連続関数空間C(K)
概要
連続関数空間 $C(K)$（space of continuous functions）とは、コンパクト Hausdorff 空間 $K$ 上の実数値または複素数値の連続関数の全体に、最大値ノルム $\|f\|_\infty=\max_{x\in K}|f(x)|$ を入れた Banach 空間である。積についても閉じた可換な Banach 代数で、$K$ が無限集合なら $c_0$ を等長に含むので反射的でなく、どのノルム空間もある $C(K)$ の部分空間と等長同型になる。双対空間の単位球の端点は点での値をとる汎関数の絶対値 $1$ の定数倍であり、これから $C(K)$ と $C(L)$ が線形に等長同型であることと $K$ と $L$ が同相であることの同値性（Banach–Stone の定理）が従う。
前提知識: Banach空間, コンパクト空間, Hausdorff空間, Urysohnの補題, 連続双対空間
連続関数空間 $C(K)$（space of continuous functions）は、コンパクト Hausdorff 空間 $K$ の上の連続関数の全体に、最大値ノルム $\|f\|_\infty=\max_{x\in K}|f(x)|$ を入れた Banach 空間である。関数の和・スカラー倍・積をもち、関数解析で最もよく使われる Banach 空間の 1 つである。有限集合なら成分ごとの最大値ノルムをもつ $\mathbb{K}^n$、閉区間なら区間上の連続関数の空間、$K=\{0\}\cup\{1/m\mid m\ge1\}$ なら収束数列の空間になる。
$C(K)$ は「十分に大きい」空間でもあり、「$K$ を覚えている」空間でもある。どのノルム空間も、ある $C(K)$ の部分空間と等長同型になる。一方、$C(K)$ と $C(L)$ が線形な等長同型でつながるのは $K$ と $L$ が同相なときに限る（Banach–Stone の定理）。この記事では、$C(K)$ の基本性質、$K$ が無限集合のときに $c_0$ を含んで反射的でないこと、ノルム空間の埋め込み、双対空間の単位球の端点が点での値の定数倍であること（Arens–Kelley の定理）を証明し、それを使って Banach–Stone の定理を証明する。
定義と基本性質
以下、スカラー体 $\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする。
$K$ を空でないコンパクト Hausdorff 空間とする。連続関数 $f\colon K\to\mathbb{K}$ の全体を $C(K)$（スカラーを明示するときは $C(K;\mathbb{K})$）と書き、各点ごとの和・スカラー倍・積で $\mathbb{K}$ 上の代数とみる。$f\in C(K)$ の最大値ノルム（上限ノルム、一様ノルム）を
$$
\|f\|_\infty:=\max_{x\in K}|f(x)|
$$
と定める。
$|f|$ はコンパクト空間上の連続関数なので最大値をとり、$\|f\|_\infty$ は有限の値である。$\|f_n-f\|_\infty\to0$ は $f_n$ が $f$ に $K$ 上で一様収束することと同じである。以下 $\|\cdot\|_\infty$ を単に $\|\cdot\|$ と書くことがある。定数関数 $1$ を単に $1$ と書く。
- $(C(K),\|\cdot\|_\infty)$ は Banach 空間である。
- $\|fg\|_\infty\le\|f\|_\infty\|g\|_\infty$、$\|1\|_\infty=1$ であり、$C(K)$ は単位元をもつ可換な Banach代数 である。
- $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ なら、複素共役 $f\mapsto\bar f$ について $\|\bar ff\|_\infty=\|f\|_\infty^2$ が成り立つ。
1：$(f_n)$ を Cauchy 列とする。各 $x$ で $(f_n(x))$ は $\mathbb{K}$ の Cauchy 列なので極限 $f(x)$ をもつ。$\varepsilon>0$ について $m,n\ge N$ なら $\|f_m-f_n\|\le\varepsilon$ となる $N$ をとり、$m\to\infty$ とすると、$n\ge N$ ですべての $x$ について $|f(x)-f_n(x)|\le\varepsilon$ である。$f$ の連続性：$x_0\in K$ について、$f_N$ が連続なので $x_0$ の近傍 $U$ で $|f_N(x)-f_N(x_0)|<\varepsilon$ となるものがあり、$x\in U$ なら $|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|<3\varepsilon$ である。よって $f\in C(K)$、$\|f_n-f\|\to0$ である。2：各点で $|f(x)g(x)|\le\|f\|\|g\|$ である。3：$|\bar f(x)f(x)|=|f(x)|^2$ の最大値は $\|f\|^2$ である。$\square$
1 は有界連続関数の空間の完備性（Banach空間 の命題「有界連続関数の空間の完備性」）の特別な場合でもある。3 は、$\mathbb{K}=\mathbb{C}$ の $C(K)$ が複素共役を対合とする可換な $C^*$-環であることを言っている。
$x\in K$ について、点 $x$ での値をとる写像 $\delta_x\colon C(K)\to\mathbb{K}$、$\delta_x(f):=f(x)$ を点評価という。$C(K)$ の連続双対空間を $C(K)^*$、その閉単位球を $B_{C(K)^*}$ と書く。
- 各 $x\in K$ について $\delta_x\in C(K)^*$ で、$\|\delta_x\|=1$ である。
- 閉集合 $F\subset K$ と $x\notin F$ について、$f\in C(K)$ で $0\le f\le1$、$f(x)=1$、$F$ の上で $f=0$ となるものがある。とくに $C(K)$ は $K$ の点を分離し、$K$ の位相は「すべての $f\in C(K)$ を連続にする最弱の位相」に一致する。
- 写像 $\delta\colon K\to C(K)^*$、$x\mapsto\delta_x$ は単射で、$C(K)^*$ に弱スター位相を入れると、像への同相写像である。
- $K$ が $n$ 点の有限集合なら $\dim C(K)=n$ であり、$K$ が無限集合なら $C(K)$ は無限次元である。
1：$|f(x)|\le\|f\|$ で、$f=1$ で等号が成り立つ。2：コンパクト Hausdorff 空間は正規空間なので、Urysohnの補題 を閉集合 $\{x\}$ と $F$ に使えばよい（同記事の例「コンパクト Hausdorff 空間」）。位相の主張：各 $f$ は $K$ の位相で連続である。逆に $x\in U$（$U$ は開集合）とし、$F:=K\setminus U$ に対する前半の $f$ をとると、$\{y\mid f(y)>1/2\}$ は $f$ を連続にする位相で開いていて、$x$ を含み $U$ に含まれる。3：単射性は 2 による。$K$ のネット $x_\alpha\to x$ について各 $f$ で $f(x_\alpha)\to f(x)$ なので、$\delta_{x_\alpha}\to\delta_x$（弱スター収束）であり、$\delta$ は連続である。$K$ はコンパクト、弱スター位相は Hausdorff なので、連続な単射 $\delta$ は像への同相写像である。4：$K$ が有限なら Hausdorff 性から離散空間で、$C(K)=\mathbb{K}^K$ である。$K$ が無限なら、相異なる点 $x_1,\dots,x_n$ をとり、2 で $\{x_i\}$ と閉集合 $\{x_j\mid j\neq i\}$ を分ける $f_i$（$f_i(x_i)=1$、$f_i(x_j)=0$）をとると、$f_1,\dots,f_n$ は 1 次独立である。$\square$
- $K=\{1,\dots,n\}$（離散空間）なら、$C(K)$ は $\mathbb{K}^n$ に最大値ノルム $\max_i|x_i|$ を入れた空間である。
- $K=\{0\}\cup\{1/m\mid m\ge1\}\subset\mathbb{R}$ とする。$1/m$ はどれも孤立点で、$f$ が $0$ で連続であることは $f(1/m)\to f(0)$ と同じなので、$f\mapsto(f(1/m))_{m\ge1}$ は $C(K)$ から収束数列の空間 $c$（上限ノルム）への等長同型である。$f(0)=0$ となる $f$ の全体は、$0$ に収束する数列の空間 $c_0$ に対応する。
- $K=[a,b]$ なら、Weierstrass の近似定理により多項式の全体が $C([a,b])$ で稠密である（Stone–Weierstrassの定理 の系「多変数の多項式による近似」）。
- $K_1,K_2$ がコンパクト Hausdorff 空間なら、直和（交わらない和）$K_1\sqcup K_2$ について、$f\mapsto(f|_{K_1},f|_{K_2})$ は $C(K_1\sqcup K_2)$ から $C(K_1)\oplus C(K_2)$（ノルムは 2 つのノルムの大きい方）への等長同型である。
- 近似：点を分離し、どの点でも消えない部分代数（複素数値なら共役で閉じたもの）は稠密である（Stone–Weierstrassの定理）。
- 可分性：$K$ が距離化可能なら $C(K)$ は可分で、逆に $C(K)$ が可分なら $K$ は距離化可能である（引用先は実数値の場合を述べている。複素数値の場合は実部と虚部に分けて実数値の場合に帰着する。可分Banach空間 の定理「$C(K)$ の可分性」と命題「可分な $C(K)$ と距離化可能性」）。
- コンパクト集合：$K$ がコンパクト距離空間なら、$C(K)$ の部分集合がコンパクトであることは、閉で有界で同程度連続であることと同値である（Arzelà–Ascoliの定理）。
- 双対空間：$K$ がコンパクト距離空間なら、$C(K;\mathbb{R})^*$ は全変動をノルムとする有限な符号付き Borel 測度の空間と等長同型である（Radon測度 の定理「C(X)の双対空間」）。正値な汎関数については、一般のコンパクト Hausdorff 空間で測度による表示がある（Riesz–Markov–角谷の表現定理）。この記事の証明は測度を使わない。
- 環としての構造：環 $C(K;\mathbb{R})$ の極大イデアルは点で消える関数のイデアルであり、環の同型類が $K$ を決める（連続関数環 の定理「コンパクト Hausdorff 空間と連続関数環」）。単位元をもつ可換な $C^*$-環は、ある $C(K;\mathbb{C})$ と等長 $*$-同型である（Gelfand–Naimarkの定理）。
無限集合の上の $C(K)$ と反射性
$K$ が無限集合のコンパクト Hausdorff 空間なら、空でない開集合の列 $U_1,U_2,\dots$ で互いに交わらないものと、点 $x_n\in U_n$ がある。
すべての点が孤立点なら、1 点集合の全体は $K$ の開被覆で、有限部分被覆がないので $K$ はコンパクトでない。よって孤立点でない点 $p$ がある。Hausdorff 空間では、孤立点でない点の近傍はどれも無限個の点を含む（近傍 $V$ が有限なら、$V$ の $p$ 以外の各点と $p$ を分ける近傍の共通部分は $\{p\}$ だけの開集合になる）。$V_0:=K$ とおき、帰納的に、$p$ の開近傍 $V_{n-1}$ が与えられたとき、$x_n\in V_{n-1}\setminus\{p\}$ をとり、$x_n$ と $p$ の交わらない開近傍 $U'_n$、$V'_n$ をとって、$U_n:=U'_n\cap V_{n-1}$、$V_n:=V'_n\cap V_{n-1}$ とおく。$m< n$ なら $U_n\subset V_{n-1}\subset V_m$ で $U_m\cap V_m=\emptyset$ なので、$U_m\cap U_n=\emptyset$ である。$\square$
$c_0$ を $0$ に収束する $\mathbb{K}$ の数列 $a=(a_n)_{n\ge1}$ の空間（ノルムは $\|a\|_\infty=\sup_n|a_n|$）とする。
$K$ が無限集合のコンパクト Hausdorff 空間なら、$c_0$ から $C(K)$ への線形な等長写像がある。とくに、空でないコンパクト Hausdorff 空間 $K$ について次は同値である。
- $K$ は有限集合である。
- $C(K)$ は有限次元である。
- $C(K)$ は反射的Banach空間である。
要点：交わらない開集合 $U_n$ に台をもつ山形の関数 $f_n$ を並べると、$\sum_na_nf_n$ のノルムは $\sup_n|a_n|$ になる。
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lem-ck-disjoint の $U_n$、$x_n$ をとり、prop-ck-points の 2 を閉集合 $K\setminus U_n$ と点 $x_n$ に使って、$0\le f_n\le1$、$f_n(x_n)=1$、$U_n$ の外で $f_n=0$ となる $f_n\in C(K)$ をとる。$U_n$ は互いに交わらないので、各点 $x$ で $f_n(x)\neq0$ となる $n$ は高々 1 つである。$a\in c_0$ について $J_N(a):=\sum_{n\le N}a_nf_n\in C(K)$ とおくと、$M>N$ なら $\|J_M(a)-J_N(a)\|\le\sup_{n>N}|a_n|\to0$ なので、$J_N(a)$ は $C(K)$ で収束し、極限 $J(a)$ は各点で $J(a)(x)=\sum_na_nf_n(x)$（高々 1 項）である。$|J(a)(x)|\le\sup_n|a_n|$ と $J(a)(x_n)=a_n$ から $\|J(a)\|=\|a\|_\infty$ である。$J$ は線形なので、$c_0$ から $C(K)$ への線形な等長写像である。
同値性：1 ⇔ 2 は prop-ck-points の 4 である。2 ⇒ 3 は有限次元のノルム空間が反射的であることによる。3 ⇒ 1：$K$ が無限なら、$J(c_0)$ は完備な空間の等長像なので $C(K)$ の閉部分空間で、$c_0$ と等長同型である。反射的な空間の閉部分空間は反射的で（反射的Banach空間 の定理「閉部分空間の反射性」）、反射性は等長同型で保たれる（同記事の命題「等長同型による不変性」）が、$c_0$ は反射的でない（同記事の例「$c_0$・$\ell^1$・$L^1[0,1]$ は反射的でない」）。よって $C(K)$ は反射的でない。$\square$
とくに、$C([0,1])$ や収束数列の空間 $c=C(\{0\}\cup\{1/m\})$ は反射的でない。無限次元の $C(K)$ は、どれも $c_0$ という同じ「部品」を含んでいる。
ノルム空間の $C(K)$ への埋め込み
$X$ を $\mathbb{K}$ 上のノルム空間、$K:=B_{X^*}$ を連続双対空間の閉単位球に弱スター位相を入れた空間とする。$K$ はコンパクト Hausdorff 空間であり、$(Jx)(\varphi):=\varphi(x)$ で定まる $J\colon X\to C(K)$ は線形な等長写像である。$X$ が可分なら、$K$ は距離化可能にとれる。
$K$ のコンパクト性は Banach–Alaogluの定理 による。弱スター位相は Hausdorff である（$\varphi\neq\psi$ なら $\varphi(x)\neq\psi(x)$ となる $x$ があり、$x$ での値で分けられる）。$Jx$ は弱スター位相の定義から $K$ 上で連続で、$J$ は線形である。$|\varphi(x)|\le\|x\|$ から $\|Jx\|\le\|x\|$ であり、$x\neq0$ なら $\|\varphi\|=1$、$\varphi(x)=\|x\|$ となる $\varphi$ がある（連続双対空間 の定理「点でノルムを実現する汎関数」）ので、$\|Jx\|=\|x\|$ である。$X$ が可分なら、双対の閉単位球は弱スター位相で距離化可能である（弱スター位相 の命題「可分な空間の双対閉球」）。$\square$
前半は、$X$ が実 Banach 空間の場合の Bre11 Exercise 3.20 の 1（p. 84、解答は p. 389）である。$X$ が Banach 空間なら $J(X)$ は閉部分空間なので、どの Banach 空間も、あるコンパクト Hausdorff 空間 $K$ の $C(K)$ の閉部分空間と等長同型である。この意味で $C(K)$ の形の空間は Banach 空間の中で「普遍的」である。
双対空間の単位球の端点
凸集合の端点(凸集合)（2 点を結ぶ線分の内部の点にならない点）を $\operatorname{ext}$ で表す。Banach–Stone の定理の証明の鍵は、$B_{C(K)^*}$ の端点が点評価の定数倍で尽きることである。まず、積を保つ汎関数が点評価であることを示す。
線形写像 $\psi\colon C(K)\to\mathbb{K}$ が $\psi(1)=1$ とすべての $f,g$ での $\psi(fg)=\psi(f)\psi(g)$ を満たすなら、ただ 1 つの $x\in K$ について $\psi=\delta_x$ である。
ある $x$ で $\ker\psi\subset\{f\mid f(x)=0\}$ なら、各 $f$ について $f-\psi(f)1\in\ker\psi$ なので $f(x)=\psi(f)$、すなわち $\psi=\delta_x$ である。そうでないと仮定すると、各 $x$ について $\psi(f_x)=0$、$f_x(x)\neq0$ となる $f_x$ がある。開集合 $\{f_x\neq0\}$ は $K$ を覆うので、有限個 $x_1,\dots,x_n$ で覆え、$g:=\sum_i\overline{f_{x_i}}f_{x_i}$ は $K$ の各点で正である。$\psi(g)=\sum_i\psi(\overline{f_{x_i}})\psi(f_{x_i})=0$ だが、$1/g\in C(K)$ について $1=\psi(g\cdot(1/g))=\psi(g)\psi(1/g)=0$ となり矛盾する。一意性は prop-ck-points の 2（点の分離）による。$\square$
$\operatorname{ext}B_{C(K)^*}=\{c\,\delta_x\mid x\in K,\ c\in\mathbb{K},\ |c|=1\}$ である。$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ なら右辺は $\{\pm\delta_x\mid x\in K\}$ である。
要点：$0\le f\le1$ について $\varphi$ を $\varphi(f\,\cdot)$ と $\varphi((1-f)\,\cdot)$ に分けるとノルムが足し合わさるので、端点では $\varphi(fg)$ が $\varphi(g)$ の定数倍になり、$\varphi/\varphi(1)$ は積を保つ。
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段 1（$\|\psi\|\le1$、$\psi(1)=1$ なら $\psi$ は正値）。$0\le f\le1$ について $h:=2f-1$ は実数値で $\|h\|\le1$ である。$\psi(h)=a+ib$（$a,b\in\mathbb{R}$）とおく。$\mathbb{K}=\mathbb{C}$ なら、実数 $t$ について $\|h+it\|\le\sqrt{1+t^2}$ なので $a^2+(b+t)^2\le1+t^2$、すなわち $a^2+b^2+2bt\le1$ がすべての $t$ で成り立ち、$b=0$ である（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ なら初めから $b=0$）。よって $\psi(h)\in[-1,1]$ で、$\psi(f)=(\psi(h)+1)/2\in[0,1]$ である。
段 2（$c\delta_x$ は端点）。$|c|=1$ とし、$c\delta_x=\frac12(\varphi_1+\varphi_2)$（$\varphi_i\in B_{C(K)^*}$）とする。$\psi_i:=\bar c\varphi_i$ とおくと $\delta_x=\frac12(\psi_1+\psi_2)$、$|\psi_i(1)|\le1$、$\frac12(\psi_1(1)+\psi_2(1))=1$ なので $\psi_i(1)=1$ であり、段 1 により $\psi_i$ は正値である。$g\ge0$、$g(x)=0$ なら $\psi_i(g)\ge0$ と $\psi_1(g)+\psi_2(g)=2g(x)=0$ から $\psi_i(g)=0$ である。$x$ で消える一般の $g$ は、実部と虚部の正の部分と負の部分（どれも $0$ 以上で $x$ で消える）の 1 次結合なので $\psi_i(g)=0$ であり、$\psi_i(f)=\psi_i(f-f(x)1)+f(x)=f(x)$ となる。よって $\varphi_i=c\delta_x$ であり、$c\delta_x$ は端点である（端点であることは、2 点の中点にならないことで判定できる。端点(凸集合) の命題「端点の言いかえ」）。
段 3（端点はこの形）。$\varphi$ を端点とする。$\varphi\neq0$（$0=\frac12(\psi+(-\psi))$）で、$\|\varphi\|<1$ なら $\varphi=\|\varphi\|\cdot\frac{\varphi}{\|\varphi\|}+(1-\|\varphi\|)\cdot0$ と書けるので、$\|\varphi\|=1$ である。$0\le f\le1$ を固定し、$\varphi_f(g):=\varphi(fg)$ とおく。$\varphi=\varphi_f+\varphi_{1-f}$ なので $\|\varphi_f\|+\|\varphi_{1-f}\|\ge1$ である。逆に、$\varepsilon>0$ について $\|g_1\|,\|g_2\|\le1$ で $\varphi_f(g_1)\ge\|\varphi_f\|-\varepsilon$、$\varphi_{1-f}(g_2)\ge\|\varphi_{1-f}\|-\varepsilon$（左辺は実数）となるものをとる（絶対値 $1$ の定数を掛けて値を $0$ 以上の実数にできる）。$|fg_1+(1-f)g_2|\le f+(1-f)=1$ なので $$\|\varphi_f\|+\|\varphi_{1-f}\|-2\varepsilon\le\varphi\bigl(fg_1+(1-f)g_2\bigr)\le1$$ であり、$t:=\|\varphi_f\|$ とおくと $\|\varphi_{1-f}\|=1-t$ である。$0< t< 1$ なら $\varphi=t\cdot\frac{\varphi_f}{t}+(1-t)\cdot\frac{\varphi_{1-f}}{1-t}$ は $B_{C(K)^*}$ の 2 点の凸結合なので、端点であることから $\varphi_f=t\varphi$ である。$t=0$ なら $\varphi_f=0=t\varphi$、$t=1$ なら $\varphi_{1-f}=0$ で $\varphi_f=\varphi=t\varphi$ である。こうして、$0\le f\le1$ ごとに定数 $t_f$ があって、すべての $g$ で $\varphi(fg)=t_f\varphi(g)$ が成り立つ。
$\varphi(1)\neq0$ である：$\varphi(1)=0$ なら $0\le f\le1$ について $\varphi(f)=t_f\varphi(1)=0$ であり、どの関数も $0\le f\le1$ の形の関数の 1 次結合なので $\varphi=0$ となって矛盾する。$\psi:=\varphi/\varphi(1)$ とおくと、$g=1$ とおいて $t_f=\psi(f)$ であり、$\psi(fg)=\psi(f)\psi(g)$ が $0\le f\le1$ と任意の $g$ で成り立つ。両辺は $f$ について線形なので、すべての $f,g$ で成り立つ。lem-ck-character により $\psi=\delta_x$ となる $x$ があり、$\varphi=\varphi(1)\delta_x$、$|\varphi(1)|=\|\varphi\|=1$ である。$\square$
この定理は R. Arens と J. L. Kelley（1947）による（GJ02 Theorem 4、p. 355）。上の証明は測度を使わずに汎関数の分解だけで端点を決めている。$K$ がコンパクト距離空間で $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ なら、$C(K)^*$ を符号付き測度の空間とみて（Radon測度）、端点は全変動 $1$ の測度のうち 1 点に集中したものだと言い換えられる。
Banach–Stone の定理
$K$、$L$ を空でないコンパクト Hausdorff 空間とし、$T\colon C(K)\to C(L)$ を全射な線形等長写像とする（スカラー体は共通）。このとき、同相写像 $\tau\colon L\to K$ と、$|h|=1$ を満たす連続関数 $h\colon L\to\mathbb{K}$ がただ 1 組あって、すべての $f\in C(K)$ について
$$
(Tf)(y)=h(y)\,f(\tau(y))\qquad(y\in L)
$$
となる。逆に、同相写像 $\tau$ と $|h|=1$ の連続関数 $h$ について、この式は全射な線形等長写像を定める。
要点：$T$ の双対写像 $T^*$ は双対の単位球の間の全単射なアフィン写像なので、端点を端点に写す。thm-ck-extreme により $T^*\delta_y=h(y)\delta_{\tau(y)}$ となり、これが求める式である。
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段 1（双対写像）。$T^*\colon C(L)^*\to C(K)^*$、$T^*\psi:=\psi\circ T$ とおく。$T$ は閉単位球を閉単位球の上へ写すので $\|T^*\psi\|=\sup_{\|f\|\le1}|\psi(Tf)|=\sup_{\|g\|\le1}|\psi(g)|=\|\psi\|$ である。$T^{-1}$ も全射な線形等長写像で $(T^{-1})^*$ が $T^*$ の逆なので、$T^*$ は $B_{C(L)^*}$ から $B_{C(K)^*}$ の上への線形な全単射である。線形な全単射は凸結合を保つので、端点の全体を端点の全体の上へ写す。
段 2（$h$ と $\tau$）。$c\delta_x=c'\delta_{x'}$（$|c|=|c'|=1$）なら、$1$ での値から $c=c'$、点の分離から $x=x'$ である。thm-ck-extreme により、各 $y\in L$ について $T^*\delta_y=h(y)\delta_{\tau(y)}$ となる $h(y)$（$|h(y)|=1$）と $\tau(y)\in K$ がただ 1 つずつある。$f\in C(K)$ について $$(Tf)(y)=\delta_y(Tf)=(T^*\delta_y)(f)=h(y)f(\tau(y))$$ である。$f=1$ とすると $h=T1\in C(L)$ なので $h$ は連続である。
段 3（$\tau$ は同相写像）。$f\in C(K)$ について $f\circ\tau=\bar h\cdot Tf$ は連続なので、prop-ck-points の 2（$K$ の位相は $C(K)$ の関数を連続にする最弱の位相）により $\tau$ は連続である。全射：$x\in K$ について、$\delta_x$ は端点なので段 1 から端点 $\psi\in B_{C(L)^*}$ で $T^*\psi=\delta_x$ となるものがあり、$\psi=c\delta_y$ と書けるので $\delta_x=c\,h(y)\delta_{\tau(y)}$、よって $x=\tau(y)$ である。単射：$\tau(y)=\tau(y')=x$ なら $T^*(\overline{h(y)}\delta_y)=\delta_x=T^*(\overline{h(y')}\delta_{y'})$ で、$T^*$ は単射なので $\overline{h(y)}\delta_y=\overline{h(y')}\delta_{y'}$、よって $y=y'$ である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射なので、$\tau$ は同相写像である。一意性は段 2 の表示の一意性による。
逆向き：$\tau$ は全射なので $\|h\cdot(f\circ\tau)\|=\|f\circ\tau\|=\|f\|$ であり、$g\in C(L)$ について $f:=(\bar hg)\circ\tau^{-1}$ が $Tf=g$ を満たすので全射である。$\square$
コンパクト Hausdorff 空間 $K$ と $L$ が同相であることと、$C(K)$ と $C(L)$ が線形な等長写像で同型であることは同値である。
同相写像 $\tau\colon L\to K$ があれば $f\mapsto f\circ\tau$ は全射な線形等長写像である。逆は thm-ck-banach-stone による。$\square$
コンパクト距離空間の場合は S. Banach が 1932 年の著書で、一般のコンパクト Hausdorff 空間の場合は M. H. Stone が 1937 年に示した（GJ02 p. 353）。上の端点による証明は Arens と Kelley による（GJ02 Theorem 2・Lemma 3・Theorem 4 と Theorem 2 の証明、pp. 355–356。そこでは実数値の場合を述べている）。Mazur–Ulam の定理（0 を 0 に写す実ノルム空間の間の全射な等長写像は線形である。GJ02 Theorem 1、p. 353）と合わせると、実数値の場合には、$C(K)$ と $C(L)$ が距離空間として等長であるだけで $K$ と $L$ は同相になる。
反例
thm-ck-banach-stone のどの仮定も外せない。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $T$ が等長（有界な線形同型に弱める） | $K_1:=\{0\}\cup\{1/m\mid m\ge1\}$、$K_2:=K_1\sqcup K_1$ | $C(K_1)\cong C(K_2)$（線形同相）だが $K_1$ と $K_2$ は同相でない |
| $T$ が全射 | Cantor 集合 $\Delta$ から $[0,1]$ への連続な全射 $q$ による $f\mapsto f\circ q$ | 線形な等長写像 $C([0,1])\to C(\Delta)$ があるが $[0,1]$ と $\Delta$ は同相でない |
| $K$ が Hausdorff | 2 点の密着空間 $K=\{a,b\}$ と 1 点空間 $L$ | $C(K)$ と $C(L)$ は等長同型だが $K$ と $L$ は同相でない |
1 行目：ex-ck-examples の 2 と 4 により、$C(K_1)$ は収束数列の空間 $c$、$C(K_2)$ は $c\oplus c$（ノルムは大きい方）と等長同型である。$\Phi(x):=(\ell,x_1-\ell,x_2-\ell,\dots)$（$\ell:=\lim_mx_m$）は $c$ から $c_0$ への線形な全単射で、$\|\Phi x\|\le2\|x\|$、逆写像 $(y_0,y_1,\dots)\mapsto(y_0+y_m)_{m\ge1}$ のノルムも $2$ 以下である。$c_0\oplus c_0$ は、2 つの列を交互に並べる写像で $c_0$ と等長同型である。よって $C(K_2)\cong c\oplus c\cong c_0\oplus c_0\cong c_0\cong c\cong C(K_1)$ は有界な線形同型でつながる。一方、同相写像は孤立点でない点を孤立点でない点に写すが、$K_1$ では孤立点でない点は $0$ の 1 つ、$K_2$ では 2 つなので、$K_1$ と $K_2$ は同相でない。
2 行目：Cantor集合 の命題「直積空間との同相」により $\Delta$ は $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ と同相であり、$q(s):=\sum_{k\ge0}s_k2^{-k-1}$ は連続（各項は座標の連続関数で、級数は一様収束する）かつ全射（2 進展開）である。$q$ が全射なので $\|f\circ q\|=\|f\|$ であり、$f\mapsto f\circ q$ は線形な等長写像である。$[0,1]$ は連結で $\Delta$ は連結でない（Cantor集合 の命題「完全性と完全不連結性」）ので同相でない。$q$ は単射でない（たとえば $s=(0,1,1,1,\dots)$ と $s'=(1,0,0,\dots)$ はどちらも $1/2$ に写る）ので、その 2 点で異なる値をとる $\Delta$ 上の連続関数（prop-ck-points の 2）は像に入らず、この写像は全射でない。
3 行目：$K$ の開集合は $\emptyset$ と $K$ だけなので、連続関数 $f\colon K\to\mathbb{K}$ について $f(a)\neq f(b)$ なら $f(a)$ の近傍で $f(b)$ を含まないものの逆像 $\{a\}$ が開集合になって矛盾する。よって $C(K)$ は定数関数だけからなり、$f\mapsto f(a)$ で $\mathbb{K}=C(L)$ と等長同型である。$K$ と $L$ は点の個数が違うので同相でない。$K$ はコンパクトだが Hausdorff でない。
1 行目は、Banach 空間としての線形同相の類だけでは $C(K)$ は $K$ を覚えていないことを示している。$K$ を決めるのは、等長写像という計量の情報である。
関連項目
参考文献
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