Cauchyの積分公式

$\gamma^*$ は コンパクト空間 だから $\mathbb{C}\setminus\gamma^*$ は開集合である。$z_0\in\mathbb{C}\setminus\gamma^*$ を固定し、$\delta>0$ を $\gamma^*$ の各点と $z_0$ の距離が $\delta$ 以上となるようにとる。以下 $|z-z_0|<\delta/2$ とし、このとき $\zeta\in\gamma^*$ に対し $|\zeta-z|\geq\delta/2$ である。$\gamma^*$ 上の連続関数 $\psi(\zeta):=\varphi(\zeta)/(\zeta-z_0)$ をとり、$\varphi$ を $\psi$ に置き換えた積分を $F_n^\psi$ と書く。恒等式
$$\frac{1}{(\zeta-z)^n}-\frac{1}{(\zeta-z_0)^n}=\frac{z-z_0}{(\zeta-z)^n(\zeta-z_0)}+\frac{1}{\zeta-z_0}\Bigl(\frac{1}{(\zeta-z)^{n-1}}-\frac{1}{(\zeta-z_0)^{n-1}}\Bigr)$$
（右辺を通分すれば確かめられる。$n=1$ のときは第 2 項は $0$）に $\varphi(\zeta)$ を掛けて $\gamma$ に沿って積分すると
$$F_n(z)-F_n(z_0)=(z-z_0)F_n^\psi(z)+\bigl(F_{n-1}^\psi(z)-F_{n-1}^\psi(z_0)\bigr)\qquad(\ast)$$
を得る（$n=1$ のときは第 2 項を $0$ と読む）。
まず、すべての $n\geq1$ とすべての連続な $\varphi$ について $F_n$ が $\mathbb{C}\setminus\gamma^*$ 上で連続であることを $n$ についての帰納法で示す。$(\ast)$ の第 1 項は、$|\varphi|\leq M$ とすると Cauchyの積分定理 の記事の命題（複素線積分の基本性質）の評価により絶対値が $|z-z_0|\cdot M(2/\delta)^n(2/\delta)L(\gamma)$ 以下なので $z\to z_0$ のとき $0$ に収束する。第 2 項は $n=1$ なら $0$、$n\geq2$ なら帰納法の仮定（$\psi$ に対する $F_{n-1}^\psi$ の連続性）により $0$ に収束する。ゆえに $F_n$ は $z_0$ で連続である。
次に微分可能性を示す。$(\ast)$ を $z-z_0$ で割ると
$$\frac{F_n(z)-F_n(z_0)}{z-z_0}=F_n^\psi(z)+\frac{F_{n-1}^\psi(z)-F_{n-1}^\psi(z_0)}{z-z_0}$$
である。$z\to z_0$ のとき、第 1 項は前段の連続性により $F_n^\psi(z_0)=\int_\gamma\varphi(\zeta)(\zeta-z_0)^{-n-1}d\zeta=F_{n+1}(z_0)$ に収束する。第 2 項は $n=1$ なら $0$、$n\geq2$ なら $n$ についての帰納法の仮定（$\psi$ に対する $F_{n-1}^\psi$ の微分可能性）により $(n-1)F_n^\psi(z_0)=(n-1)F_{n+1}(z_0)$ に収束する。合わせて $F_n'(z_0)=nF_{n+1}(z_0)$ である。

1. $\gamma\colon[\alpha,\beta]\to\mathbb{C}$ とし、$h(t):=\int_\alpha^t\dfrac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-a}\,ds$ とおく。$h$ は連続で、$\gamma$ が $C^1$ 級である各小区間の内部で微分可能、$h'(t)=\gamma'(t)/(\gamma(t)-a)$ である。そこで $\Phi(t):=(\gamma(t)-a)e^{-h(t)}$ とおくと、各小区間の内部で $\Phi'(t)=\gamma'(t)e^{-h(t)}-(\gamma(t)-a)h'(t)e^{-h(t)}=0$ である。$\Phi$ は $[\alpha,\beta]$ 上で連続だから、各小区間で定数、したがって全体で定数であり（実部・虚部に実変数の 平均値の定理 を用いる）、$\Phi(\beta)=\Phi(\alpha)$ すなわち $(\gamma(\beta)-a)e^{-h(\beta)}=\gamma(\alpha)-a$ である。$\gamma(\beta)=\gamma(\alpha)\neq a$ より $e^{h(\beta)}=1$ であり、$h(\beta)=2\pi i\,n(\gamma,a)$ は $2\pi i\mathbb{Z}$ に属する。
2. lem-cauchy-integral-formula-differentiation（$\varphi=1$、$n=1$）により $a\mapsto n(\gamma,a)$ は $\mathbb{C}\setminus\gamma^*$ 上で連続である。整数値の連続関数は各連結成分上で定数である。$\gamma^*$ は有界だから $|a|>\sup_{\gamma^*}|z|=:\rho$ の点はすべて 1 つの連結成分（有界でない成分）に属し、そこで $|n(\gamma,a)|\leq\dfrac{1}{2\pi}\cdot\dfrac{L(\gamma)}{|a|-\rho}\to0$（$|a|\to\infty$）なので、この成分上で $n(\gamma,a)=0$ である。
3. 中心 $a=c$ では $\oint dz/(z-c)=2\pi i$（Cauchyの積分定理 の記事の例（円周に沿う冪の積分））なので $n(\gamma,c)=1$ である。開円板 $|a-c|< r$ は連結で $\gamma^*$ と交わらないので、2 により $n(\gamma,a)=1$ がその全体で成り立つ。$|a-c|>r$ の点は有界でない成分に属するので $n(\gamma,a)=0$ である。

閉円板は コンパクト空間 で $U$ の補集合（閉集合）と交わらないので、両者の距離は正であり、$R>r$ を $B(c,R):=\{|z-c|< R\}\subset U$ となるようにとれる。$B(c,R)$ 上の関数 $g$ を
$$g(\zeta):=\frac{f(\zeta)-f(a)}{\zeta-a}\quad(\zeta\neq a),\qquad g(a):=f'(a)$$
で定めると、$g$ は $B(c,R)\setminus\{a\}$ 上で正則（正則関数 の記事の命題（正則関数の四則と合成））であり、$f$ が $a$ で複素微分可能であることから $a$ で連続である。したがって Cauchyの積分定理 の記事の定理（円板に対する Cauchy の積分定理）（例外点 $a$ を許す形）により $\oint_{|\zeta-c|=r}g(\zeta)\,d\zeta=0$ である。円周上では $\zeta\neq a$ なので
$$0=\oint_{|\zeta-c|=r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\,d\zeta-f(a)\oint_{|\zeta-c|=r}\frac{d\zeta}{\zeta-a}=\oint_{|\zeta-c|=r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-a}\,d\zeta-2\pi i\,f(a)$$
である。最後の等号は prop-cauchy-integral-formula-winding-number の 3 による。

$\gamma$ を円周 $|\zeta-c|=r$、$\varphi:=f|_{\gamma^*}$ とし、lem-cauchy-integral-formula-differentiation の $F_n$ を考える。thm-cauchy-integral-formula-disc により開円板 $B(c,r)$ 上で $f=F_1/(2\pi i)$ である。補題により $F_1$ は $B(c,r)$ 上で何回でも微分可能で、$F_1'=F_2$、$F_2'=2F_3$、…、帰納的に $F_1^{(n)}=n!\,F_{n+1}$ である。ゆえに $B(c,r)$ 上で $f^{(n)}=n!\,F_{n+1}/(2\pi i)$ であり、これが主張の公式である。$U$ の各点は $U$ に含まれる閉円板の内部の点だから、$f$ は $U$ 上で何回でも微分可能であり、$f^{(n)}$ は微分可能ゆえ正則である。

thm-cauchy-integral-formula-derivatives の公式（$c=a$）において、円周上で被積分関数の絶対値は $M/r^{n+1}$ 以下、円周の長さは $2\pi r$ だから、Cauchyの積分定理 の記事の命題（複素線積分の基本性質）の評価により $|f^{(n)}(a)|\leq\dfrac{n!}{2\pi}\cdot\dfrac{M}{r^{n+1}}\cdot2\pi r=\dfrac{n!\,M}{r^n}$ である。

thm-cauchy-integral-formula-disc（$c=a$）に $\zeta=a+re^{i\theta}$、$d\zeta=ire^{i\theta}d\theta$ を代入すると $f(a)=\dfrac{1}{2\pi i}\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{f(a+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}\,ire^{i\theta}\,d\theta=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(a+re^{i\theta})\,d\theta$ である。不等式は積分の絶対値の評価による。

$z\in U\setminus\gamma^*$ を固定し、$U$ 上の関数 $g$ を $g(\zeta):=(f(\zeta)-f(z))/(\zeta-z)$（$\zeta\neq z$）、$g(z):=f'(z)$ で定める。$g$ は $U\setminus\{z\}$ 上で正則である。$z$ の近傍では、$f$ の $z$ を中心とする冪級数展開 $f(\zeta)=\sum_{k\geq0}a_k(\zeta-z)^k$（Taylor展開(複素解析) の記事の定理（正則関数の冪級数展開）。証明には thm-cauchy-integral-formula-disc だけを使う）により $g(\zeta)=\sum_{k\geq1}a_k(\zeta-z)^{k-1}$ であり、右辺は同じ収束半径を持つ冪級数なので、$g$ は $z$ の近傍でも正則である（正則関数 の記事の定理（冪級数の正則性））。ゆえに $g$ は $U$ 上の正則関数であり、Cauchyの積分定理 の記事の定理（単連結領域に対する Cauchy の積分定理）により $\oint_\gamma g\,d\zeta=0$ である。$\gamma^*$ 上では $\zeta\neq z$ だから、これは
$$\oint_\gamma\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta=f(z)\oint_\gamma\frac{d\zeta}{\zeta-z}=2\pi i\,n(\gamma,z)\,f(z)$$
を意味する。$\square$

正則性は局所的な性質だから、$U$ に含まれる開円板 $B$ 上で $f$ が正則であることを示せばよい。$B$ は凸なので、$B$ の中心 $a$ に関して星型であり、$a$ を頂点とし $B$ に含まれる三角形について仮定が使える。Cauchyの積分定理 の記事の補題（三角形条件からの原始関数）により、$F(z):=\int_{[a,z]}f\,d\zeta$ は $B$ 上の正則関数で $F'=f$ である。thm-cauchy-integral-formula-derivatives により正則関数の導関数は正則だから、$f=F'$ は $B$ 上で正則である。

連続関数の一様極限は連続だから$f$ は連続である。$U$ に含まれる開円板 $B$ をとり、その中の三角形 $\Delta$ を考える。$\partial\Delta$ は コンパクト空間 なので、局所一様収束から $\partial\Delta$ 上で $f_k\to f$ は一様であり（有限個の近傍で覆う）、Cauchyの積分定理 の記事の命題（複素線積分の基本性質）の一様収束との交換により $\oint_{\partial\Delta}f\,dz=\lim_k\oint_{\partial\Delta}f_k\,dz=0$ である（各 $f_k$ について Cauchyの積分定理 の記事の定理（Goursat の定理）を用いた）。ゆえに thm-cauchy-integral-formula-morera により $f$ は $B$ 上、したがって $U$ 上で正則である。
導関数の収束を示す。$a\in U$ に対し閉円板 $\{|z-a|\leq r\}\subset U$ をとり、その上で $f_k\to f$ が一様であるように $r$ を小さくとる（円板はコンパクトなので前段と同じ理由でできる）。$|z-a|< r/2$ なる $z$ に対し、thm-cauchy-integral-formula-derivatives を $f_k-f$ に用いると、円周 $|\zeta-a|=r$ 上で $|\zeta-z|\geq r/2$ だから
$$|f_k^{(n)}(z)-f^{(n)}(z)|=\Bigl|\frac{n!}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=r}\frac{f_k(\zeta)-f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\,d\zeta\Bigr|\leq\frac{n!}{2\pi}\cdot\frac{\sup_{|\zeta-a|=r}|f_k-f|}{(r/2)^{n+1}}\cdot2\pi r=\frac{2^{n+1}n!}{r^n}\sup_{|\zeta-a|=r}|f_k-f|$$
であり、右辺は $z$ によらず $k\to\infty$ で $0$ に収束する。ゆえに $f_k^{(n)}\to f^{(n)}$ は $B(a,r/2)$ 上で一様である。