cup-i積
概要
cup-i積（cup-i product）とは、$\mathbb{Z}/2$ 係数の特異余鎖 $a,b$ に対し、単体の頂点を隣り合うものが 1 点を共有する $i+2$ 個の区間に分け、交互に $a$、$b$ で測る Steenrod の式で定まる余鎖 $a\smile_ib$ のことで、$\smile_0$ はカップ積である。余境界公式 $\delta(a\smile_ib)=\delta a\smile_ib+a\smile_i\delta b+a\smile_{i-1}b+b\smile_{i-1}a$ が成り立ち、$\smile_1$ はカップ積の非可換性を余境界で表す。次数 $n$ の余輪体 $a$ の $Q^j[a]=[a\smile_{n-j}a]$ は代表によらず加法的・自然で、$Q^0$ は恒等写像、$Q^n$ は平方であり、Steenrod 平方の構成に使われる。
$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジーではカップ積は可換だが、余鎖の段階では $a\smile b$ と $b\smile a$ は一般に異なる。cup-$i$ 積 $\smile_i$（$i=0,1,2,\dots$）は、この可換性のずれを段階的に記録する余鎖の積である。$\smile_0$ はカップ積であり、余輪体 $a,b$ について $\smile_1$ は $a\smile b+b\smile a$ を余境界 $\delta(a\smile_1b)$ として表す。$\smile_2,\smile_3,\dots$ も同様に、1 つ前の積の非対称性を余境界として表す。とくに次数 $n$ の余輪体 $a$ について $a\smile_ia$ は再び余輪体になり、その類は $[a]$ だけで決まる。こうして得られる次数 $n+j$ の類 $Q^j[a]=[a\smile_{n-j}a]$ が、Steenrod平方 の余鎖による構成である。
この記事では、Steenrod による cup-$i$ 積の明示式を定義とし、その境界公式を頂点の数え上げで証明する。次に、自然で対称性と両立する鎖写像が、空間によらない論法（同変な非輪状台の補題）で存在し、自然な同変鎖ホモトピーを除いて一意であることを示す。最後に、$Q^j$ が代表によらず加法的・自然で、$Q^0$ が恒等写像、$Q^n$ がカップ積の平方であり、高次対角の選び方にもよらないことを証明する。
定義
係数は $\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2$ に固定して省略する。$C_\bullet(X)$ は空間 $X$ の $\mathbb{F}_2$ 係数の特異鎖複体、$C^\bullet(X)=\operatorname{Hom}(C_\bullet(X),\mathbb{F}_2)$、$\delta a=a\circ\partial$ である（特異コホモロジー）。$\mathbb{F}_2$ では $-1=1$ なので符号はすべて消える。部分空間 $A\subset X$ について、$C^n(X,A)$ は像が $A$ に含まれる特異単体の上で消える余鎖の全体であり、部分空間 $A,B$ について $C^n(X,A+B)$ は像が $A$ または $B$ に含まれる特異単体の上で消える余鎖の全体である（カップ積 の節「開集合の対の相対カップ積」）。
$[m]=\{0,1,\dots,m\}$ とし、整数 $p\le q$ について区間 $[p,q]=\{p,p+1,\dots,q\}$ を使う。特異 $m$ 単体 $\sigma$ と空でない $S=\{s_0<\dots< s_r\}\subset[m]$ について $\sigma|S:=\sigma|[e_{s_0},\dots,e_{s_r}]$ と書く（カップ積 の記法）。$\sigma|S$ は $\sigma$ の面であり、$\lvert S\rvert\ge2$ なら $\partial(\sigma|S)=\sum_{s\in S}\sigma|(S\setminus\{s\})$ である。
$C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(X)$ は次数 $(C\otimes C)_m=\bigoplus_{p+q=m}C_p(X)\otimes C_q(X)$、境界 $\partial(x\otimes y)=\partial x\otimes y+x\otimes\partial y$ の鎖複体であり、$\tau(x\otimes y)=y\otimes x$ は $\partial$ と可換である。余鎖 $a\in C^p(X)$、$b\in C^q(X)$ について、$(a\otimes b)(x\otimes y)$ を $x\in C_p$、$y\in C_q$ のとき $a(x)b(y)$、それ以外の次数の組では $0$ と定める。このとき
$$
(a\otimes b)\circ\partial=\delta a\otimes b+a\otimes\delta b,\qquad (a\otimes b)\circ\tau=b\otimes a
$$
が成り立つ。たとえば $\mathrm{AW}(\sigma)=\sum_{p=0}^m\sigma|[0,p]\otimes\sigma|[p,m]$ とおくと、$a\smile b=(a\otimes b)\circ\mathrm{AW}$ は カップ積 の定義「カップ積」そのものである。
整数 $i\ge0$ と特異 $m$ 単体 $\sigma$ について
$$
D_i\sigma:=\sum_{0\le n_0< n_1<\dots< n_i\le m}\sigma|(I_0\cup I_2\cup I_4\cup\cdots)\otimes\sigma|(I_1\cup I_3\cup I_5\cup\cdots)
$$
とおく。ここで $I_0=[0,n_0]$、$I_l=[n_{l-1},n_l]$（$1\le l\le i$）、$I_{i+1}=[n_i,m]$ であり、左の因子は添字が偶数の区間の和集合、右の因子は奇数の区間の和集合で張られる面である。$i>m$ なら和は空で $D_i\sigma=0$ とし、$D_{-1}:=0$ とおく。線型に延ばした $D_i\colon C_m(X)\to(C\otimes C)_{m+i}$ の族を標準の高次対角という。余鎖 $a\in C^p(X)$、$b\in C^q(X)$ について
$$
a\smile_ib:=(a\otimes b)\circ D_i\in C^{p+q-i}(X)
$$
を $a$ と $b$ の cup-$i$ 積という。$\smile_{-1}:=0$ とおく。
区切りの点 $n_l$ は隣り合う区間 $I_l,I_{l+1}$ の両方に、ほかの頂点はちょうど 1 つの区間に入るので、2 つの因子の頂点の個数の和は $m+1+(i+1)$、次元の和は $m+i$ である。
- $i=0$ では $D_0\sigma=\sum_{n_0}\sigma|[0,n_0]\otimes\sigma|[n_0,m]=\mathrm{AW}(\sigma)$ であり、$\smile_0$ はカップ積である。
- $i=1$ では $(a\smile_1b)(\sigma)=\sum_{0\le p< q\le m}a\bigl(\sigma|([0,p]\cup[q,m])\bigr)\,b\bigl(\sigma|[p,q]\bigr)$ である。
- $i=m$ では区切りの点が全頂点で、$I_0=\{0\}$、$I_l=[l-1,l]$ なので両方の因子が $\sigma$ 自身になり、$D_m\sigma=\sigma\otimes\sigma$ である。とくに $a,b\in C^m(X)$ と特異 $m$ 単体 $\sigma$ について $(a\smile_mb)(\sigma)=a(\sigma)b(\sigma)$。
この式は Steenrod が cup-$i$ 積を最初に定義したときの式である。MS03（p. 3）は、隣り合う 2 つがちょうど 1 点を共有するように $[m]$ を $i+2$ 個の区間に分け、奇数番目の区間を $a$ に、偶数番目の区間を $b$ に割り当てる形で述べる（同 Definition 2.3）。BF02 §2.2.8（p. 35）は $i=1,2$ の式を正規化された鎖の上で同じ狭義の区切りで与える。MS03 は区切りの点の重複も許して和をとるが、重複した項の因子は退化した単体なので、正規化された鎖の上では上の式と一致する。$\mathbb{F}_2$ 係数なので符号は考えない。
境界公式
すべての $i\ge0$ について、準同型 $C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)\otimes C_\bullet(X)$ の等式
$$
\partial D_i+D_i\partial=(1+\tau)D_{i-1}
$$
が成り立つ。また $D_i$ は連続写像 $f$ について自然（$(f_\sharp\otimes f_\sharp)D_i=D_if_\sharp$）であり、$D_i\sigma$ の各項の 2 つの因子は $\sigma$ の面である。
自然性と面であることは定義から明らかなので、等式を示す。$m=0$ では $\partial\sigma=0$、$D_0\sigma=\sigma\otimes\sigma$、$i\ge1$ で $D_i\sigma=0$ であり、両辺とも $0$ である（$(1+\tau)(\sigma\otimes\sigma)=0$）。以下 $m\ge1$ とする。
形式化。 空でない部分集合の対 $(L,R)$（$L,R\subset[m]$）を基底とする $\mathbb{F}_2$ 線型空間 $F$ を考え、$\partial(L,R)=\sum_{v\in L}(L\setminus\{v\},R)+\sum_{v\in R}(L,R\setminus\{v\})$（ただし 1 点の側からは除かない）、$\tau(L,R)=(R,L)$ とおく。空でない $S\subset[m]$ について、$S$ の中で同じ区切りの式を使った元を $D_i^S\in F$ とする。特異 $m$ 単体 $\sigma$ について $(L,R)\mapsto\sigma|L\otimes\sigma|R$ は $\partial$、$\tau$ と可換な線型写像で、$D_i^{[m]}$ を $D_i\sigma$ に、$D_i^{[m]\setminus\{v\}}$ を $D_i(\sigma|([m]\setminus\{v\}))$ に写す。$\partial\sigma=\sum_v\sigma|([m]\setminus\{v\})$ なので、$F$ の中の等式
$$
\partial D_i^{[m]}+\sum_{v=0}^mD_i^{[m]\setminus\{v\}}=D_{i-1}^{[m]}+\tau D_{i-1}^{[m]}\qquad(\dagger)
$$
を示せばよい（$D_{-1}^{[m]}:=0$）。
ラベル。 対 $(L,R)$ で $L\cup R=S$ のものに、$S$ の各元が $L$ だけに入るか、$R$ だけに入るか、両方に入るかで文字 $\mathsf{L},\mathsf{R},\mathsf{B}$ を付け、$S$ の順に並べた語を考える。$(L,R)$ が $D_i^S$ に現れるのは、語がちょうど $i+1$ 個の $\mathsf{B}$ をもち、$l$ 番目の隙間（$l=0,\dots,i+1$。最初の $\mathsf{B}$ の前が $0$ 番目、最後の $\mathsf{B}$ の後が $i+1$ 番目）の文字がすべて、$l$ が偶数なら $\mathsf{L}$、奇数なら $\mathsf{R}$ であるときに限る。$\mathsf{B}$ が区切りの点、$l$ 番目の隙間が区間 $I_l$ の内部にあたるからである。区切りが違えば対も違うので、係数は $0$ か $1$ である。この条件をみたす語を型 $i$ の語という。
$L\cup R=[m]\setminus\{v\}$ の対。 左辺に現れうるのは $\mathsf{B}$ が $i+1$ 個の対だけで、右辺には現れない。$\partial D_i^{[m]}$ でこの対を生むのは、型 $i$ の語の $\mathsf{B}$ でない文字 $v$ を、それを含む側から除く項である（その側は $i+1\ge1$ 個の $\mathsf{B}$ も含むので 1 点ではない）。$v$ は $[m]\setminus\{v\}$ の語の決まった隙間に入るので、その語が型 $i$ なら $v$ に付けて型 $i$ になる文字はちょうど 1 つ、型 $i$ でなければ 1 つもない。よって $\partial D_i^{[m]}$ での係数は $D_i^{[m]\setminus\{v\}}$ での係数に等しく、和では打ち消し合う。
$L\cup R=[m]$ の対。 $\mathsf{B}$ が $i$ 個の語 $w$ だけが現れうる。$\partial D_i^{[m]}$ でこれを生むのは、型 $i$ の語の $\mathsf{B}$ の 1 つを片側から除く項であり、$w$ の $\mathsf{B}$ でない文字 $x$ で「$x$ を $\mathsf{B}$ に替えると型 $i$ になる」ものと 1 対 1 に対応する（$w$ は空でない $L,R$ をもつので、除く側は 1 点ではない）。$w$ の $l$ 番目の隙間にある文字 $x$ に、型 $i-1$ の語の規則どおりの文字（$l$ が偶数なら $\mathsf{L}$、奇数なら $\mathsf{R}$）なら $t(x)=0$、そうでなければ $t(x)=1$ を付ける。$x$ を $\mathsf{B}$ に替えると $l$ 番目の隙間が $x$ の前後に分かれ、後ろの隙間の番号が 1 つずつ増えるので、新しい語が型 $i$ になるのは、$x$ より前の文字がすべて $t=0$、後ろの文字がすべて $t=1$ のときに限る。一方、$w$ が型 $i-1$ であるのは全文字が $t=0$ のとき、$\tau w$（$\mathsf{L}$ と $\mathsf{R}$ を入れ替えた語）が型 $i-1$ であるのは全文字が $t=1$ のときである。$\mathsf{B}$ でない文字の $t$ の列を $t_1\cdots t_N$ とすると、条件をみたす $x$ の個数は、すべて $0$ なら $1$（最後の文字）、すべて $1$ なら $1$（最初の文字）、$0\cdots01\cdots1$（両方の文字を含む）なら $2$、$1$ の後に $0$ がある列なら $0$、$N=0$ なら $0$ である。$N=0$ では $w$ と $\tau w$ がともに型 $i-1$ なので右辺の係数も $1+1=0$ であり、どの場合も両辺の係数は $\mathbb{F}_2$ で等しい。$i=0$ では型 $-1$ の語は $L$ か $R$ が空になるので基底に現れず、$t$ の列は $0$ と $1$ の両方を含むから、左辺の係数も偶数である。
ほかの対はどの項にも現れないので、$(\dagger)$ が成り立つ。$\square$
$A,B\subset X$ を部分空間とする。$a\in C^p(X,A)$、$b\in C^q(X,B)$ なら $a\smile_ib\in C^{p+q-i}(X,A+B)$ である。とくに $C^\bullet(X,A)$ は $\smile_i$ で閉じる。連続写像 $f\colon X\to Y$ と $a,b\in C^\bullet(Y)$ について $f^\sharp(a\smile_ib)=f^\sharp a\smile_if^\sharp b$ である。
像が $A$ に含まれる単体 $\sigma$ では $D_i\sigma$ の左の因子も $A$ に入るので $a$ が消え、像が $B$ に含まれる単体では右の因子で $b$ が消える。後半は $D_i$ の自然性による。$\square$
余鎖 $a\in C^p(X)$、$b\in C^q(X)$ と $i\ge0$ について
$$
\delta(a\smile_ib)=\delta a\smile_ib+a\smile_i\delta b+a\smile_{i-1}b+b\smile_{i-1}a\qquad(\ast)
$$
が成り立つ。
特異 $(p+q-i+1)$ 単体 $\sigma$ で値を比べる。thm-cupi-boundary と定義の節の 2 つの等式から
$$
\delta(a\smile_ib)(\sigma)=(a\otimes b)(D_i\partial\sigma)=(a\otimes b)(\partial D_i\sigma)+(a\otimes b)\bigl((1+\tau)D_{i-1}\sigma\bigr)
$$
$$
=(\delta a\otimes b+a\otimes\delta b)(D_i\sigma)+(a\otimes b+b\otimes a)(D_{i-1}\sigma)
$$
であり、これは右辺の $\sigma$ での値である。$\square$
$(\ast)$ について、MS03 Proposition 2.18（p. 6、証明は §7）は整数係数の符号付きの形を与える。
$a\in C^p(X,A)$、$b\in C^q(X,B)$ が余輪体なら
$$
a\smile b+b\smile a=\delta(a\smile_1b),\qquad a\smile_1b\in C^{p+q-1}(X,A+B)
$$
である。とくに $\alpha\in H^p(X)$、$\beta\in H^q(X)$ について $\alpha\smile\beta=\beta\smile\alpha$ であり、$A,B$ が開集合なら $\alpha\in H^p(X,A)$、$\beta\in H^q(X,B)$ の カップ積 の定義「開集合の対の相対カップ積」の積についても $\alpha\smile\beta=\beta\smile\alpha\in H^{p+q}(X,A\cup B)$ である。
証明を開く
$(\ast)$ で $i=1$、$\delta a=\delta b=0$ とすればよい。相対の場合は、$[a\smile b]$ と $[b\smile a]$ が $C^\bullet(X,A+B)$ のコホモロジーで等しく、同じ同型の逆を施すことによる。$\mathbb{F}_2$ では $-1=1$ なので、これは カップ積 の定理「次数付き可換性」の $R=\mathbb{F}_2$ の場合の証明になっている。
同変な非輪状台の補題
標準の高次対角は 1 つの選び方にすぎない。積の公式などで別の構成と比べるには、「自然で、決まった対称性と両立する鎖写像は、自然な鎖ホモトピーを除いて一意である」という事実が要る。これを群 $G$ の作用を込めた形で述べる。
$G$ を有限群、$\rho\colon G\to\mathfrak{S}_k$ を準同型とする。$G$ は $C_\bullet(X)^{\otimes k}$（境界は各因子への $\partial$ の和）に、$g\cdot(x_1\otimes\dots\otimes x_k)$ の $\rho(g)(j)$ 番目の因子を $x_j$ とする置換で作用し、この作用は $\partial$ と可換である。$P_\bullet$ を次数 $0$ 以上の $\mathbb{F}_2[G]$ 加群の鎖複体で、各 $P_p$ が基底を指定した自由 $\mathbb{F}_2[G]$ 加群であるものとし、$\mathbb{F}_2[G]$ 線型写像 $\varepsilon\colon P_0\to\mathbb{F}_2$（$G$ は自明に作用）で $\varepsilon\circ d=0$（$d\colon P_1\to P_0$）となるものを固定する。$G$ は $P_\bullet\otimes C_\bullet(X)$ に $P$ の側だけで作用し、$P$ の基底の元 $\beta$ と特異単体 $\sigma$ の組 $\beta\otimes\sigma$ が $\mathbb{F}_2[G]$ 加群としての基底になる。
$P_\bullet\otimes C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)^{\otimes k}$ の次数を保つ準同型 $\Phi_X$ の族が自然であるとは、すべての連続写像 $f\colon X\to Y$ について $(f_\sharp)^{\otimes k}\circ\Phi_X=\Phi_Y\circ(1\otimes f_\sharp)$ が成り立つことをいう。次数を $1$ 上げる準同型の族についても同様に定める。自然な $G$ 同変鎖写像 $\Phi$ が正規化されているとは、$y\in P_0$ と特異 $0$ 単体 $x$ について $\Phi(y\otimes x)=\varepsilon(y)\,x^{\otimes k}$ となることをいう。
上の設定で次が成り立つ。
- 正規化された自然な $G$ 同変鎖写像 $\Phi\colon P_\bullet\otimes C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)^{\otimes k}$ が存在する。
- 自然な $G$ 同変鎖写像 $\Phi,\Phi'$ が $P_0\otimes C_0(X)$ の上で一致するなら、次数を $1$ 上げる自然な $G$ 同変準同型 $E$ で、$P_0\otimes C_0(X)$ の上で $0$ となり
$$ \partial E+E\partial=\Phi+\Phi' $$
をみたすものがある。 - 自然な準同型の族 $\Psi$（1 の $\Phi$、2 の $E$ など）と $y\in P$、特異 $q$ 単体 $\sigma\colon\Delta^q\to X$ について、$\Psi(y\otimes\sigma)\in(\sigma_\sharp)^{\otimes k}\bigl(C_\bullet(\Delta^q)^{\otimes k}\bigr)$ である。とくに $\sigma$ の像が部分空間 $A$ に含まれるなら $\Psi(y\otimes\sigma)\in C_\bullet(A)^{\otimes k}$ である。
要点：$\Delta^q$ の恒等写像 $\iota_q$ を「模型」とし、基底 $\beta\otimes\iota_q$ での値を全次数 $m=p+q$ についての帰納法で決め、一般の $\beta\otimes\sigma$ へは $\sigma_\sharp$ で押し出し、$G$ 同変に延ばす。帰納法の各段で解くべき方程式は「$C_\bullet(\Delta^q)^{\otimes k}$ の輪体 $z$ は境界である」という形で、これは錐による縮約 $H$ で $z=\partial(Hz)$ と解ける。
詳しい証明を開く
縮約。$\Delta^q$ の特異 $r$ 単体 $\kappa$ について、$c(\kappa)\colon\Delta^{r+1}\to\Delta^q$ を $c(\kappa)\bigl(\sum_{j=0}^{r+1}t_je_j\bigr)=t_0e_0+(1-t_0)\,\kappa\bigl(\sum_{j=1}^{r+1}\frac{t_j}{1-t_0}e_{j-1}\bigr)$（$t_0=1$ では $e_0$）で定める。$\Delta^q$ は有界なので連続であり、$c(\kappa)\circ d_0=\kappa$、$r\ge1$ では $c(\kappa)\circ d_j=c(\kappa\circ d_{j-1})$（$1\le j\le r+1$）、$r=0$ では $c(\kappa)\circ d_1$ は点 $e_0$ である。よって $0$ 鎖 $u=\sum_xc_xx$ に $\bigl(\sum_xc_x\bigr)e_0$ を、正の次数の鎖に $0$ を対応させる $\pi$ について $\partial c+c\partial=1+\pi$ である。$\partial\pi=\pi\partial=0$ なので、$H:=\sum_{l=1}^k\pi^{\otimes(l-1)}\otimes c\otimes1^{\otimes(k-l)}$ とおくと、各項が $\pi^{\otimes(l-1)}\otimes(1+\pi)\otimes1^{\otimes(k-l)}$ を与えて和が畳み込まれ、$\partial H+H\partial=1+\pi^{\otimes k}$ となる。したがって輪体 $z\in C_\bullet(\Delta^q)^{\otimes k}$ が正の次数であるか、次数 $0$ で $\pi^{\otimes k}z=0$ なら、$z=\partial(Hz)$ である。
1。次数 $0$ では $\Phi(y\otimes x):=\varepsilon(y)x^{\otimes k}$ とおく。$x^{\otimes k}$ は置換で動かないので $G$ 同変であり、自然である。全次数 $m-1$ まで、自然で $G$ 同変な鎖写像として定まったとする。$P_p$ の基底の元 $\beta$（$q=m-p$）について $z:=\Phi\bigl(\partial(\beta\otimes\iota_q)\bigr)$ は輪体である。$m=1$ では、$(p,q)=(1,0)$ なら $z=\varepsilon(d\beta)\,e_0^{\otimes k}=0$、$(p,q)=(0,1)$ なら $z=\varepsilon(\beta)(e_1^{\otimes k}+e_0^{\otimes k})$ でいずれも $\pi^{\otimes k}z=0$ である。よって $\Phi(\beta\otimes\iota_q):=Hz$ は $\partial\Phi(\beta\otimes\iota_q)=z$ をみたす。$g\in G$ と特異 $q$ 単体 $\sigma$ について $\Phi(g\beta\otimes\sigma):=g\cdot(\sigma_\sharp)^{\otimes k}\Phi(\beta\otimes\iota_q)$ とおく。$(1\otimes\sigma_\sharp)(\beta\otimes\iota_q)=\beta\otimes\sigma$ と、次数 $m-1$ での自然性・同変性から $\partial\Phi(g\beta\otimes\sigma)=g\cdot(\sigma_\sharp)^{\otimes k}z=\Phi\bigl(\partial(g\beta\otimes\sigma)\bigr)$ であり、$(f_\sharp)^{\otimes k}(\sigma_\sharp)^{\otimes k}=((f\circ\sigma)_\sharp)^{\otimes k}$ から自然性が、定義から同変性が従う。
2。次数 $0$ では $E:=0$ とおくと、$\Phi=\Phi'$ なので等式が成り立つ。全次数 $m-1$ まで定まったとし、基底 $\beta\otimes\iota_q$（全次数 $m\ge1$）について $z:=(\Phi+\Phi')(\beta\otimes\iota_q)+E\bigl(\partial(\beta\otimes\iota_q)\bigr)$ とおく。次数 $m-1$ での等式から $\partial E\partial=(\Phi+\Phi')\partial+E\partial\partial=(\Phi+\Phi')\partial$ なので $\partial z=0$ であり、$z$ の次数は $m\ge1$ だから $E(\beta\otimes\iota_q):=Hz$ は $\partial E(\beta\otimes\iota_q)=z$ をみたす。1 と同じく押し出して $G$ 同変に延ばすと、等式・自然性・同変性が成り立つ。
3。自然性を $\sigma\colon\Delta^q\to X$ に使うと $\Psi(y\otimes\sigma)=\Psi\bigl((1\otimes\sigma_\sharp)(y\otimes\iota_q)\bigr)=(\sigma_\sharp)^{\otimes k}\Psi(y\otimes\iota_q)$ である。$\sigma$ が $A$ を経由するなら $\sigma_\sharp$ の像は $C_\bullet(A)$ に入る。$\square$
$P$ が $\mathbb{F}_2$ の自由分解であることは使わず、$P$ の側が自由であることと、$C_\bullet(\Delta^q)^{\otimes k}$ が非輪状であることだけを使った。これは 導来関手 の命題「比較定理」と同じ形の論法で、模型 $\Delta^q$ の上で解いて押し出す点が違う。
$\mathbb{Z}/2=\{1,T\}$ について、$W_i$（$i\ge0$）を 1 つの元 $e_i$ を基底とする自由 $\mathbb{F}_2[\mathbb{Z}/2]$ 加群とし（$e_i$ は単体の頂点とは別の記号）、$de_i=(1+T)e_{i-1}$（$i\ge1$）、$de_0=0$、$\varepsilon(e_0)=1$ とおく。$(1+T)^2=0$ なので $W$ は鎖複体で、$\varepsilon d=0$ である。$\mathbb{Z}/2$ を $C_\bullet(X)^{\otimes2}$ に $\tau$ で作用させる（$k=2$）。
自然な準同型 $D'_i\colon C_m(X)\to(C\otimes C)_{m+i}$（$i\ge0$）の族で、$D'_{-1}:=0$ として $\partial D'_i+D'_i\partial=(1+\tau)D'_{i-1}$ をみたし、特異 $0$ 単体 $x$ について $D'_0x=x\otimes x$ となるものを高次対角という。
$\phi(e_i\otimes\sigma):=D'_i\sigma$、$\phi(Te_i\otimes\sigma):=\tau D'_i\sigma$ とおくと、$\phi(\partial(e_i\otimes\sigma))=\phi((1+T)e_{i-1}\otimes\sigma+e_i\otimes\partial\sigma)=(1+\tau)D'_{i-1}\sigma+D'_i\partial\sigma$ なので、高次対角は、$W_\bullet\otimes C_\bullet(X)\to C_\bullet(X)^{\otimes2}$ の正規化された自然な $\mathbb{Z}/2$ 同変鎖写像と同じものである。thm-cupi-boundary により標準の高次対角はその 1 つであり、lem-cupi-acyclic-carrier の 1 は明示式を使わずに存在を与える。
$D,D'$ を高次対角とする。自然な準同型 $E_i\colon C_m(X)\to(C\otimes C)_{m+i+1}$（$i\ge0$）で、$E_{-1}:=0$ として
$$
\partial E_i+E_i\partial=D_i+D'_i+(1+\tau)E_{i-1}
$$
をみたすものがある。さらに $\sigma$ の像が $A$ に含まれるなら $E_i\sigma\in C_\bullet(A)\otimes C_\bullet(A)$ である。
証明を開く
lem-cupi-acyclic-carrier の 2・3 を $D,D'$ に対応する $\phi,\phi'$ に使い、$E_i\sigma:=E(e_i\otimes\sigma)$ とおけばよい。$E(Te_{i-1}\otimes\sigma)=\tau E_{i-1}\sigma$ なので、$\partial E(e_i\otimes\sigma)+E(\partial(e_i\otimes\sigma))=\partial E_i\sigma+(1+\tau)E_{i-1}\sigma+E_i\partial\sigma$ である。
cup-$i$ 積による平方
$(X,A)$ を空間の対、$n\ge0$ とし、$a\in C^n(X,A)$ を余輪体とする。$0\le j\le n$ について
$$
Q^j[a]:=[a\smile_{n-j}a]\in H^{n+j}(X,A)
$$
とおき、$j>n$ では $Q^j:=0$ とする。
$(X,A)$ を空間の対、$n\ge0$、$0\le j\le n$ とする。
- （代表によらないこと）余輪体 $a\in C^n(X,A)$ について $a\smile_{n-j}a$ は $C^{n+j}(X,A)$ の余輪体であり、その類は $[a]$ だけで決まる。よって $Q^j\colon H^n(X,A)\to H^{n+j}(X,A)$ が定まる。
- （加法性）$Q^j(\alpha+\beta)=Q^j\alpha+Q^j\beta$。
- （自然性）対の写像 $f\colon(X,A)\to(Y,B)$ について $Q^j\circ f^*=f^*\circ Q^j$。
- （最上段）$Q^n[a]=[a\smile a]$。
- （最下段）$Q^0$ は恒等写像である。余鎖のレベルで $a\smile_na=a$ が成り立つ。
- （高次対角の選び方によらないこと）任意の高次対角 $D'$ について、$(a\otimes a)\circ D'_{n-j}$ は $C^{n+j}(X,A)$ の余輪体で、その類は $Q^j[a]$ である。
要点：$i:=n-j$ とおく。$(\ast)$ で $\delta a=0$ とすると下の添字の 2 項 $a\smile_{i-1}a$ が打ち消し合う。代表の取り替えや和の交差項は $(\ast)$ で具体的な余鎖の余境界として書け、選び方の違いは cor-cupi-uniqueness の $E_i$ から作った余鎖の余境界になる。
詳しい証明を開く
prop-cupi-relative により、以下に現れる余鎖はすべて $C^\bullet(X,A)$ に入る。
1：$(\ast)$ から $\delta(a\smile_ia)=a\smile_{i-1}a+a\smile_{i-1}a=0$。$b\in C^{n-1}(X,A)$、$a'=a+\delta b$ とすると $a'\smile_ia'+a\smile_ia=a\smile_i\delta b+\delta b\smile_ia+\delta b\smile_i\delta b$ である。$(\ast)$ と $\delta a=0$ から $\delta(a\smile_ib+b\smile_ia)=a\smile_i\delta b+\delta b\smile_ia$（$a\smile_{i-1}b$ と $b\smile_{i-1}a$ は 2 回ずつ現れる）。また $\delta(b\smile_i\delta b)=\delta b\smile_i\delta b+b\smile_{i-1}\delta b+\delta b\smile_{i-1}b$、$\delta(b\smile_{i-1}b)=\delta b\smile_{i-1}b+b\smile_{i-1}\delta b$（$b\smile_{i-2}b$ が 2 回現れる）なので、$\delta(b\smile_i\delta b+b\smile_{i-1}b)=\delta b\smile_i\delta b$。よって差は $\delta(a\smile_ib+b\smile_ia+b\smile_i\delta b+b\smile_{i-1}b)$ である。$n=0$ では $C^{-1}=0$ で代表は 1 つしかない。
2：余輪体 $a,c$ について $(a+c)\smile_i(a+c)=a\smile_ia+c\smile_ic+(a\smile_ic+c\smile_ia)$ で、$(\ast)$ から $a\smile_ic+c\smile_ia=\delta(a\smile_{i+1}c)$。
3：$f^\sharp$ は $C^\bullet(Y,B)$ を $C^\bullet(X,A)$ に写し、prop-cupi-relative により $\smile_i$ を保つ。
4：$i=0$ で $\smile_0$ はカップ積である。
5：特異 $n$ 単体 $\sigma$ について $D_n\sigma=\sigma\otimes\sigma$ なので $(a\smile_na)(\sigma)=a(\sigma)^2=a(\sigma)$。
6：$\lambda:=a\otimes a$ とおくと $\lambda\circ\partial=\delta a\otimes a+a\otimes\delta a=0$、$\lambda\circ\tau=\lambda$ である。cor-cupi-uniqueness の $E_i$ について、特異 $(n+j)$ 単体 $\sigma$ で$$(a\smile_ia)(\sigma)+\lambda(D'_i\sigma)=\lambda\bigl(\partial E_i\sigma+E_i\partial\sigma+(1+\tau)E_{i-1}\sigma\bigr)=\lambda(E_i\partial\sigma)$$であり、$w:=\lambda\circ E_i\in C^{n+j-1}(X)$ とおくと右辺は $(\delta w)(\sigma)$ である。像が $A$ に含まれる単体 $\gamma$ では $E_i\gamma\in C_\bullet(A)^{\otimes2}$ なので $w(\gamma)=0$、すなわち $w\in C^{n+j-1}(X,A)$ である。よって $\lambda\circ D'_i=a\smile_ia+\delta w$ は $C^\bullet(X,A)$ の余輪体で、類は $Q^j[a]$ に等しい。$\square$
4 の $[a\smile a]$ は $H^n(X,A)$ の類の平方であり、$A$ が開集合なら カップ積 の定義「開集合の対の相対カップ積」で $B=A$ とした積 $[a]\smile[a]$ に等しい（このとき $C^\bullet(X,A+A)=C^\bullet(X,A)$）。$Q^j$ は Steenrod平方 の構成に使われる。6 により、$Q^j$ は標準の高次対角という特定の式によらない。
def-cupi-product の式は、単体的集合 $K$ の $m$ 単体 $x$ と、順序を保つ単射 $[r]\to[m]$ が定める面 $x|S$ についてそのまま意味をもち、thm-cupi-boundary の証明も面の関係しか使わないので同じく成り立つ。さらに $\smile_i$ は、退化した単体の上で消える余鎖（正規化された余鎖）の全体 $N^\bullet(K)$ を保つ。
理由を開く
$x=s_jy$ が退化しているとする。隣り合う頂点 $j,j+1$ は、ある区間 $I_l$ に両方入る（$j$ が区切りの点 $n_l$ なら $j,j+1\in I_{l+1}$、そうでなければ $j$ を含む区間が $j+1$ も含む）。$S\supset\{j,j+1\}$ なら、$x|S$ は $y$ の面に $s_j$ の型の退化を合成したものになり退化している。よって $D_ix$ の各項は退化した因子をもち、$a,b\in N^\bullet(K)$ なら $(a\smile_ib)(x)=0$ である。
Steenrod平方 の定義「cup-$i$ 積による Steenrod 平方」は、この記事の $Q^j$ を特異余鎖の上でそのまま用いる。
例
$X=\Delta^2$、$\sigma=\iota_2$（恒等写像）とし、$1$ 余鎖 $a$ を $\sigma|[0,1]$ で $1$、ほかの特異 $1$ 単体で $0$、$b$ を $\sigma|[1,2]$ で $1$、ほかで $0$ とする。$(a\smile b)(\sigma)=a(\sigma|[0,1])\,b(\sigma|[1,2])=1$、$(b\smile a)(\sigma)=0$ なので、$a\smile b\ne b\smile a$ である。一方 $1$ 単体 $\kappa$ では $(a\smile_1b)(\kappa)=a(\kappa)b(\kappa)=0$ なので $\delta(a\smile_1b)(\sigma)=0$ であり、$(\ast)$ の右辺の 4 項は $\sigma$ で $1,0,1,0$ となって和が $0$ に合う。
確かめ
$m=2$、$i=1$ の区切り $(n_0,n_1)$ は $(0,1),(0,2),(1,2)$ で、$D_1\sigma=\sigma\otimes\sigma|[0,1]+\sigma|\{0,2\}\otimes\sigma+\sigma\otimes\sigma|[1,2]$ である。$\delta a(\sigma)=a(\sigma|[1,2])+a(\sigma|\{0,2\})+a(\sigma|[0,1])=1$ なので、$(\delta a\smile_1b)(\sigma)=\delta a(\sigma)\bigl(b(\sigma|[0,1])+b(\sigma|[1,2])\bigr)=1$、$(a\smile_1\delta b)(\sigma)=a(\sigma|\{0,2\})\,\delta b(\sigma)=0$ である。
$0$ 余輪体 $a$（弧状連結成分ごとに定数の関数）について $Q^0[a]=[a\smile_0a]=[a^2]=[a]$ である。$1$ 余輪体 $a$ については $Q^0[a]=[a\smile_1a]$、$Q^1[a]=[a\smile a]=[a]^2$ で、$1$ 単体 $\kappa$ 上で $(a\smile_1a)(\kappa)=a(\kappa)^2=a(\kappa)$ である。実射影平面 $\mathbb{R}P^2$ の生成元 $\alpha\in H^1(\mathbb{R}P^2)$ では $\alpha^2\ne0$ なので（実射影空間 の定理「$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジー環」）、$Q^1\alpha\ne0$ である。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| def-cupi-higher-diagonal の $D'_0x=x\otimes x$ | すべての $i$ で $D'_i=0$ | thm-cupi-square の 6：一点 $\mathrm{pt}$ の値 $1$ の $0$ 余鎖 $a$ で $(a\otimes a)\circ D'_0=0$ だが $Q^0[a]=[a]\ne0$ |
| lem-cupi-acyclic-carrier の $P_p$ が自由 | $G=\mathbb{Z}/2$、$k=2$、$P=\mathbb{F}_2$（次数 $0$ だけ、自明な作用、$\varepsilon=\mathrm{id}$） | 存在：$\tau D=D$、$Dx=x\otimes x$ となる自然な鎖写像 $D\colon C_\bullet\to C_\bullet^{\otimes2}$ はない |
| thm-cupi-square の 1 の $a$ が余輪体 | $X=\Delta^3$、$\sigma=\iota_3$、$a$ を $\sigma$ の辺 $[0,1]$、$[1,2]$ で $1$、ほかの特異 $1$ 単体で $0$ | $a\smile a$ が余輪体でない：$\delta(a\smile a)(\sigma)=1$ |
確かめ
1 行目：$D'_i=0$ は自然で境界公式を自明にみたす。$H^0(\mathrm{pt})=\mathbb{F}_2$ は値 $1$ の $0$ 余鎖 $a$ の類で生成され、$Q^0$ は thm-cupi-square の 5 により恒等写像である。
2 行目：そのような $D$ があったとして $\Delta^1$ の $\iota_1$ に使い、$u:=D\iota_1\in(C\otimes C)_1=C_0\otimes C_1\oplus C_1\otimes C_0$ とおく。$\tau$ は 2 つの直和成分を入れ替えるので、$\tau u=u$ から $u=y+\tau y$（$y\in C_0\otimes C_1$）と書け、$\partial u=(1+\tau)\partial y$ である。$C_0\otimes C_0$ の基底 $x\otimes x'$ について $(1+\tau)(x\otimes x')=x\otimes x'+x'\otimes x$ なので、$(1+\tau)$ の像の元は $x\otimes x$ の形の基底の係数がすべて $0$ である。ところが、$\Delta^1$ の頂点の $0$ 単体を $v_0,v_1$ とすると $\partial u=D(\partial\iota_1)=v_1\otimes v_1+v_0\otimes v_0$ は $v_0\otimes v_0$ の係数が $1$ で、矛盾する。自由な $W$ では $\tau$ と $\phi$ の値が $e_i$ と $Te_i$ で別々に決められるので、この障害が消える。
3 行目：$\delta(a\smile a)(\sigma)$ は 4 つの面 $\sigma|([3]\setminus\{v\})$ での値の和であり、$2$ 単体 $\sigma|\{p,q,r\}$（$p< q< r$）での値は $a(\sigma|\{p,q\})\,a(\sigma|\{q,r\})$ である。面 $\{1,2,3\}$ では $a(\sigma|[1,2])a(\sigma|[2,3])=0$、$\{0,2,3\}$ では $a(\sigma|\{0,2\})a(\sigma|[2,3])=0$、$\{0,1,3\}$ では $a(\sigma|[0,1])a(\sigma|\{1,3\})=0$、$\{0,1,2\}$ では $a(\sigma|[0,1])a(\sigma|[1,2])=1$ で、和は $1$ である。$(\ast)$ でいえば $\delta a\smile a+a\smile\delta a\ne0$ が残る。
関連項目
参考文献
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