特性部分群

$f\in\mathrm{Aut}(G)$ とする。$f^{-1}$ も自己同型なので仮定より $f^{-1}(H)\subset H$ であり、両辺に $f$ を施すと $H=f(f^{-1}(H))\subset f(H)$ を得る。仮定の $f(H)\subset H$ と合わせて $f(H)=H$。$\square$

$g\in G$ とする。$c_g(xy)=gxyg^{-1}=(gxg^{-1})(gyg^{-1})=c_g(x)c_g(y)$ なので $c_g$ は準同型であり、$c_{g^{-1}}$ が逆写像を与える（$c_{g^{-1}}(c_g(x))=g^{-1}gxg^{-1}g=x$、逆も同様）ので全単射である。よって $c_g\in\mathrm{Aut}(G)$ であり、$H$ が特性部分群なら $gHg^{-1}=c_g(H)=H$。$g$ は任意なので $H$ は正規部分群である。$\square$

1. $f\in\mathrm{Aut}(G)$ とする。$f(K)=K$ なので、$f$ の $K$ への制限 $f|_K\colon K\to K$ が定まる。これは準同型であり、$f$ が単射なので単射、$f(K)=K$ なので全射である。よって $f|_K\in\mathrm{Aut}(K)$ であり、$H$ が $K$ の特性部分群なので $f(H)=f|_K(H)=H$。
2. $g\in G$ とする。$K$ が正規部分群なので $c_g(K)=gKg^{-1}=K$ であり、1 と同じ議論で $c_g|_K\in\mathrm{Aut}(K)$。$H$ が $K$ の特性部分群なので $gHg^{-1}=c_g|_K(H)=H$。よって $H$ は $G$ の正規部分群である。$\square$

$Z(G)$ は部分群である（$e\in Z(G)$、$z,w\in Z(G)$ なら $zwg=zgw=gzw$、$z^{-1}g=(g^{-1}z)^{-1}=(zg^{-1})^{-1}=gz^{-1}$）。$f\in\mathrm{Aut}(G)$、$z\in Z(G)$、$g\in G$ とする。$f$ は全射なので $g=f(g')$ となる $g'\in G$ がとれ、
$$ f(z)g=f(z)f(g')=f(zg')=f(g'z)=f(g')f(z)=gf(z) $$
となる。よって $f(z)\in Z(G)$、すなわち $f(Z(G))\subset Z(G)$ であり、lem-characteristic-subgroup-half により $Z(G)$ は特性部分群である。$\square$

$[G,G]$ は交換子の有限個の積全体であり、$e=[e,e]$ を含み、積で閉じ、$[x,y]^{-1}=yxy^{-1}x^{-1}=[y,x]$ により逆元でも閉じるので部分群である。$f\in\mathrm{Aut}(G)$ に対し $f([x,y])=f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1}=[f(x),f(y)]$ なので、交換子の積 $[x_1,y_1]\cdots[x_r,y_r]$ の像 $[f(x_1),f(y_1)]\cdots[f(x_r),f(y_r)]$ はまた交換子の積である。よって $f([G,G])\subset[G,G]$ であり、lem-characteristic-subgroup-half により $[G,G]$ は特性部分群である。$\square$

$f\in\mathrm{Aut}(G)$ とする。準同型による部分群の像は部分群なので $f(H)$ は $G$ の部分群であり、$f$ が単射なので $|f(H)|=|H|=n$ である。位数 $n$ の部分群は $H$ だけなので $f(H)=H$。$\square$

$(1\,2\,3)^2=(1\,3\,2)$、$(1\,2\,3)^3=e$ なので $A_3=\{(1\,2\,3)^k\mid k=0,1,2\}$ は部分群で、位数は $3$ である。$K$ を $S_3$ の位数 $3$ の部分群とする。Lagrange の定理により $K$ の単位元でない元の位数は $3$ の約数で $1$ でないから $3$ であり、$S_3$ の位数 $3$ の元は $(1\,2\,3)$ と $(1\,3\,2)$ の二つだけ（互換 $(1\,2),(1\,3),(2\,3)$ の位数は $2$）である。よって $K$ の単位元でない元は $(1\,2\,3)$ または $(1\,3\,2)$ であり、$K$ は部分群なのでその冪をすべて含み、$K\supset A_3$。位数を比べて $K=A_3$。lem-characteristic-subgroup-unique-order により $A_3$ は特性部分群である。$\square$

$f\in\mathrm{Aut}(G)$ とする。$P\in\mathrm{Syl}_p(G)$ なら $f(P)$ は位数 $|P|=p^a$ の部分群なので $f(P)\in\mathrm{Syl}_p(G)$ であり、$f^{-1}$ についても同じだから、$P\mapsto f(P)$ は $\mathrm{Syl}_p(G)$ から自身への全単射である。$f$ は単射なので部分集合の共通部分を保ち、
$$ f(O_p(G))=\bigcap_{P\in\mathrm{Syl}_p(G)}f(P)=\bigcap_{Q\in\mathrm{Syl}_p(G)}Q=O_p(G) $$
となる。部分群の共通部分は部分群なので $O_p(G)$ は特性部分群である。$\square$

$K$ は正規部分群（prop-characteristic-subgroup-normal）なので、$h\in H$、$k\in K$ に対し $hk=(hkh^{-1})h\in KH$、$kh=h(h^{-1}kh)\in HK$ であり $HK=KH$。よって $(hk)(h'k')=h(kh')k'\in h(KH)k'=h(HK)k'\subset HK$、$(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}\in KH=HK$ で、$e=ee\in HK$ だから $HK$ は部分群である。$f\in\mathrm{Aut}(G)$ とすると、$f$ が単射なので $f(H\cap K)=f(H)\cap f(K)=H\cap K$、また $f(HK)=\{f(h)f(k)\}=f(H)f(K)=HK$。$\square$