみたすとする。このとき
$$ \lvert\det A\rvert\le n^{n/2} $$
であり、等号が成り立つのは $A$ が Hadamard 行列であるときに限る。

$A$ の列を $a_1,\dots,a_n$ とすると $\|a_j\|^2=\sum_ia_{ij}^2\le n$ である。Hadamard の不等式から
$$ \lvert\det A\rvert\le\|a_1\|\cdots\|a_n\|\le(\sqrt n)^n=n^{n/2}. $$
等号が成り立つとする。$n^{n/2}>0$ なので $0$ の列はなく、2 つ目の不等号の等号からすべての $j$ で $\|a_j\|^2=n$、すなわち $a_{ij}^2=1$ である。よって成分はすべて $\pm1$ である。1 つ目の不等号の等号から列は互いに直交するので $A^{\mathsf T}A=nI$ であり、prop-hm-transpose を $A^{\mathsf T}$ に当てると（$A^{\mathsf T}(A^{\mathsf T})^{\mathsf T}=nI$ なので $A^{\mathsf T}$ は Hadamard 行列）、$A=(A^{\mathsf T})^{\mathsf T}$ も Hadamard 行列である。
逆に $A$ が Hadamard 行列なら、$(\det A)^2=\det(AA^{\mathsf T})=\det(nI)=n^n$ なので $\lvert\det A\rvert=n^{n/2}$ である。$\square$

等号に達しない次数

$n=3$ では Hadamard 行列がないので（ex-hm-small の 3）、成分が $\pm1$ の 3 次行列の行列式の絶対値は $3^{3/2}\approx5.196$ より真に小さい。実際の最大値は $4$ で、たとえば $\det\begin{pmatrix}1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}=4$ である。3 次の $\pm1$ 行列の行列式は $6$ 個の $\pm1$ の和なので偶数で、さらに次のように $4$ の倍数になる。いくつかの行と列に $-1$ をかけて（行列式の符号しか変わらない）第 1 行と第 1 列をすべて $1$ にし、第 2 行と第 3 行から第 1 行を引くと、残る $2\times2$ の小行列の成分は $0$ か $-2$ で、行列式は $4$ の倍数になる。$5.196$ 以下の $4$ の倍数のうち最大のものは $4$ である。$2^9=512$ 個の $\pm1$ 行列をすべて調べても最大値は $4$ である。

Sylvester の構成

2 つの行列 $A=(a_{ij})$（$m\times m$）と $B$（$p\times p$）の Kronecker 積 を、$mp$ 次の区分け行列
$$ A\otimes B:=\begin{pmatrix}a_{11}B&\cdots&a_{1m}B\\\vdots&&\vdots\\a_{m1}B&\cdots&a_{mm}B\end{pmatrix} $$
で定める。区分けごとに計算すると、$(A\otimes B)^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}\otimes B^{\mathsf T}$ であり、同じ大きさの $C$、$D$ について $(A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes(BD)$ である（左辺の $(i,j)$ 区画は $\sum_ka_{ik}c_{kj}BD$ で、これは右辺の $(i,j)$ 区画である）。

Kronecker 積は Hadamard 行列

$H$ が $m$ 次、$K$ が $p$ 次の Hadamard 行列なら、$H\otimes K$ は $mp$ 次の Hadamard 行列である。とくに、すべての $k\ge0$ について $2^k$ 次の Hadamard 行列が存在する。

$H\otimes K$ の成分は $h_{ij}k_{st}$ の形なので $\pm1$ である。上の 2 つの式から
$$ (H\otimes K)(H\otimes K)^{\mathsf T}=(H\otimes K)(H^{\mathsf T}\otimes K^{\mathsf T})=(HH^{\mathsf T})\otimes(KK^{\mathsf T})=(mI_m)\otimes(pI_p)=mp\,I_{mp} $$
である。$H_2$ の $k$ 個の Kronecker 積 $H_2\otimes\cdots\otimes H_2$（$k=0$ のときは $(1)$）が $2^k$ 次の Hadamard 行列になる。$\square$

$H_{2^k}:=H_2\otimes\cdots\otimes H_2$ を Sylvester 型 の Hadamard 行列という。冒頭の $H_4$ は $H_2\otimes H_2$ である。$\{0,1,\dots,2^k-1\}$ の元を 2 進展開で $\mathbb F_2^k$ の元とみなすと、
$$ (H_{2^k})_{x,y}=(-1)^{x\cdot y}\qquad(x\cdot y=x_1y_1+\cdots+x_ky_k) $$
である。$k=1$ では $H_2$ そのもので、$H_{2^{k+1}}=H_2\otimes H_{2^k}$ の $(x_0,x),(y_0,y)$ 成分が $(-1)^{x_0y_0}(-1)^{x\cdot y}$ であることから帰納法で従う（$x_0,y_0\in\{0,1\}$ は最上位の桁）。これは群 $\mathbb F_2^k$ の上の離散 Fourier 変換の行列であり（離散Fourier変換の例「Walsh–Hadamard 変換」）、Walsh関数の値を並べた行列はこの行列の列の並べ替えである（同じ記事の命題「Walsh関数の値の行列」）。

Paley の構成

$2$ の冪でない次数、たとえば $12$ 次の Hadamard 行列は Kronecker 積からは得られない（$12=2\cdot6=3\cdot4$ だが $6$ 次と $3$ 次の Hadamard 行列はない）。Paley は有限体の平方元を使って別の系列を作った。
$q$ を奇数の素数冪とし、有限体 $\mathbb F_q$ の 平方指標 $\chi\colon\mathbb F_q\to\{0,\pm1\}$ を、$\chi(0)=0$、$a\ne0$ が平方元なら $\chi(a)=1$、非平方元なら $\chi(a)=-1$ で定める。Paleyグラフの補題「平方元の個数と積」により、平方元と非平方元は $\frac{q-1}2$ 個ずつあり、平方元の全体 $Q$ は $\mathbb F_q^\times$ の指数 $2$ の部分群で、非平方元 $n$ について $nQ$ は非平方元の全体、$n\cdot(\text{非平方元の全体})=Q$ である。ここから $\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)$ がすべての $a,b\in\mathbb F_q$ について成り立つ（どちらかが $0$ なら両辺 $0$）。また同じ補題により、$\chi(-1)=1$ と $q\equiv1\pmod4$ は同値である。

平方指標の和

$q$ を奇数の素数冪とする。

$\sum_{x\in\mathbb F_q}\chi(x)=0$ である。
$c\in\mathbb F_q^\times$ について $\sum_{x\in\mathbb F_q}\chi(x)\chi(x+c)=-1$ である。

1：$\chi$ は $\frac{q-1}2$ 個の元で $1$、$\frac{q-1}2$ 個の元で $-1$、$0$ で $0$ をとる。
2：$x=0$ の項は $0$ である。$x\ne0$ では $\chi(x)^2=1$ なので
$$ \chi(x)\chi(x+c)=\chi(x)^2\,\chi(1+cx^{-1})=\chi(1+cx^{-1}) $$
である（$x+c=x(1+cx^{-1})$ と乗法性）。$x$ が $\mathbb F_q^\times$ を動くと $cx^{-1}$ も $\mathbb F_q^\times$ を 1 回ずつ動き、$y=1+cx^{-1}$ は $\mathbb F_q\setminus\{1\}$ を 1 回ずつ動く。よって 1 から和は $\sum_{y\ne1}\chi(y)=0-\chi(1)=-1$ である。$\square$

$\mathbb F_q$ の元で行と列を番号づけた $q$ 次行列 $W:=(\chi(x-y))_{x,y\in\mathbb F_q}$ を Jacobsthal 行列 という。対角成分は $0$、ほかの成分は $\pm1$ である。lem-hm-chi の 1 から各行・各列の和は $0$、すなわち $W\mathbf 1=0$、$\mathbf 1^{\mathsf T}W=0$ である。$x\ne x'$ について第 $x$ 行と第 $x'$ 行の内積は、$u=x-y$ とおくと $\sum_u\chi(u)\chi(u+(x'-x))=-1$ であり、各行の長さの 2 乗は $q-1$ である。よって
$$ WW^{\mathsf T}=qI-J $$
である。さらに $\chi(y-x)=\chi(-1)\chi(x-y)$ から、$W^{\mathsf T}=\chi(-1)W$ である。

Paley の第 1 構成

$q\equiv3\pmod4$ を素数冪とし、$q+1$ 次の行列
$$ S:=\begin{pmatrix}0&\mathbf 1^{\mathsf T}\\-\mathbf 1&W\end{pmatrix} $$
をおく。このとき $S^{\mathsf T}=-S$、$SS^{\mathsf T}=qI$ であり、$I+S$ は $q+1$ 次の Hadamard 行列である。

$q\equiv3\pmod4$ なので $\chi(-1)=-1$、すなわち $W^{\mathsf T}=-W$ であり、$S^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}0&-\mathbf 1^{\mathsf T}\\\mathbf 1&W^{\mathsf T}\end{pmatrix}=-S$ である。区分けごとに計算すると
$$ SS^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}\mathbf 1^{\mathsf T}\mathbf 1&\mathbf 1^{\mathsf T}W^{\mathsf T}\\W\mathbf 1&\mathbf 1\mathbf 1^{\mathsf T}+WW^{\mathsf T}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q&0\\0&J+qI-J\end{pmatrix}=qI $$
である（$W\mathbf 1=0$、$\mathbf 1^{\mathsf T}W^{\mathsf T}=(W\mathbf 1)^{\mathsf T}=0$）。$S$ の対角成分は $0$、ほかの成分は $\pm1$ なので、$I+S$ の成分はすべて $\pm1$ である。$S^{\mathsf T}=-S$ より
$$ (I+S)(I+S)^{\mathsf T}=(I+S)(I-S)=I-S^2=I+SS^{\mathsf T}=(q+1)I $$
である。$\square$

Paley の第 2 構成

$q\equiv1\pmod4$ を素数冪とし、$q+1$ 次の行列
$$ S:=\begin{pmatrix}0&\mathbf 1^{\mathsf T}\\\mathbf 1&W\end{pmatrix} $$
をおく。このとき $S$ は対称で $S^2=qI$ であり、
$$ H:=\begin{pmatrix}S+I&S-I\\S-I&-S-I\end{pmatrix} $$
は $2(q+1)$ 次の Hadamard 行列である。

$q\equiv1\pmod4$ なので $W^{\mathsf T}=W$ で、$S$ は対称である。prf-hm-paley1 と同じ計算（$-\mathbf 1$ が $\mathbf 1$ に替わるだけ）で $S^2=SS^{\mathsf T}=qI$ となる。$S\pm I$ の成分は $\pm1$ なので $H$ の成分も $\pm1$ である。$H$ は対称で、$S$ と $I$ は可換なので、区分けごとに
$$ \begin{aligned} (S+I)^2+(S-I)^2&=2S^2+2I=2(q+1)I,\\ (S+I)(S-I)+(S-I)(-S-I)&=(S^2-I)-(S^2-I)=0 \end{aligned} $$
であり、右下の区画も $(S-I)^2+(S+I)^2=2(q+1)I$ である。よって $HH^{\mathsf T}=H^2=2(q+1)I$ である。$\square$

$S$ のように、$n$ 次正方行列で対角成分が $0$、ほかの成分が $\pm1$ で $SS^{\mathsf T}=(n-1)I$ をみたすものを 会議行列（conference matrix）という。2 つの定理は、交代な会議行列 $S$ から $I+S$、対称な会議行列 $S$ から $H$ という Hadamard 行列が作れることを示している（BH11 §10.4, pp. 156–157、§10.5.1, p. 158）。BH11 は第 1 構成の会議行列の第 1 列を $\mathbf 1$ としているが、上では交代になるよう $-\mathbf 1$ にとった。

構成で得られる次数

第 1 構成：$q=3,7,11,19,23,27,31,43,47$ から次数 $4,8,12,20,24,28,32,44,48$ が得られる。$q=11$ の $12$ 次は Kronecker 積からは得られない最初の次数である。
第 2 構成：$q=5,9,13,17,25$ から次数 $12,20,28,36,52$ が得られる。$36$ と $52$ は第 1 構成では得られない（$35=5\cdot7$、$51=3\cdot17$ は素数冪でない）。
構成と積の限界：次数 $92=4\cdot23$ はどれからも得られない。第 1 構成には $91=7\cdot13$、第 2 構成には $45=3^2\cdot5$ が素数冪であることが必要で、どちらも素数冪でない。Kronecker 積の因子は $92=2\cdot46=4\cdot23$ のどちらかの分け方になるが、thm-hm-order により $46$ 次と $23$ 次の Hadamard 行列はない。この次数を得るには、ここで述べない別の構成が要る。

デザインとの対応

正規化された Hadamard 行列から第 1 行と第 1 列を除いた $n-1$ 次行列を核（core）という。核は対称な 2-デザインの接続行列と対応する。ここで 2-$(v,k,\lambda)$ デザインは Steiner系の注意「$t$-デザイン」の意味で、$v$ 点の集合の $k$ 元部分集合の族（ブロック）であって、相異なる 2 点がちょうど $\lambda$ 個のブロックに含まれるものである。点を行、ブロックを列とし、点がブロックに属するとき $1$、そうでないとき $0$ とした行列を接続行列という。

Hadamard 行列と対称デザイン

$n=4m$（$m\ge2$）とする。

$H$ を正規化された $n$ 次 Hadamard 行列、$C$ をその核とすると、$N:=\frac12(C+J)$ は 2-$(4m-1,\,2m-1,\,m-1)$ デザインの接続行列である。ブロックの個数は点の個数 $4m-1$ に等しい。
逆に $N$ が 2-$(4m-1,\,2m-1,\,m-1)$ デザインの接続行列なら、$N$ は $4m-1$ 次正方行列で、$C:=2N-J$ は正規化された $n$ 次 Hadamard 行列の核である。

内積を成分の個数に読み替える

要点：$H=\begin{pmatrix}1&\mathbf 1^{\mathsf T}\\\mathbf 1&C\end{pmatrix}$ と書くと、$HH^{\mathsf T}=nI$ は $C\mathbf 1=-\mathbf 1$ と $CC^{\mathsf T}=nI-J$ の 2 つの式と同値であり、$N=\frac12(C+J)$ に書き直すと $N\mathbf 1=(2m-1)\mathbf 1$ と $NN^{\mathsf T}=mI+(m-1)J$ になる。後者が 2-デザインの条件である。

詳しい証明を開く

1：$HH^{\mathsf T}=nI$ の区画を比べると、第 $1$ 行と第 $i+1$ 行の直交から $1+(C\mathbf 1)_i=0$、すなわち $C\mathbf 1=-\mathbf 1$ であり、右下の区画から $J+CC^{\mathsf T}=nI$、すなわち $CC^{\mathsf T}=nI-J$ である。prop-hm-transpose により $H^{\mathsf T}$ も Hadamard 行列なので、同じく $C^{\mathsf T}\mathbf 1=-\mathbf 1$ である。$C$ の成分は $\pm1$ なので $N$ の成分は $0,1$ である。$CJ=-J$、$JC^{\mathsf T}=(CJ)^{\mathsf T}=-J$、$J^2=(n-1)J$ を使うと、$N\mathbf 1=\tfrac12(-\mathbf 1+(n-1)\mathbf 1)=(2m-1)\mathbf 1$、$\mathbf 1^{\mathsf T}N=(2m-1)\mathbf 1^{\mathsf T}$、$NN^{\mathsf T}=\tfrac14(CC^{\mathsf T}+CJ+JC^{\mathsf T}+J^2)=\tfrac14(nI-3J+(n-1)J)=mI+(m-1)J$ である。行を点、列をブロックとみると、各ブロック（列）の点の個数は $2m-1$、$NN^{\mathsf T}$ の $(p,p')$ 成分（$p\ne p'$）は $p,p'$ をともに含むブロックの個数で $m-1$ である。よって $N$ は 2-$(4m-1,2m-1,m-1)$ デザインの接続行列で、列の個数は $4m-1$ である。

2：$v=4m-1$、$k=2m-1$、$\lambda=m-1$ とする。Steiner系の定理「Fisher の不等式」の証明のはじめと同じく、点 $p$ と $q\ne p$ と $p,q$ を含むブロックの組を 2 通りに数えると、各点を含むブロックの個数 $r$ は $r(k-1)=\lambda(v-1)$ をみたし、$r=\frac{(m-1)(4m-2)}{2m-2}=2m-1$ である（$m\ge2$）。組（点、それを含むブロック）を数えると $bk=vr$ なので、ブロックの個数 $b$ は $v$ に等しい。よって $N$ は $v$ 次正方行列で、$N\mathbf 1=r\mathbf 1$、$NN^{\mathsf T}=(r-\lambda)I+\lambda J=mI+(m-1)J$ をみたす。$C=2N-J$ の成分は $\pm1$ で、$NJ=JN^{\mathsf T}=(2m-1)J$ から $C\mathbf 1=2(2m-1)\mathbf 1-(4m-1)\mathbf 1=-\mathbf 1$、$CC^{\mathsf T}=4NN^{\mathsf T}-2NJ-2JN^{\mathsf T}+J^2=4mI+(4(m-1)-4(2m-1)+(4m-1))J=4mI-J$ である。よって $H:=\begin{pmatrix}1&\mathbf 1^{\mathsf T}\\\mathbf 1&C\end{pmatrix}$ について、第 1 行の長さの 2 乗は $4m$、第 1 行と第 $i+1$ 行の内積は $1+(C\mathbf 1)_i=0$、第 $i+1$ 行と第 $j+1$ 行の内積は $1+(CC^{\mathsf T})_{ij}=1+4m\delta_{ij}-1=4m\delta_{ij}$ であり、$HH^{\mathsf T}=4mI$ となる。$H$ は正規化されていて、核は $C$ である。$\square$

ブロックの個数と点の個数が等しいデザインを 対称デザイン といい、2-$(4m-1,2m-1,m-1)$ デザインを Hadamard デザイン という。thm-hm-design により、$4m$ 次の Hadamard 行列が存在することと、Hadamard デザイン 2-$(4m-1,2m-1,m-1)$ が存在することは同値である（BH11 §10.5, p. 157）。

Paley 型から Fano 平面へ

$q=7$ の第 1 構成 $I+S$ は第 1 行が $\mathbf 1^{\mathsf T}$、第 1 列が $(1,-1,\dots,-1)^{\mathsf T}$ である。第 2 行以下に $-1$ をかけると正規化され、核は $C=-(I+W)$ になる。$N=\frac12(C+J)$ の $(x,y)$ 成分は $1-\delta_{xy}-\chi(x-y)=2$ のとき、すなわち $x\ne y$ かつ $\chi(x-y)=-1$ のとき $1$ である。$q\equiv3\pmod4$ なので $\chi(x-y)=-1$ は $\chi(y-x)=1$ と同値であり、第 $x$ 行の $1$ の位置は $x+Q$ である。$\mathbb F_7$ の平方元は $Q=\{1,2,4\}$ である。thm-hm-design の $m=2$ の場合で、列 $y$ が表すブロックは $\{x\mid y-x\in Q\}=y-Q=y+\{3,5,6\}$ であり、2-$(7,3,1)$ デザイン、すなわち $S(2,3,7)$ が得られる。正規化された $H^{\mathsf T}$ の核は $C^{\mathsf T}$ なので、同じ定理を $H^{\mathsf T}$ に当てると、$N^{\mathsf T}$ の列、すなわち $N$ の行が表す集合
$$ \{1,2,4\},\{2,3,5\},\{3,4,6\},\{4,5,0\},\{5,6,1\},\{6,0,2\},\{0,1,3\} $$
も 2-$(7,3,1)$ デザインをなす。これは Steiner系の例「Fano 平面」の $S(2,3,7)$（$7$ を $0$ と読む）、すなわち Fano平面である。

条件を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
thm-hm-det の $\lvert a_{ij}\rvert\le1$	$A=2I_2$	上界：$\det A=4>2^{2/2}=2$
def-hm-main の成分が実数の $\pm1$（絶対値 $1$ の複素数に広げ、$HH^{\mathsf T}$ を $HH^{*}$ にする）	$3$ 次の離散 Fourier 変換の行列 $(\omega^{ab})_{a,b=0,1,2}$、$\omega=e^{2\pi i/3}$	thm-hm-order：$HH^{*}=3I$ だが $3$ は $1,2$ でも $4$ の倍数でもない
thm-hm-paley1 の $q\equiv3\pmod4$（$q=5$ にする）	$q=5$ の $S=\begin{pmatrix}0&\mathbf 1^{\mathsf T}\\-\mathbf 1&W\end{pmatrix}$ と $I+S$	$W^{\mathsf T}=W$ で $S$ は交代でなく、$I+S$ は Hadamard 行列でない（下の計算）
thm-hm-kron の「$K$ が Hadamard 行列」（行の直交を外す）	$H_2\otimes J_2$（$J_2$ は成分がすべて $1$ の 2 次行列）	結論：第 1 行と第 2 行がともに $(1,1,1,1)$ で直交しない

3 行目の計算を開く

$q=5$ の $I+S$ の第 $x+2$ 行（$x\in\mathbb F_5$）は $(-1,\,\delta_{x,\cdot}+\chi(x-\cdot))$ である。第 $x+2$ 行と第 $x'+2$ 行（$x\ne x'$）の内積は $1+\sum_y(\delta_{xy}+\chi(x-y))(\delta_{x'y}+\chi(x'-y))=1+\chi(x'-x)+\chi(x-x')+(-1)=2\chi(x-x')$ で（lem-hm-chi の 2 と $\chi(-1)=1$）、$0$ にならない。