C^r多様体

1. 座標近傍 $(U,\varphi)$、$(V,\psi)$ について、$\varphi(U\cap V)$ と $\psi(U\cap V)$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合で、$\psi\circ\varphi^{-1}$ は同相写像の合成なので連続、すなわち $C^0$ 級である。よって任意のアトラスは $C^0$ アトラスであり、任意の座標近傍は任意のアトラスと $C^0$ 級で両立する。ゆえにどのアトラス $\mathcal{A}$ についても $\mathcal{M}_0(\mathcal{A})$ はすべての座標近傍の集合であり、$C^0$ 構造はこれ 1 つである。
2. def-crm-maps は $f$ の連続性を前提にしているので、$C^0$ 級なら連続である。逆に $f$ が連続なら、任意の座標近傍について局所表示 $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ は開集合 $\varphi(U\cap f^{-1}(V))$ 上の連続写像の合成なので $C^0$ 級である。後半は、$C^0$ 微分同相写像が「$f$ と $f^{-1}$ がともに連続な全単射」であることからわかる。$\square$

1. 座標変換は $C^r$ 級なので $C^s$ 級である。$(U,\varphi)\in\mathcal{M}_r(\mathcal{A})$ なら $\mathcal{A}\cup\{(U,\varphi)\}$ は $C^r$ アトラス、したがって $C^s$ アトラスなので $(U,\varphi)\in\mathcal{M}_s(\mathcal{A})$ である。
2. $\mathcal{M}_r(\mathcal{A})=\mathcal{M}_r(\mathcal{B})$ なら、可微分多様体の記事の命題「極大アトラスの存在と一意性」の 3 により $\mathcal{A}\cup\mathcal{B}$ は $C^r$ アトラスであり、1 により $C^s$ アトラスである。同じ命題を $C^s$ について使えば $\mathcal{M}_s(\mathcal{A})=\mathcal{M}_s(\mathcal{B})$ である。$\mathcal{S}=\mathcal{M}_r(\mathcal{A})$ なら 1 により $\mathcal{S}\subset\mathcal{M}_s(\mathcal{A})$ で、$\mathcal{S}$ は $\mathcal{A}$ を含む $C^s$ アトラスなので $\mathcal{M}_s(\mathcal{S})=\mathcal{M}_s(\mathcal{A})$ である。$\mathcal{S}$ を含む $C^s$ 構造は $\mathcal{S}$ を含む極大な $C^s$ アトラスなので、極大アトラスの一意性によりこれに限る。$s=0$ の主張は prop-crm-c0 による。
3. $C^r$ 多様体としての $C^k$ 級は $C^r$ 座標近傍（$\mathcal{S}$ の元）での局所表示で、$C^s$ 多様体としての $C^k$ 級は $C^s$ 座標近傍（$\mathcal{S}^{(s)}$ の元）での局所表示で定義される。$\mathcal{S}\subset\mathcal{S}^{(s)}$ なので、後者なら前者である。前者を仮定し、$(U',\varphi')\in\mathcal{S}^{(s)}$、$(V',\psi')\in\mathcal{S}_N^{(s)}$ とする。各点 $x\in\varphi'(U'\cap f^{-1}(V'))$ で、$p=\varphi'^{-1}(x)$ を含む $(U,\varphi)\in\mathcal{S}$ と $f(p)$ を含む $(V,\psi)\in\mathcal{S}_N$ をとると、$x$ の近傍で
   $$ \psi'\circ f\circ\varphi'^{-1}=(\psi'\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\varphi'^{-1}) $$
   であり、両端は $C^s$ 構造の中の座標変換なので $C^s$ 級、中央は仮定により $C^k$ 級である。$k\le s$ なので合成は $C^k$ 級である。$\square$

$r=0$ は最後に別に扱い、まず $r\ge1$ とする。$t_+:=\max\{t,0\}$ とおき、
$$ \psi_r(t):=t+\frac{t_+^{\,r+1}}{r+1} $$
と定める。$g(t):=t_+^{\,r}$ は $j\le r-1$ 階まで微分できて $g^{(j)}(t)=\frac{r!}{(r-j)!}\,t_+^{\,r-j}$ は連続であり、$g^{(r-1)}(t)=r!\,t_+$ は $t=0$ で右微分係数 $r!$、左微分係数 $0$ をもつので微分可能でない。したがって $g$ は $C^{r-1}$ 級だが $C^r$ 級でない。$\psi_r$ は微分可能で $\psi_r'=1+g$ なので、$\psi_r$ は $C^r$ 級だが $C^{r+1}$ 級でない。$\psi_r'(t)=1+t_+^{\,r}\ge1$ なので $\psi_r$ は狭義単調増加で、$\psi_r(t)\to\pm\infty$（$t\to\pm\infty$）より全単射であり、逆関数定理の記事の系「微分がいたるところ正則な写像」により $\psi_r$ は $C^r$ 微分同相写像である。
$\varphi_1:=\mathrm{id}$、$\varphi_2:=\psi_r$ とすると、どちらも $\mathrm{id}$ と $C^r$ 級で両立するので $\mathcal{S}$ に属する。$f:=\mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ とすると $f\circ\varphi_1^{-1}=\mathrm{id}$ は $C^\infty$ 級である。$f\circ\varphi_2^{-1}=\psi_r^{-1}$ が $C^{r+1}$ 級だとすると、その微分は消えないので、逆関数定理の記事の定理「逆関数定理」の 3 により逆写像 $\psi_r$ も $C^{r+1}$ 級になり矛盾する。
$r=0$ のとき。$\varphi_2(t):=t^3$ は $\mathbb{R}$ の同相写像なので $\mathcal{S}$（すべての座標近傍の集合、prop-crm-c0）に属する。$f\circ\varphi_2^{-1}(s)=s^{1/3}$ は $s=0$ で微分可能でないので $C^1$ 級でない。$\square$

1. $(x,v)\in\varphi(U\cap V)\times\mathbb{R}^n$ に対し $\Phi_\varphi^{-1}(x,v)=[\varphi,v]_p$（$p=\varphi^{-1}(x)$）であり、同値関係の定義から $[\varphi,v]_p=[\psi,D\tau(x)v]_p$ なので、式が成り立つ。$\tau$ は $C^r$ 級なので $D\tau$ は $C^{r-1}$ 級の行列値関数であり、$(x,v)\mapsto D\tau(x)v$ は $C^{r-1}$ 級関数と $v$ の成分との積の和なので $C^{r-1}$ 級である。$\Phi_\varphi$ は全単射で像 $\varphi(U)\times\mathbb{R}^n$ は開集合、$\Phi_\varphi(TU\cap TV)=\varphi(U\cap V)\times\mathbb{R}^n$ も開集合である。接束の記事の補題「座標の貼り合わせによる多様体の構成」の証明は、条件 3 のうち「座標変換が開集合の間の同相写像である」ことしか使わない（$C^{r-1}$ 級で $r-1\ge0$ なら満たす）。可算個の $C^r$ 座標近傍で $M$ が覆われ（位相多様体の記事の命題「多様体の基本的な位相的性質」の 4）、異なる 2 点の分離の条件も $M$ の Hausdorff 性から従うので、同じ証明により $TM$ は $2n$ 次元位相多様体になり、座標変換が $C^{r-1}$ 級なので上の族は $C^{r-1}$ アトラスである。射影の局所表示は $(x,v)\mapsto x$ で $C^\infty$ 級である。
2. $p\in U$、$f(p)\in V$ となる座標近傍について、$df$ の局所表示は $(x,v)\mapsto\bigl(F(x),DF(x)v\bigr)$、$F:=\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ であり、$F$ が $C^r$ 級なので $C^{r-1}$ 級である。
3. ex-crm-psi の $\psi$ と $\mathrm{id}$ は標準の $C^1$ 構造に属する。対応する座標変換は $(x,v)\mapsto(\psi(x),\psi'(x)v)$ であり、第 2 成分の $x$ による偏微分 $\psi''(x)v$ は $x=0$、$v\ne0$ で存在しない（$\psi'$ が $0$ で微分可能でない）ので、$C^1$ 級でない。$\square$

$f$ が $C^r$ 微分同相写像なら、$f^{-1}\circ f=\mathrm{id}$ の局所表示に連鎖律を使うと $D(\varphi\circ f^{-1}\circ\psi^{-1})\,D(\psi\circ f\circ\varphi^{-1})=I$ なので Jacobi 行列は正則である。逆に正則とする。$f^{-1}$ が $C^r$ 級であることを各点 $q=f(p)$ の近くで示せばよい。$p\in U$、$q\in V$ となる座標近傍をとり、$W:=\varphi(U\cap f^{-1}(V))$、$F:=\psi\circ f\circ\varphi^{-1}\colon W\to\mathbb{R}^n$ とおく。$F$ は $C^r$ 級、単射（$f$ が単射）で、$DF$ はいたるところ正則なので、逆関数定理の記事の系「微分がいたるところ正則な写像」の 2 により $F(W)$ は開集合で、$F^{-1}\colon F(W)\to W$ は $C^r$ 級である。$F(W)=\psi(f(U)\cap V)$ であり、$f^{-1}$ の局所表示 $\varphi\circ f^{-1}\circ\psi^{-1}$ はこの開集合の上で $F^{-1}$ に等しいので $C^r$ 級である。$\square$