Weyl代数

1：生成すること。$x^\alpha\partial^\beta$ の $R$ 線形結合の全体を $V$ とする。上の公式から $x_iV\subset V$、$\partial_iV\subset V$ なので、$V$ は生成元による左からの積で閉じており、$1\in V$ だから $V$ は文字の積をすべて含み、$V=A_n(R)$ である。
一次独立性。$E=R[t_1,\dots,t_n,s_1,\dots,s_n]$ を $2n$ 変数の多項式環とし、$X_i$ を $t_i$ を掛ける写像、$D_i=\partial/\partial t_i+s_i$（偏微分に $s_i$ を掛ける写像を足したもの）とおく。$D_i$ と $D_j$ は可換であり（偏微分どうし、$s$ の掛け算どうしは可換で、$s_j$ を掛ける写像は $\partial/\partial t_i$ と可換）、
$$ [D_i,X_j]f=\frac{\partial(t_jf)}{\partial t_i}+s_it_jf-t_j\frac{\partial f}{\partial t_i}-t_js_if=\delta_{ij}f $$
である。普遍性から $R$ 代数の準同型 $\rho\colon A_n(R)\to\operatorname{End}_R(E)$、$x_i\mapsto X_i$、$\partial_i\mapsto D_i$ が得られる。$s$ だけの多項式は $\partial/\partial t_i$ で $0$ になるので $D_i(s^\gamma)=s^{\gamma+e_i}$ であり、$\rho(x^\alpha\partial^\beta)(1)=t^\alpha s^\beta$ となる。単項式 $t^\alpha s^\beta$ は $E$ の基底の相異なる元なので、$\sum c_{\alpha\beta}x^\alpha\partial^\beta=0$ なら $\sum c_{\alpha\beta}t^\alpha s^\beta=0$、すなわちすべての $c_{\alpha\beta}=0$ である。
2：$P=\sum c_{\alpha\beta}x^\alpha\partial^\beta\ne0$ で $\theta(P)=0$ とする。$c_{\alpha\beta}\ne0$ となる $\beta$ のうち $\lvert\beta\rvert$ が最小のもの $\beta_0$ をとる。$\partial^\beta t^{\beta_0}$ は、$\beta_i\le(\beta_0)_i$ がすべての $i$ で成り立たない限り $0$ であり、そうでない $\beta\ne\beta_0$ は $\lvert\beta\rvert<\lvert\beta_0\rvert$ なので現れない。よって $0=\theta(P)(t^{\beta_0})=\beta_0!\sum_\alpha c_{\alpha\beta_0}t^\alpha$ であり、$\beta_0!$ は $R$ の単元なので $c_{\alpha\beta_0}=0$ となって矛盾する。標数 $p$ の場合、1 により $\partial_i^p\ne0$ である。一方 $(\partial/\partial t_i)^pt_i^a=a(a-1)\cdots(a-p+1)t_i^{a-p}$ の係数は連続する $p$ 個の整数の積で $p$ の倍数だから、$\theta(\partial_i^p)=0$ である。$\square$

1：$I$ について $A_n(R)I\cap R=I$ は、$x^0\partial^0=1$ の係数を見ればわかる。逆に $J$ を両側イデアル、$I=J\cap R$ とし、$J=A_n(R)I$ を示す。$\supset$ は $I\subset J$ から明らかなので、$P\in J$ の係数がすべて $I$ に入ることを、$P$ の $0$ でない係数の個数についての帰納法で示す。$P\ne0$ とし、$c_{\alpha\beta}\ne0$ となる $\beta$ の中で、成分ごとの順序（すべての $i$ で $\beta_i\le\beta'_i$ のとき $\beta\le\beta'$）について極大なもの $\beta^*$ をとる。
$\delta_i(Q)=[Q,x_i]$ とおくと、冒頭の公式により $\delta_i^{\,b}(x^\alpha\partial^\beta)$ は、$b\le\beta_i$ なら $\frac{\beta_i!}{(\beta_i-b)!}x^\alpha\partial^{\beta-be_i}$、$b>\beta_i$ なら $0$ である。$J$ は両側イデアルなので $\delta_i(J)\subset J$ であり、$\delta=\delta_1^{\beta^*_1}\circ\cdots\circ\delta_n^{\beta^*_n}$ を $P$ に当てると、$\beta\ge\beta^*$ でない項は消え、$\beta^*$ の極大性から $\beta\ge\beta^*$ となる $\beta$ は $\beta^*$ だけなので、
$$ \delta(P)=\beta^*!\sum_\alpha c_{\alpha\beta^*}x^\alpha\in J $$
となる。次に $c_{\alpha\beta^*}\ne0$ となる $\alpha$ の中で極大なもの $\alpha^*$ をとり、$\varepsilon_i(Q)=[\partial_i,Q]$ を各 $i$ について $\alpha^*_i$ 回当てると、同様に $\alpha^*!\,\beta^*!\,c_{\alpha^*\beta^*}\in J\cap R=I$ を得る。$\alpha^*!\beta^*!$ は $R$ の単元なので $c_{\alpha^*\beta^*}\in I\subset J$ である。すると $P-c_{\alpha^*\beta^*}x^{\alpha^*}\partial^{\beta^*}\in J$ は $0$ でない係数が 1 つ少なく、帰納法の仮定によりその係数はすべて $I$ に入る。よって $P$ の係数もすべて $I$ に入る。
2：$R$ が中心に入ることは定義による。$P=\sum c_{\alpha\beta}x^\alpha\partial^\beta$ が中心に入るなら、$0=[P,x_i]=\sum\beta_ic_{\alpha\beta}x^\alpha\partial^{\beta-e_i}$ と基底の一次独立性から $\beta_ic_{\alpha\beta}=0$ であり、$\beta_i\ge1$ なら $\beta_i$ は単元なので $c_{\alpha\beta}=0$ である。同様に $[\partial_i,P]=0$ から $\alpha_i\ge1$ なら $c_{\alpha\beta}=0$ であり、$P=c_{00}\in R$ となる。$\square$

要点：前半は体のイデアルが $0$ と $k$ だけであることから、後半は跡をとって $\operatorname{tr}[D,X]=0\ne\dim V$ となることから従う。

1：長さ $d$ の文字の積 $w$ は、隣り合う 2 文字を入れ替えて $x$ を左に、添字順に並べられる。入れ替えで生じる差は、$x_ix_j=x_jx_i$、$\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ では $0$、$\partial_ix_j=x_j\partial_i+\delta_{ij}$ では $\delta_{ij}$ 倍の長さ $d-2$ の積で $F_{d-2}$ に入る。よって $w$ は並べ替えた $x^{\alpha'}\partial^{\beta'}$ と $F_{d-2}$ を法として等しい。$x^\alpha\partial^\beta x^\gamma\partial^\delta$ を並べ替えると $x^{\alpha+\gamma}\partial^{\beta+\delta}$ になる。
2：$0$ でない $P$ について、$P\in F_d$ となる最小の $d$ を $\deg P$、$P$ の $\lvert\alpha\rvert+\lvert\beta\rvert=\deg P$ の項の和に対応する多項式 $\sigma(P)=\sum c_{\alpha\beta}\xi^\alpha\eta^\beta\in R[\xi_1,\dots,\xi_n,\eta_1,\dots,\eta_n]$ を $P$ の主要部とよぶ。$\deg P=d$、$\deg Q=e$ なら、1 により $PQ$ は $F_{d+e-1}$ を法として $\sum c_{\alpha\beta}c'_{\gamma\delta}x^{\alpha+\gamma}\partial^{\beta+\delta}$（次数 $d+e$ の項どうしの和）に等しく、これに対応する多項式は $\sigma(P)\sigma(Q)$ である。$R$ が整域なら多項式環も整域なので $\sigma(P)\sigma(Q)\ne0$ であり、基底の一次独立性から $PQ\notin F_{d+e-1}$、とくに $PQ\ne0$ である。
3：

要点：交換子の公式の係数 $\beta_i$、$\alpha_i$ が $k$ で $0$ になるのは $p$ の倍数のときに限る。