平均曲率
概要
平均曲率（mean curvature）とは、Riemann 多様体の $n$ 次元部分多様体について、第 2 基本形式の誘導計量に関するトレースを $n$ で割った法ベクトル $\vec H$（平均曲率ベクトル）、および超曲面で単位法ベクトル $N$ を選んだときのその成分 $H=\langle\vec H,N\rangle$、すなわち主曲率の平均である。台がコンパクトな変分に対する体積の 1 次の変化は $-n\int\langle\vec H,V\rangle\,dV$ で、$\vec H=0$ の極小部分多様体は体積の臨界点である。Euclid 空間の部分多様体では位置ベクトルの Laplacian が $n\vec H$ に等しく、そのため Euclid 空間の境界のないコンパクトな部分多様体は極小にならない。
石けん膜は、表面張力で面積をできるだけ小さくしようとする。膜の形を少し変えたときの面積の変化率を決めるのが 平均曲率（mean curvature）である。曲面の各点での曲がり方は 2 つの主曲率で表され、その平均が平均曲率である。高次元の部分多様体では、第 2 基本形式のトレースを次元で割った法ベクトルを 平均曲率ベクトル という。
平均曲率には 3 つの顔がある。
- 曲がり方の平均：主曲率の平均、あるいは第 2 基本形式のトレースである（定義）。
- 体積の変化率：部分多様体の一部（コンパクトな部分の中）を法線の向きに少し押したときの体積の 1 次の変化は、平均曲率ベクトルの積分で決まる（第 1 変分公式）。平均曲率が $0$ の部分多様体（極小部分多様体）は、体積の臨界点である。
- 位置ベクトルの Laplacian：Euclid 空間の部分多様体では、位置ベクトルの各座標に部分多様体の上の Laplace 作用素を当てたものが、平均曲率ベクトルの $n$ 倍になる。
この記事では次のことを示す。
- Euclid 空間の部分多様体では $\Delta x=n\vec H$ である。→ thm-mc-laplacian
- その帰結として、Euclid 空間の境界のないコンパクトな部分多様体には $\int(1+\langle x,\vec H\rangle)\,dV=0$ が成り立ち、極小にはなりえない。→ cor-mc-minkowski、cor-mc-compact
- 体積の第 1 変分は $-n\int\langle\vec H,V\rangle\,dV$ である。→ thm-mc-first-variation、cor-mc-minimal表の値は ex-mc-basic で確かめる。
部分多様体 平均曲率 $H$（法ベクトルの向き） 平均曲率ベクトル $\vec H$ 超平面 $0$ $0$ 半径 $a$ の球面 $S^n(a)\subset\mathbb R^{n+1}$ $\frac1a$（内向き） $-x/a^2$（中心を向く） 円柱 $S^1(r)\times\mathbb R^{n-1}\subset\mathbb R^{n+1}$ $\frac1{nr}$（内向き） 軸を向き、長さ $\frac1{nr}$ $\mathbb R^N$ の弧長径数の曲線 $\gamma$ — 加速度 $\gamma''$（曲率ベクトル） 懸垂面・螺旋面 $0$ $0$
定義
以下、$(\bar M,\bar g)$ を $m$ 次元の Riemann多様体、$\bar\nabla$ をその Levi-Civita 接続、$M\subset\bar M$ を $n$ 次元（$n\ge1$）の埋め込まれた 部分多様体、$g$ を誘導計量、$\nabla$ を $(M,g)$ の Levi-Civita 接続とする。$\bar g$ を $\langle\ ,\ \rangle$ とも書き、$T_p\bar M=T_pM\oplus N_pM$（$N_pM$ は法空間）の分解で、ベクトルの接成分を $(\cdot)^\top$、法成分を $(\cdot)^\perp$ と書く。$M$ の第 2 基本形式は $\mathrm{II}(X,Y)=(\bar\nabla_XY)^\perp$ で、法空間に値をとる対称双線形形式であり、Gauss の公式 $\bar\nabla_XY=\nabla_XY+\mathrm{II}(X,Y)$ が成り立つ（第2基本形式 の定理「第 2 基本形式の基本性質」）。
- 点 $p\in M$ で、$T_pM$ の正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ について
$$ \vec H_p:=\frac1n\sum_{i=1}^n\mathrm{II}(e_i,e_i)\in N_pM $$
とおき、$M$ の $p$ での 平均曲率ベクトル という。$\vec H\equiv0$ のとき、$M$ を 極小部分多様体（超曲面なら極小超曲面、$n=2$ なら極小曲面）という。 - $M$ が超曲面（$m=n+1$）で、単位法ベクトル場 $N$ を 1 つ選んだとき、$H:=\langle\vec H,N\rangle$ を $N$ に関する 平均曲率 という。
$\vec H_p$ は、対称双線形形式 $\mathrm{II}_p$ の計量 $g_p$ に関するトレース $\operatorname{tr}_g\mathrm{II}=\sum_ig^{ij}\mathrm{II}(\partial_i,\partial_j)$ を $n$ で割ったものなので、基底のとり方によらない。局所座標では $\vec H=\frac1ng^{ij}\mathrm{II}(\partial_i,\partial_j)$ である。
超曲面では法空間が 1 次元なので $\mathrm{II}(X,Y)=h(X,Y)N$ と書け、形作用素 $s$ を $\langle sX,Y\rangle=h(X,Y)$ で定めると、その固有値が主曲率 $\kappa_1,\dots,\kappa_n$ である（第2基本形式 の定義「スカラー第 2 基本形式と主曲率」）。このとき
$$
H=\frac1n\operatorname{tr}s=\frac{\kappa_1+\dots+\kappa_n}n,\qquad\vec H=H\,N
$$
である。$N$ を $-N$ に取り替えると $H$ は符号を変えるが、$\vec H$ は変わらない。$\mathbb R^3$ の曲面では $H=\frac12(\kappa_1+\kappa_2)$ で、Gauss曲率 の定義「主曲率・Gauss 曲率・平均曲率」の $H$ に一致する。
例
- 半径 $a$ の球面 $S^n(a)\subset\mathbb R^{n+1}$ では $\mathrm{II}(X,Y)=-\langle X,Y\rangle\,x/a^2$ である（第2基本形式 の例「球面と円柱」）。よって $\vec H=-x/a^2$ で、長さ $\frac1a$ の中心を向くベクトルである。内向きの $N=-x/a$ について $H=\frac1a$ である。
- 円柱 $S^1(r)\times\mathbb R^{n-1}\subset\mathbb R^{n+1}$ の主曲率は、内向きの単位法ベクトルについて $\frac1r$（円周の向き）と $0$（$n-1$ 個）である（同じ例）。よって $H=\frac1{nr}$ である。
- $n=1$ の場合。$\gamma\colon I\to\mathbb R^N$ を弧長で径数付けた曲線とし、$T=\gamma'$ とする。$T_{\gamma(s)}M$ の正規直交基底は $T$ だけなので、$\vec H=\mathrm{II}(T,T)=(\gamma'')^\perp$ である。$|\gamma'|=1$ を微分すると $\langle\gamma'',\gamma'\rangle=0$ なので $\gamma''$ は法ベクトルで、$\vec H=\gamma''$ である。これは曲線の 曲率ベクトル で、長さが曲率 $\kappa$ である（曲率(曲線)）。
- 懸垂面と螺旋面は $H=0$ の極小曲面である（極小曲面(微分幾何学) の例「懸垂面・螺旋面・Enneper 曲面・Scherk 曲面」）。
$U\subset\mathbb R^n$ を開集合、$f\colon U\to\mathbb R$ を滑らかな関数とし、グラフ $\{(u,f(u))\}\subset\mathbb R^{n+1}$ に上向きの単位法ベクトル $N=(-\nabla f,1)/W$、$W:=\sqrt{1+|\nabla f|^2}$ をとる。$N$ に関する平均曲率は
$$
nH=\sum_{i=1}^n\frac{\partial}{\partial u^i}\Bigl(\frac{f_i}{W}\Bigr)=\operatorname{div}\Bigl(\frac{\nabla f}{\sqrt{1+|\nabla f|^2}}\Bigr)
$$
である（$f_i=\partial f/\partial u^i$、$\operatorname{div}$ は $\mathbb R^n$ の 発散(ベクトル場)）。
第2基本形式 の例「グラフ」により、座標 $u^i$ について $g_{ij}=\delta_{ij}+f_if_j$、$h_{ij}=f_{ij}/W$ である。$a:=\nabla f$ とおくと $(g_{ij})=I+aa^{\mathsf T}$ で、$(I+aa^{\mathsf T})(I-aa^{\mathsf T}/W^2)=I+aa^{\mathsf T}\bigl(1-(1+|a|^2)/W^2\bigr)=I$ なので $g^{ij}=\delta_{ij}-f_if_j/W^2$ である。形作用素の基底 $\partial_i$ に関する行列は $(g^{ij})(h_{jk})$ なので
$$
nH=\operatorname{tr}s=g^{ij}h_{ij}=\frac1W\Bigl(\sum_if_{ii}-\frac{\sum_{i,j}f_if_jf_{ij}}{W^2}\Bigr)
$$
である。一方 $\partial_iW=\sum_jf_jf_{ij}/W$ なので
$$
\sum_i\partial_i\Bigl(\frac{f_i}W\Bigr)=\frac{\sum_if_{ii}}W-\sum_i\frac{f_i\,\partial_iW}{W^2}=\frac1W\Bigl(\sum_if_{ii}-\frac{\sum_{i,j}f_if_jf_{ij}}{W^2}\Bigr)
$$
で、両者は等しい。$\square$
$H\equiv0$ の条件 $\operatorname{div}(\nabla f/W)=0$ を 極小曲面の方程式 といい、$n=2$ で分母を払うと $(1+f_v^2)f_{uu}-2f_uf_vf_{uv}+(1+f_u^2)f_{vv}=0$ である（極小曲面(微分幾何学) の命題「極小曲面の方程式」）。$\nabla f$ が小さいとき、$nH\approx\Delta f$ である。平均曲率は、グラフの 2 階の量のうち「Laplacian の非線形版」にあたる。
位置ベクトルの Laplacian
$M$ の上の関数 $u$ について、Hesse 形式 $\nabla^2u(X,Y):=X(Yu)-(\nabla_XY)u$ と、その計量に関するトレース $\Delta u:=\sum_i\nabla^2u(e_i,e_i)$（$e_i$ は正規直交基底）を考える。$\Delta$ を $(M,g)$ の Laplace 作用素（Laplace–Beltrami 作用素）という。$\operatorname{grad}u$ を $g(\operatorname{grad}u,Y)=Yu$ で定め、ベクトル場 $X$ の発散を $\operatorname{div}X:=\sum_ig(\nabla_{e_i}X,e_i)$ とおくと、$X(Yu)=g(\nabla_X\operatorname{grad}u,Y)+g(\operatorname{grad}u,\nabla_XY)$ から $\nabla^2u(X,Y)=g(\nabla_X\operatorname{grad}u,Y)$ なので、$\Delta u=\operatorname{div}\operatorname{grad}u$ である。$M=\mathbb R^n$ では、$\Delta$ は通常の Laplace作用素 $\sum_i\partial_i^2$ である。
$M\subset\mathbb R^N$ を $n$ 次元の部分多様体とし、$\mathbb R^N$ の標準内積から誘導される計量を入れる。定ベクトル $a\in\mathbb R^N$ について $u_a(p):=\langle p,a\rangle$ とおくと、$M$ の接ベクトル $X,Y$ について
$$
\nabla^2u_a(X,Y)=\langle\mathrm{II}(X,Y),a\rangle,\qquad\Delta u_a=n\,\langle\vec H,a\rangle
$$
である。位置ベクトル $x=(x^1,\dots,x^N)$ の各成分に $\Delta$ を当てたものを $\Delta x$ と書けば、$\Delta x=n\vec H$ である。
$M$ の接ベクトル場 $X,Y$ をとる。$u_a$ は 1 次関数の制限なので $Yu_a=\langle Y,a\rangle$ である。$\mathbb R^N$ の Levi-Civita 接続は成分ごとの方向微分 $D$ で、$a$ は定ベクトルなので $X(Yu_a)=X\langle Y,a\rangle=\langle D_XY,a\rangle$ である（$D_XY$ は $Y$ の延長によらない）。また $(\nabla_XY)u_a=\langle\nabla_XY,a\rangle$ である。Gauss の公式 $D_XY=\nabla_XY+\mathrm{II}(X,Y)$ により
$$
\nabla^2u_a(X,Y)=\langle D_XY-\nabla_XY,\ a\rangle=\langle\mathrm{II}(X,Y),a\rangle
$$
である。正規直交基底でトレースをとれば $\Delta u_a=\langle\sum_i\mathrm{II}(e_i,e_i),a\rangle=n\langle\vec H,a\rangle$ である。$a$ に標準基底 $E_1,\dots,E_N$ をとれば $u_{E_k}=x^k$ で、$\Delta x^k=n\,\vec H^k$ である。$\square$
とくに、$M$ が極小であることと、$\mathbb R^N$ の座標関数の $M$ への制限がすべて $M$ の上の調和関数（$\Delta u=0$）であることは同値である。
境界のない多様体の上の、台がコンパクトなベクトル場 $X$ については $\int_M\operatorname{div}X\,dV=0$ である（発散定理。Lee13 Theorem 16.32（p. 424）と、向き付け不可能な場合の Theorem 16.48（p. 433）。この $\operatorname{div}$ が Lee の発散に一致することは Lee18 Problem 5-14（p. 148））。$X=\operatorname{grad}u$ とすれば、境界のないコンパクトな $M$ で $\int_M\Delta u\,dV=0$ である。
$M\subset\mathbb R^N$ を境界のないコンパクトな $n$ 次元部分多様体（$n\ge1$）とすると
$$
\int_M\bigl(1+\langle x,\vec H\rangle\bigr)\,dV=0
$$
である。ここで $x$ は位置ベクトル、$dV$ は誘導計量の体積要素（密度）である。
$u:=\frac12|x|^2=\frac12\sum_k(x^k)^2$ とおく。積の微分から $\Delta(v^2)=2v\Delta v+2|\operatorname{grad}v|^2$ なので、thm-mc-laplacian により
$$
\Delta u=\sum_k\bigl(x^k\Delta x^k+|\operatorname{grad}x^k|^2\bigr)=n\langle x,\vec H\rangle+\sum_k|\operatorname{grad}x^k|^2
$$
である。$\operatorname{grad}x^k$ は $E_k$ の接成分 $E_k^\top$ なので（$Yx^k=\langle Y,E_k\rangle=\langle Y,E_k^\top\rangle$）、正規直交基底 $e_i$ について $\sum_k|E_k^\top|^2=\sum_k\sum_i\langle E_k,e_i\rangle^2=\sum_i|e_i|^2=n$ である。よって $\Delta u=n\bigl(1+\langle x,\vec H\rangle\bigr)$ で、$\int_M\Delta u\,dV=0$ から主張を得る。$\square$
cor-mc-minkowski の $M$ と点 $c\in\mathbb R^N$ について、$R:=\max_{p\in M}|p-c|$ とおくと
$$
\max_{p\in M}|\vec H_p|\ \ge\ \frac1R
$$
である。とくに、$\mathbb R^N$ の境界のないコンパクトな部分多様体は極小でない。
平行移動 $x\mapsto x-c$ は第 2 基本形式を変えないので、$c=0$ としてよい。cor-mc-minkowski と Cauchy–Schwarz の不等式から
$$
\operatorname{vol}(M)=-\int_M\langle x,\vec H\rangle\,dV\le\int_M|x|\,|\vec H|\,dV\le R\,\max|\vec H|\,\operatorname{vol}(M)
$$
であり、$\operatorname{vol}(M)>0$ で割ればよい。$\square$
球面 $S^n(a)$ と中心 $c=0$ では $R=a$、$|\vec H|=\frac1a$（ex-mc-basic）で、等号が成り立つ。
体積の第 1 変分
$M$ の 台がコンパクトな変分 とは、滑らかな写像 $F\colon(-\varepsilon,\varepsilon)\times M\to\bar M$ で、$F_t:=F(t,\cdot)$ がはめ込み、$F_0$ が包含写像であり、あるコンパクト集合 $K\subset M$ の外では $F_t(p)=p$ となるものをいう。$V_p:=\partial_tF(0,p)$ を 変分ベクトル場 という。$V$ は $M$ に沿う $\bar M$ の接ベクトル場で、$K$ の外で $0$ である。$g_t:=F_t^*\bar g$ とし、$\operatorname{vol}_t(K)$ を $g_t$ に関する $K$ の体積とする（$F_t$ が埋め込みなら、像 $F_t(K)$ の体積である）。
台がコンパクトな変分について
$$
\frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\operatorname{vol}_t(K)=-n\int_M\langle\vec H,V\rangle\,dV
$$
である。右辺は $V$ の法成分だけで決まる。
段 1（体積要素の微分）。局所座標 $x^i$ で $\rho_t:=\sqrt{\det(g_t)_{ij}/\det g_{ij}}$ とおくと、$\rho_t$ は座標によらない $M$ の上の関数で（座標変換で分子と分母が同じ Jacobi 行列式の 2 乗倍になる）、$\operatorname{vol}_t(K)=\int_K\rho_t\,dV$ である。$(g_t)_{ij}=\langle\partial_iF,\partial_jF\rangle$ で、$F$ に沿う共変微分を $D$ と書くと、計量との両立性から
$$
\partial_t(g_t)_{ij}=\langle D_t\partial_iF,\partial_jF\rangle+\langle\partial_iF,D_t\partial_jF\rangle
$$
である。$\bar\nabla$ は捩れがないので $D_t\partial_iF=D_i\partial_tF$（Lee18 Lemma 6.2（p. 154）の対称性補題を、座標 $(t,x^i)$ の 2 変数の族に当てる）で、$t=0$ では $D_i\partial_tF=\bar\nabla_{\partial_i}V$ である。行列式の微分 $\partial_t\det g_t=\det g_t\cdot g_t^{ij}\partial_t(g_t)_{ij}$ から
$$
\partial_t\rho_t\big|_{t=0}=\frac12g^{ij}\partial_t(g_t)_{ij}\big|_{t=0}=g^{ij}\langle\bar\nabla_{\partial_i}V,\partial_j\rangle=\sum_i\langle\bar\nabla_{e_i}V,e_i\rangle
$$
である（$e_i$ は $M$ の局所的な正規直交枠）。
段 2（法成分と接成分）。$V=V^\top+V^\perp$ と分ける。$M$ の上で $\langle V^\perp,e_i\rangle=0$ を $e_i$ の向きに微分すると、Gauss の公式から
$$
\langle\bar\nabla_{e_i}V^\perp,e_i\rangle=-\langle V^\perp,\bar\nabla_{e_i}e_i\rangle=-\langle V^\perp,\mathrm{II}(e_i,e_i)\rangle
$$
なので、和は $-n\langle V,\vec H\rangle$ である。接成分については、Gauss の公式で $\mathrm{II}$ の項は $e_i$ と直交するので $\langle\bar\nabla_{e_i}V^\top,e_i\rangle=g(\nabla_{e_i}V^\top,e_i)$ で、和は $\operatorname{div}V^\top$ である。よって $\partial_t\rho_t|_{t=0}=\operatorname{div}V^\top-n\langle\vec H,V\rangle$ である。
段 3（積分）。被積分関数 $\rho_t$ は $(t,p)$ について滑らかで $K$ はコンパクトなので、積分記号の下で微分できる。$V^\top$ は $K$ の外で $0$ で、台がコンパクトなので、発散定理（thm-mc-laplacian の後の段落）により $\int_K\operatorname{div}V^\top\,dV=\int_M\operatorname{div}V^\top\,dV=0$ である。$\langle\vec H,V\rangle$ も $K$ の外で $0$ なので、主張を得る。$\square$
$M$ が極小であることと、台がコンパクトなすべての変分について $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\operatorname{vol}_t(K)=0$ となることは同値である。
$\vec H\equiv0$ なら thm-mc-first-variation の右辺は $0$ である。逆に $\vec H_p\neq0$ となる点 $p$ があるとする。$p$ の近傍で $\vec H\neq0$ となるところに台をもち、$p$ で正の滑らかな関数 $\varphi\ge0$ をとり、$F(t,q):=\exp_q\bigl(t\varphi(q)\vec H_q\bigr)$ とおく（$\exp$ は $\bar M$ の指数写像。$\varphi\vec H$ の台はコンパクトなので、$|t|$ が小さければ定義され、$F_t$ ははめ込みである）。$V=\varphi\vec H$ なので、第 1 変分は $-n\int_M\varphi|\vec H|^2\,dV< 0$ となり、$0$ でない。$\square$
$\mathbb R^3$ の曲面で $\bar M=\mathbb R^3$、$V=\varphi\nu$ とした場合が 極小曲面(微分幾何学) の定理「面積の第 1 変分公式」である（$n=2$ なので係数が $-2$）。境界を止めて面積を最小にする超曲面は極小であり（Lee18 Theorem 8.18（pp. 239–241））、囲む体積を一定にして面積を最小にする閉超曲面は平均曲率が一定である（同 Theorem 8.19（pp. 242–243））。後者が、石けんの泡が球面になることの数学的な背景である。極小部分多様体は体積の臨界点であって、最小とは限らない。
反例：条件を外すと
cor-mc-compact の「境界のないコンパクトな部分多様体は極小でない」の条件を 1 つずつ外す。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 外の空間が Euclid 空間 | 単位球面 $S^3$ の中の Clifford トーラス $S^1(\frac1{\sqrt2})\times S^1(\frac1{\sqrt2})$ | 極小でない |
| コンパクト | $\mathbb R^3$ の懸垂面 | 極小でない |
| 境界がない | $\mathbb R^3$ の平面の閉円板 $\{x_1^2+x_2^2\le1,\ x_3=0\}$ | 極小でない |
1 行目：$r=1/\sqrt2$ とし、$x(\theta,\phi)=r(\cos\theta,\sin\theta,\cos\phi,\sin\phi)\in\mathbb R^4$ とおく。$|x|^2=2r^2=1$ なので像 $T$ は $S^3$ に入る。$x_\theta$、$x_\phi$ は直交し長さ $r$ なので、$e_1=x_\theta/r$、$e_2=x_\phi/r$ は正規直交である。$x_{\theta\theta}=-r(\cos\theta,\sin\theta,0,0)$、$x_{\phi\phi}=-r(0,0,\cos\phi,\sin\phi)$ はどちらも $x_\theta,x_\phi$ と直交するので、$T$ の $\mathbb R^4$ での平均曲率ベクトルは
$$
\vec H^{\mathbb R^4}=\frac12\Bigl(\frac{x_{\theta\theta}}{r^2}+\frac{x_{\phi\phi}}{r^2}\Bigr)=-\frac{x}{2r^2}=-x
$$
である。一方、$T$ の接ベクトル場 $X,Y$ に Gauss の公式を 2 回使うと $D_XY=\nabla^{S^3}_XY+\mathrm{II}_{S^3}(X,Y)=\nabla^T_XY+\mathrm{II}^{S^3}_T(X,Y)+\mathrm{II}_{S^3}(X,Y)$ で、$\mathrm{II}_{S^3}(X,Y)=-\langle X,Y\rangle x$（ex-mc-basic の (1)）だから、$\vec H^{\mathbb R^4}=\vec H^{S^3}-x$ である。よって $S^3$ の中での平均曲率ベクトルは $\vec H^{S^3}=0$ で、$T$ は $S^3$ のコンパクトで境界のない極小曲面である。
2 行目：懸垂面は $H=0$（ex-mc-basic の (4)）だが、$z$ 方向に有界でないのでコンパクトでない。
3 行目：閉円板は境界をもつコンパクトな部分多様体で、平面の一部なので $\mathrm{II}=0$、$\vec H=0$ である。cor-mc-minkowski の証明では境界がないことを発散定理で使っており、境界があると $\int\Delta u\,dV$ に境界の項が残る。
補足
平均曲率を $\frac1n$ を付けずに $\operatorname{tr}s=\kappa_1+\dots+\kappa_n$ と定める文献も多く、そのとき第 1 変分公式の係数 $-n$ は $-1$ になる。超曲面の平均曲率の符号は単位法ベクトルの選び方による。この記事の定義は Lee18 p. 238 の $H=\frac1n\operatorname{tr}s$ と同じであり、thm-mc-first-variation の超曲面で $V$ が法線方向の場合は同書 Theorem 8.18 の証明の式 (8.18)（p. 241）にあたる。thm-mc-laplacian、cor-mc-minkowski と、一般の余次元での thm-mc-first-variation の証明は、Gauss の公式から直接書いた。
関連項目
- 前提: 第2基本形式, 部分多様体, Riemann接続, 発散(ベクトル場)
- 比較: Gauss曲率, 全臍的部分多様体, 曲率(曲線)
- 応用: 極小曲面(微分幾何学), 等周不等式, 捕捉面
- 関連: Gauss写像(曲面), Laplace作用素, 空間形
参考文献
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