商空間の分離公理

$d$ を集合 $X$ 上の擬距離（$d(x,y)=0$ でも $x=y$ とは限らない距離）とし、開球 $B(x,\varepsilon):=\{y\mid d(x,y)<\varepsilon\}$ を開基とする位相を入れる。$d(x,y)=0$ なら、$x$ を含む開集合は開球 $B(x,\varepsilon)$ を含み、$y\in B(x,\varepsilon)$ なので $y$ も含む（$x,y$ を入れ替えても同じ）。$d(x,y)=r>0$ なら、$B(x,r)$ は $x$ を含み $y$ を含まない。よって $x\equiv y\iff d(x,y)=0$ である。
三角不等式から $\bar d(q(x),q(y)):=d(x,y)$ は代表元によらずに定まり、$X_0$ 上の距離になる。$q(B(x,\varepsilon))=B_{\bar d}(q(x),\varepsilon)$ であり、$q$ は開写像なので $\bar d$ の開球は商位相で開である。逆に $W$ が商位相で開なら、$q(x)\in W$ について $B(x,\varepsilon)\subset q^{-1}(W)$ となる $\varepsilon$ があり、$B_{\bar d}(q(x),\varepsilon)\subset W$ である。よって商位相は距離 $\bar d$ の位相と一致する。
たとえば $1\le p<\infty$ とし、測度空間上の $p$ 乗可積分な関数全体 $\mathcal{L}^p(\mu)$ に $d(f,g):=\|f-g\|_p$ を考える。三角不等式は Lp空間 の記事の定理「Minkowskiの不等式」により成り立つので、$d$ は擬距離である。また $\|f-g\|_p=0$ は $f=g$（ほとんど至るところ）と同値である（同じ記事の系「$L^p$ はノルム空間」とその証明）。したがって $d$ の位相の Kolmogorov 商は、ほとんど至るところ等しい関数を同一視した $L^p(\mu)$ にそのノルムの位相を入れたものである。

$K:=\{1/n\mid n\ge1\}$ とし、開区間と、開区間から $K$ を除いた集合を開基とする $\mathbb{R}$ 上の位相を入れた空間を $\mathbb{R}_K$ とする（K位相）。$\mathbb{R}_K$ は通常の位相より細かいので Hausdorff であり、$\mathbb{R}\setminus K$ は開区間から $K$ を除いた集合の和なので $K$ は閉集合である。$Y:=\mathbb{R}_K/K$ と標準射影 $q$ を考える。
満たす性質：

• $Y$ は $T_1$ である。同値類は一点集合 $\{x\}$（$x\notin K$）と $K$ で、どれも閉集合だからである。
• グラフ $R=\Delta\cup(K\times K)$（$\Delta$ は対角線）は閉集合である。$\mathbb{R}_K$ は Hausdorff なので $\Delta$ は閉であり（Hausdorff空間 の命題「対角線の閉性による特徴づけ」）、閉集合の積 $K\times K$ も閉である。
• $q$ は閉写像である。閉集合 $F$ の飽和は、$F$ が $K$ と交わらなければ $F$、交われば $F\cup K$ であり、どちらも閉集合だからである。
  満たさない性質：$Y$ は Hausdorff でない。$0\notin K$ だが、$0$ を含む開集合と $K$ を含む開集合は必ず交わる（正則空間 の例「反例：Hausdorff だが正則でない空間」。$0$ の開近傍は $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus K$ を含み、$K$ を含む開集合は $1/n<\varepsilon$ となる点 $1/n$ のまわりの開区間を含むので、その中の $K$ に属さない点が共通部分に入る）。thm-qsep-collapse により $Y$ は Hausdorff でない。
  破る含意：「$X$ が Hausdorff で $R$ が閉なら $X/{\sim}$ は Hausdorff」と「Hausdorff 空間の閉な商写像による像は Hausdorff」。$R$ が閉なのに Hausdorff でないので、商空間(位相) の命題「Hausdorff性と同値関係のグラフ」の 2 により、$q$ は開写像でない。また同値類 $K$ は $\mathbb{R}_K$ でコンパクトでない（$K$ の各点 $1/n$ は開区間 $\bigl(\frac1{n+1},\frac1{n-1}\bigr)$（$n=1$ では $(\frac12,2)$）によって $K$ の中で孤立しているので、$K$ は無限個の点からなる離散空間である）ので、$q$ は完全写像でない。

1. 閉区間 $[0,1]$ で $0\sim1$ とし、ほかの点は自分自身とだけ同値とする。グラフ $R=\Delta\cup\{(0,1),(1,0)\}$ は、閉集合 $\Delta$（$[0,1]$ は Hausdorff）と 2 点の和なので閉集合である。thm-qsep-compact により $[0,1]/{\sim}$ はコンパクト Hausdorff 空間であり、これは円周 $S^1$ と同相である（商写像 の記事の例「閉区間の両端をつぶした円周」）。
2. $X$ をコンパクト Hausdorff 空間とし、$X\times[0,1]$ の部分集合 $X\times\{1\}$ を一点につぶした空間 $CX$（錐(位相)）を考える。$X\times\{1\}$ は閉集合なので、グラフ $\Delta\cup\bigl((X\times\{1\})\times(X\times\{1\})\bigr)$ は閉集合であり、$X\times[0,1]$ はコンパクト Hausdorff なので、thm-qsep-compact により $CX$ はコンパクト Hausdorff である。

1. $\mathbb{R}$ の閉集合 $\mathbb{Z}$ を一点につぶした空間 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ を考える。閉集合 $F$ の飽和は $F$ または $F\cup\mathbb{Z}$ なので標準射影は閉写像であり、$\mathbb{R}$ は正規なので、$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ は正規であり（同値類は閉集合なので $T_1$ でもあり、$T_4$ 空間である）、とくに Hausdorff である。一方、つぶした点は高々可算な基本近傍系をもたない（第1可算公理 の注意「反例：整数全体を一点につぶした商空間」）。分離公理はよく保たれても、可算性は失われうる。
2. 同じ記号で書かれることがあるが、「$x\sim y\iff x-y\in\mathbb{Z}$」で割った剰余群 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ は別の空間である。こちらは加法群 $\mathbb{Z}$ の平行移動による作用の軌道空間なので標準射影は開写像であり（商空間(位相) の命題「軌道空間の開性と有限群の場合の分離性」の 1）、グラフ $R=\{(x,y)\mid x-y\in\mathbb{Z}\}$ は連続写像 $(x,y)\mapsto x-y$ による閉集合 $\mathbb{Z}$ の逆像なので閉である。よって 商空間(位相) の命題「Hausdorff性と同値関係のグラフ」の 2 により Hausdorff である。この空間は円周と同相である（商写像 の記事の例「実数直線の整数による商」）。$\mathbb{Z}$ は無限群なので、同じ命題の有限群の場合の主張は使えないが、グラフの閉性で Hausdorff 性が分かる。