Abel–Jacobiの定理

$D=\operatorname{div}(F)$ なら局所方程式として $f_i=F|_{U_i}$ がとれ、$g_{ij}=1$ である。逆に $[\mathcal{O}(D)]=0$ なら、被覆を細分して $g_{ij}=h_ih_j^{-1}$（$h_i\in\mathcal{O}^*(U_i)$）と書ける。$U_i\cap U_j$ の上で $f_i/h_i=f_j/h_j$ なので、$f_i/h_i$ は $X$ 上の有理型関数 $F$ に貼り合い、$\operatorname{div}(F)|_{U_i}=\operatorname{div}(f_i)=D|_{U_i}$ である。$\square$

要点：$H^1(X,\mathbb{Z})$ の像は、周期がすべて整数の実の閉 1 形式 $\eta$ の $(0,1)$ 成分の類であり、$\Theta$ はそれを $\omega\mapsto\int_X\omega\wedge\eta$ に写す。整係数の Poincaré 双対により、この形の汎関数の全体は閉曲線上の積分 $\omega\mapsto\int_\gamma\omega$ の全体に一致する。比べるのは部分群としての像だけで、$\Lambda_X=-\Lambda_X$ なので符号の規約は結論に影響しない。

座標 $z$ が $|z|< R$ で定義され、$|x|< r_0< R$ とする。$U_1:=\{|z|< R\}$、$U_2:=X\setminus\{|z|\le r_0\}$ は $X$ を覆い、$U_{12}=\{r_0<|z|< R\}$ である。$D=x-a$ の局所方程式として $f_1=(z-x)/z$、$f_2=1$ がとれ、余輪体は $g_{12}=1-x/z$ である。$|x/z|<1$ なので $c_{12}(z):=\frac{1}{2\pi i}\log(1-x/z)=-\frac{1}{2\pi i}\sum_{m\ge1}\frac{1}{m}(x/z)^m$ は $U_{12}$ 上の正則関数で $e(c_{12})=g_{12}$ である。2 つの開集合の被覆では余輪体の条件は空なので、$[\mathcal{O}(x-a)]=e([c])$ は $\mathcal{P}_0(X)$ に入る。
$r_0< r_1< r_2< R$ をとり、$\{|z|\le r_1\}$ で $1$、$\{|z|< r_2\}$ の外で $0$ となる滑らかな関数 $\rho$ をとる。$\varphi_1:=-(1-\rho)c_{12}$（$|z|\le r_1$ では $0$）、$\varphi_2:=\rho c_{12}$（$U_1$ の外では $0$）とおくと $\varphi_2-\varphi_1=c_{12}$ なので、$[c]$ の Dolbeault 類は $\{r_1\le|z|\le r_2\}$ に台をもつ $\beta=c_{12}\,\bar\partial\rho$ で表される。
$\omega=U(z)\,dz$ を正則 1 形式とすると $\omega\wedge\beta=c_{12}\,\omega\wedge d\rho$ であり、円環の上で $d(\rho c_{12}\omega)=c_{12}\,d\rho\wedge\omega=-c_{12}\,\omega\wedge d\rho$ である（$dc_{12}\wedge\omega$ は型 $(2,0)$ で $0$）。$r_0< r_1'< r_1$、$r_2< r_2'< R$ として円環 $\{r_1'\le|z|\le r_2'\}$ に Stokes の公式を当てると（$\rho$ は内側の円周で $1$、外側で $0$）、$\int_X\omega\wedge\beta=\oint_{|z|=r_1'}c_{12}\,\omega$ である。右辺を $x$ の関数 $I(x)$ とみると、項別微分と Cauchy の積分公式により $I'(x)=-\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{U(z)}{z-x}\,dz=-U(x)$ であり、$I(0)=0$ だから $I(x)=-\int_0^xU(z)\,dz=-\int_a^x\omega$ である。最後の等号は、$u(x)-u(a)$ が円板の中の道に沿った積分で計算できることによる（Jacobi多様体 の命題「Abel–Jacobi 写像は well-defined」の証明の 2）。$\square$

第 1 段：$\iota([\mathcal{O}(D)])=-u(D)$。 点 $P\in X$ について、$P_0$ から $P$ への道を有限個の座標円板で覆えば、点の列 $P_0=p_0,p_1,\dots,p_m=P$ で、隣り合う $p_{k-1},p_k$ が $p_{k-1}$ を中心とする 1 つの座標円板に入るものがとれ（単位円板の自己同型で中心を動かす）、$P-P_0=\sum_k(p_k-p_{k-1})$ である。次数 $0$ の因子 $D=\sum n_PP$ は $\sum n_P(P-P_0)$ と書けるので、lem-ajt-local の形の因子の整数係数の和である。$D\mapsto[\mathcal{O}(D)]$ と $u$ は加法的、$\iota$ は準同型なので、補題から $D\in\operatorname{Div}^0(X)$ について $[\mathcal{O}(D)]\in\mathcal{P}_0(X)$ と $\iota([\mathcal{O}(D)])=-u(D)$ が従う。
第 2 段：1 の証明。 $D\in\operatorname{Div}^0(X)$ について、第 1 段により $u(D)=0$ は $\iota([\mathcal{O}(D)])=0$ と同値で、$\iota$ は単射（prop-ajt-lattice）なのでこれは $[\mathcal{O}(D)]=0$ と同値であり、lem-ajt-principal により $D$ が主因子であることと同値である。
第 3 段：2 の証明。 点 $P_1,\dots,P_g$ を、$W_k:=\{\omega\in\Omega(X)\mid\omega(P_1)=\dots=\omega(P_k)=0\}$ が $g-k$ 次元になるように順に選ぶ。$\dim W_k=g-k>0$ なら $0$ でない $\omega\in W_k$ と $\omega(P_{k+1})\ne0$ となる点 $P_{k+1}$ をとれば、$P_{k+1}$ での値をとる線形写像は $W_k$ の上で $0$ でないので、核 $W_{k+1}$ は $g-k-1$ 次元である。正則写像 $S\colon X^g\to\operatorname{Jac}(X)$、$S(Q_1,\dots,Q_g):=\sum_iu(Q_i)$ の $(P_1,\dots,P_g)$ での微分は接ベクトル $(v_1,\dots,v_g)$ を $\bigl(\omega\mapsto\sum_i\omega_{P_i}(v_i)\bigr)$ に写す。$W_g=0$、すなわち $\omega\mapsto(\omega_{P_i})_i$ が単射なので、この微分は全射である。よって $S$ は $(P_1,\dots,P_g)$ の近くで沈め込みで、$S(X^g)$ は空でない開集合 $V$ を含む。$H:=u(\operatorname{Div}^0(X))$ は部分群で、$u(Q)=u(Q-P_0)$ なので $S(X^g)\subset H$ である。$v_0\in V$ を固定すると、各 $h\in H$ について $h-v_0+V\subset H$ は $h$ の近傍なので、$H$ は開部分群である。開部分群の補集合は剰余類（開集合）の和なので $H$ は閉でもあり、$\operatorname{Jac}(X)$ は連結なので $H=\operatorname{Jac}(X)$ である。
第 4 段：3 の証明。 2 により $u\colon\operatorname{Div}^0(X)\to\operatorname{Jac}(X)$ は全射準同型で、1 によりその核は $\operatorname{Prin}(X)$ である。$\square$

thm-ajt-main の 2 により、点は $u(D)$（$D\in\operatorname{Div}^0(X)$）と書ける。$D+gP_0$ は次数 $g$ なので、Riemann–Rochの定理 の系「Riemann の不等式」により有効因子 $E=P_1+\cdots+P_g$ と線形同値である。$D-(E-gP_0)$ は主因子なので、1 により $u(D)=u(E-gP_0)=\sum_iu(P_i)$ である（$u(P_0)=0$）。$\square$

要点：$u(P)=u(Q)$ なら $P-Q$ は主因子で、$P\ne Q$ なら 1 位の極が 1 つだけの関数ができて $g=0$ になる。$P$ での微分は $\omega\mapsto\omega_P$ で、Riemann–Roch の定理から $P$ で $0$ にならない正則 1 形式がある。