Ehrlingの補題

ある $\varepsilon>0$ について結論が成り立たないとする。すると各 $k=1,2,\dots$ について $C_\varepsilon=k$ では不等式が破れ、$x_k\in X$ で
$$ \|x_k\|_Y>\varepsilon\|x_k\|_X+k\|x_k\|_Z $$
となるものがある。右辺は $0$ 以上なので $x_k\ne0$ であり、不等式は $x_k$ の正の定数倍で変わらないので、$\|x_k\|_Y=1$ と正規化してよい。すると $\|x_k\|_X<1/\varepsilon$、$\|x_k\|_Z<1/k$ である。
$(x_k)$ は $X$ で有界なので、包含 $X\to Y$ のコンパクト性から、部分列（同じ記号で書く）が $Y$ のノルムである $y\in Y$ に収束する。$\|x_k\|_Y=1$ なので $\|y\|_Y=1$ である。包含 $Y\to Z$ は連続なので、$Z$ のノルムでも $x_k\to y$ である。一方 $\|x_k\|_Z<1/k\to0$ なので、$Z$ の極限の一意性から $Z$ の元として $y=0$ である。$y$ は $Y$ の元としても $0$ であり、$\|y\|_Y=1$ に矛盾する。$\square$

$B=0$ なら明らかである。$B>0$ なら thm-ehr-main を $\varepsilon:=1/(2B)$ で使うと $\|x\|_X\le A\|Px\|_W+\frac12\|x\|_X+BC_\varepsilon\|x\|_Z$ であり、$\frac12\|x\|_X$ を左辺へ移せばよい。$C:=2BC_\varepsilon$ である。$\square$

$X:=C^1([0,1])$ にノルム $\|u\|_X:=\max|u|+\max|u'|$、$Y:=C([0,1])$ に最大値ノルム、$Z:=L^1(0,1)$ とする。$X$ の有界集合は一様有界で共通の Lipschitz 定数をもつので、Arzelà–Ascoliの定理 により $Y$ で相対コンパクトである。$Y\to Z$ は $\|u\|_{L^1}\le\max|u|$ で連続であり、連続関数で積分が $0$ のものは $0$ なので単射である。$X$ は Banach 空間である（$C^1$ 級関数の列 $u_k$ で $u_k$ と $u_k'$ がともに一様収束するなら、極限は $C^1$ 級で導関数は $u_k'$ の極限であるため）。
$\delta:=\varepsilon/(1+\varepsilon)$ として thm-ehr-main を使うと $\max|u|\le\delta(\max|u|+\max|u'|)+C_\delta\|u\|_{L^1}$ であり、$(1-\delta)\max|u|\le\delta\max|u'|+C_\delta\|u\|_{L^1}$ を $1-\delta$ で割れば、$\delta/(1-\delta)=\varepsilon$ なので結論を得る。$\square$

$X:=W^{1,p}(0,1)$（ノルム $\|u\|_{L^p}+\|u'\|_{L^p}$）、$Y:=C([0,1])$、$Z:=L^1(0,1)$ とし、$X\to Y$ は $u$ にその連続な代表を対応させる写像とする（1次元Sobolev空間 の定理「連続な代表」）。これは単射で、1次元Sobolev空間 の定理「連続関数の空間へのコンパクトな埋め込み」により $1< p\le\infty$ でコンパクトである。$Y\to Z$ は ex-ehr-c1 と同じく連続で単射である。$\|u\|_{L^p(0,1)}\le\|u\|_{L^\infty(0,1)}$ なので、thm-ehr-main から $\|u\|_{L^\infty}\le\delta(\|u\|_{L^\infty}+\|u'\|_{L^p})+C_\delta\|u\|_{L^1}$ であり、prf-ex-ehr-c1 と同じく $\delta=\varepsilon/(1+\varepsilon)$ として結論を得る。
$p=1$ の場合：$u_k(x):=x^k$ とすると $\|u_k\|_{L^\infty}=1$、$\|u_k'\|_{L^1}=1$、$\|u_k\|_{L^1}=1/(k+1)$ である。$\varepsilon=1/2$ なら、不等式は $1\le1/2+C/(k+1)$ となり、$k$ が大きいと成り立たない。$\square$

$X:=W^{m,p}(I)$、$Y:=W^{m-1,p}(I)$、$Z:=L^p(I)$ に thm-ehr-main を当てる。$Y\to Z$ の連続性と単射性は明らかである。
$X\to Y$ がコンパクトであること：$(u_k)$ を $X$ の有界列とする。各 $0\le j\le m-1$ について $(u_k^{(j)})$ は $W^{1,p}(I)$ で有界である。$1< p\le\infty$ なら 1次元Sobolev空間 の定理「連続関数の空間へのコンパクトな埋め込み」により、$p=1$ なら $W^{1,1}(I)\to L^1(I)$ のコンパクト性（Bre11 Theorem 8.8 の (7)、p. 213。この記事では証明しない）により、$j=0,1,\dots,m-1$ の順に部分列をとり直して、すべての $j$ について $u_k^{(j)}$ がある $g_j$ に $L^p(I)$ で収束するようにできる（$I$ は有界なので一様収束は $L^p$ 収束を導く）。$\varphi\in C_c^\infty(I)$ について $\int u_k^{(j-1)}\varphi'=-\int u_k^{(j)}\varphi$ の極限をとると $g_{j-1}$ の弱微分は $g_j$ なので、$g_0\in W^{m-1,p}(I)$ で $u_k\to g_0$ が $Y$ で成り立つ。
$\varepsilon\le1/2$ として thm-ehr-main を使うと $\sum_{k\le m-1}\|u^{(k)}\|_{L^p}\le\varepsilon\sum_{k\le m}\|u^{(k)}\|_{L^p}+C_\varepsilon\|u\|_{L^p}$ であり、左辺の $\varepsilon$ 倍を移項すると $\|u^{(j)}\|_{L^p}\le2\varepsilon\|u^{(m)}\|_{L^p}+2C_\varepsilon\|u\|_{L^p}$ を得る。$\varepsilon$ は任意なので結論が従う。$\square$

$X:=H^1_0(\Omega)$（零境界Sobolev空間）、$Y:=L^2(\Omega)$、$Z:=L^1(\Omega)$ とする。$X\to Y$ は Rellichの定理 の定理「Rellichの定理（有界領域の零境界値Sobolev空間）」によりコンパクトであり、$Y\to Z$ は Cauchy–Schwarz の不等式 $\|u\|_{L^1}\le|\Omega|^{1/2}\|u\|_{L^2}$ により連続である。$\|u\|_{H^1}\le\|u\|_{L^2}+\|\nabla u\|_{L^2}$ なので、ex-ehr-higher の最後と同じく $\varepsilon\le1/2$ で吸収すればよい。$\square$

ある $\varepsilon>0$ について成り立たないとすると、prf-ehr-main と同じく、$\|u_k\|_E=1$ かつ $\|Tu_k\|_F>\varepsilon+k|u_k|$ となる $u_k\in E$ がとれる。$\|Tu_k\|_F\le\|T\|$ なので $|u_k|<\|T\|/k\to0$ である。
$E$ は反射的なので、部分列（同じ記号で書く）が $E$ のある元 $u$ に弱収束する（Eberlein–Šmulianの定理 の系「反射性の点列による特徴づけ」）。$u=0$ を示す。$g$ をノルム $|\cdot|$ について連続な $E$ 上の線形汎関数とし、$|g(x)|\le A|x|$ とする。すると $|g(x)|\le AC_0\|x\|_E$ なので $g$ は $E$ の双対空間の元であり、弱収束から $g(u_k)\to g(u)$ である。一方 $|g(u_k)|\le A|u_k|\to0$ なので $g(u)=0$ である。$u\ne0$ なら、ノルム空間 $(E,|\cdot|)$ に Hahn–Banachの定理 の系「ノルムを保つ延長」を当てて $g(u)=|u|\ne0$ となる $g$ がとれるので、$u=0$ である。
$T$ はコンパクトなので、コンパクト作用素 の命題「弱収束する列をノルム収束する列へ写す」により $Tu_k\to Tu=0$ である。これは $\|Tu_k\|_F>\varepsilon$ に矛盾する。$\square$

$u_k(x):=\max(1-kx,0)$ とすると $\|u_k\|_E=1$、$Tu_k=1$、$|u_k|=1/(2k)$ である。不等式は $1\le1/2+C/(2k)$ となり、$k$ が大きいと成り立たない。$\square$